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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:53 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Menge aller n [mm] \in \IN, [/mm] für die [mm] 5^{n}>n^{3} [/mm] gilt. |
Ich dachte vllt klappt das ganze mit Induktion und dann hätte ich ja schon bewiesen, dass es für alle n gilt. Nur leider komm ich damit auf keinen grünen Zweig, weil ich es schon nicht schaffe im Induktionsschritt irgendwo die Induktionvoraussetzung einzusetzen. Danke im Voraus für eure Hilfe!!
LG Tmili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 28.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Bestimmen Sie die Menge aller n [mm]\in \IN,[/mm] für die
> [mm]5^{n}>n^{3}[/mm] gilt.
> Ich dachte vllt klappt das ganze mit Induktion und dann
> hätte ich ja schon bewiesen, dass es für alle n gilt.
Das gilt in der Tat für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
> Nur leider komm ich damit auf keinen grünen Zweig, weil ich es
> schon nicht schaffe im Induktionsschritt irgendwo die
> Induktionvoraussetzung einzusetzen. Danke im Voraus für
> eure Hilfe!!
> LG Tmili
Schreiben wir mal den Anfang des Induktionsschritt mal auf.
[mm]5^{n+1}=5^{n}\cdot5\stackrel{I.V}{>}5\cdot n^{3}=[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
ok das hört sich ja schonmal gut an, dann war ich ja wenigstens mit der idee der induktion auf dem richtigen weg :)
aber leider sieht dein anfang super aus aber ich steh wohl auf dem schlauch..wie kommen wir denn jetzt von [mm] 5*n^{3} [/mm] irgendwie auf [mm] (n+1)^{3}..hab [/mm] gerade versucht 5 durch unsere IV in n auszudrücken aber ich glaub [mm] 5>\wurzel[n]{n^{3}} [/mm] bringt uns hier leider nicht weiter :/ kannst mir bitte nochmal auf die sprünge helfen? danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok das hört sich ja schonmal gut an, dann war ich ja
> wenigstens mit der idee der induktion auf dem richtigen weg
> :)
> aber leider sieht dein anfang super aus aber ich steh wohl
> auf dem schlauch..wie kommen wir denn jetzt von [mm]5*n^{3}[/mm]
> irgendwie auf [mm](n+1)^{3}..hab[/mm] gerade versucht 5 durch unsere
> IV in n auszudrücken aber ich glaub [mm]5>\wurzel[n]{n^{3}}[/mm]
> bringt uns hier leider nicht weiter :/ kannst mir bitte
> nochmal auf die sprünge helfen? danke
Marius hatte geschrieben:
[mm] $$5^{n+1}=5^{n}\cdot5\stackrel{I.V}{>}5\cdot n^{3}=$$
[/mm]
Wäre es nun nicht schön, wenn Du einfach [mm] $5*n^3 \ge (n+1)^3$ [/mm]
beweisen könntest? (Für alle $n [mm] \in \IN\,.$) [/mm] Dann wärst Du fertig.
LEIDER gilt aber [mm] $5*n^3 \ge (n+1)^3$ [/mm] "nur" für alle $n [mm] \ge 2\,.$ [/mm] Das reicht
aber eigentlich dennoch, Du musst nur den Induktionsbeweis dann ein
wenig "anpassen" - hast Du eine Idee, wie man das tun könnte?
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Übrigens: Wenn man merkt, dass das "nach unten abschätzen" vielleicht
irgendwie kompliziert wird, kann man ja auch den Beweis durch "nach
oben abschätzen" mal versuchen - manchmal wird's einfacher:
Es gilt:
[mm] $$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \stackrel{I.V}{<} 5^n+3n^2+3n+1 [/mm] $$
Nun wäre es (bei diesem Weg) schön, wenn man
[mm] $$5^n+3n^2+3n+1 \le 5^{n+1}$$
[/mm]
beweisen könnte. Hier muss man also
[mm] $$4*5^n-3n^2-3n-1 \ge [/mm] 0$$
für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] begründen...
(Bei diesem Weg kann man einfach den Induktionsbeweis "durchziehen",
ohne "Anpassungen" zu betreiben!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
also die erste hälfte deines eintrages leuchtet mir ein..aber stimmt. dann steht oben in der induktion für den IA: für n=1 erfüllt und unten beschließe ich dann im IS, dass ich doch nur n>=2 haben will..mit worten könnte ich das halt dann erklären..wahrscheinlich besser wie nichts aber wenn dus mir mathematisch zeigst wär das natürlich super :) lg tmili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:30 Di 29.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also die erste hälfte deines eintrages leuchtet mir
> ein..aber stimmt. dann steht oben in der induktion für den
> IA: für n=1 erfüllt und unten beschließe ich dann im IS,
> dass ich doch nur n>=2 haben will..mit worten könnte ich
> das halt dann erklären..wahrscheinlich besser wie nichts
> aber wenn dus mir mathematisch zeigst wär das natürlich
> super :) lg tmili
na, Du strickst den Induktionsbeweis einfach um. Zu zeigen ist:
Für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt
[mm] $$5^n [/mm] > [mm] n^3\,.$$
[/mm]
Dies ist für [mm] $n=1\,$ [/mm] wegen [mm] $5^1=5 [/mm] > 1=^3$ offenbar wahr. Es bleibt nun
also zu zeigen, dass:
[mm] $$5^n [/mm] > [mm] n^3 \text{ gilt auch für alle natürlichen }n \ge \red{2}\,.$$
[/mm]
Beweis per Induktion:
Für [mm] $n=2\,$ [/mm] gilt
[mm] $$5^2=25 [/mm] > [mm] 8=2^3\,.$$
[/mm]
$n [mm] \to [/mm] n+1:$
[mm] $$5^{n+1}=5*5^n \stackrel{I.V.}{>} 5*n^3\,.$$
[/mm]
Es reicht nun also, zu zeigen, dass für alle natürlichen $n [mm] \ge [/mm] 2$ auch
[mm] $$5*n^3 \ge (n+1)^3$$
[/mm]
gilt.
Hier ein Tipp, mit dem man sich den Beweis der letzten Abschätzung ein
wenig einfacher machen kann: Beweise, dass für jedes natürliche $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt
$$n+1 [mm] \le \frac{3}{2}*n\,.$$
[/mm]
(Äquivalenzumformungen helfen dabei.)
Denn weil $x [mm] \mapsto x^3$ [/mm] streng wachsend ist, folgt dann (für alle $n [mm] \ge \red{2}$)
[/mm]
[mm] $$(n+1)^3 \le {\left(\tfrac{3}{2}n\right)}^3=\tfrac{27}{8}*n^3\,$$
[/mm]
und damit ergibt sich...? (Erinnerung: Wir wollten [mm] $(n+1)^3 \le 5n^3$ [/mm] für
alle $n [mm] \ge \red{2}$ [/mm] erhalten!)
Gruß,
Marcel
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