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| Aufgabe | Bestimme die Lösungen f auf $ [0,1] [mm] \times [/mm] [0,1] [mm] \times [/mm] [0,T]$
[mm] $f_{tt} [/mm] - [mm] \Delta [/mm] u = 0 $ mit Randwerten
$f(x,t)=0 $ wenn $ (x,t) [mm] \in [/mm] Rand([0,1] [mm] \times [/mm] [0,1]) [mm] \times [/mm] [0,T]$
Versuche es mit Separation. |
[mm] f_{tt} [/mm] ist die Funktion f(x,t) zweimal nach t abgeleitet
[mm] \Delta [/mm] u = [mm] f_{x_1} [/mm] + [mm] f_{x_2} [/mm] Der LaPlace Operator bezieht sich nur auf die x-Variablen wie ich las.
Mit Separation ist gemeint, man solle f(x,t) aufsplitten, also f(x,t)=h(x)*g(t)
Im Internet ist erklärt, man könne für den eindimensionalen Fall durch Transformation$ [mm] \chi=x-t [/mm] $ [mm] $\nu=x+t [/mm] $ diese Diff.gl. auf [mm] f_{\chi\nu}=0 [/mm] zurückführen. Den Weg dorthin habe ich verstanden. Nur nicht, was ich dann mit h und g mache? Und da hier der zweidimensionale Fall betrachtet wird, ...?
Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich hier machen muss?
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Hallo pablovschby,
> Bestimme die Lösungen f auf [mm][0,1] \times [0,1] \times [0,T][/mm]
>
> [mm]f_{tt} - \Delta u = 0[/mm] mit Randwerten
> [mm]f(x,t)=0[/mm] wenn [mm](x,t) \in Rand([0,1] \times [0,1]) \times [0,T][/mm]
>
> Versuche es mit Separation.
>
> [mm]f_{tt}[/mm] ist die Funktion f(x,t) zweimal nach t abgeleitet
> [mm]\Delta[/mm] u = [mm]f_{x_1}[/mm] + [mm]f_{x_2}[/mm] Der LaPlace Operator bezieht
Der Laplace-Operator lautet doch so:
[mm]\Delta u = f_{x_1 \red{x_{1}}} + f_{x_2 \red{x_{2}}}[/mm]
> sich nur auf die x-Variablen wie ich las.
>
> Mit Separation ist gemeint, man solle f(x,t) aufsplitten,
> also f(x,t)=h(x)*g(t)
>
>
> Im Internet ist erklärt, man könne für den
> eindimensionalen Fall durch Transformation[mm] \chi=x-t [/mm]
> [mm]\nu=x+t[/mm] diese Diff.gl. auf [mm]f_{\chi\nu}=0[/mm] zurückführen.
Die Lösung dieser partiellen DGL lautet dann:
[mm]f\left(\chi,\nu\right)=v\left(\chi\right)+w\left(\nu\right)[/mm]
bzw.
[mm]f\left(x,t\right)=v\left(x-t\right)+w\left(x+t\right)[/mm]
> Den Weg dorthin habe ich verstanden. Nur nicht, was ich
> dann mit h und g mache? Und da hier der zweidimensionale
> Fall betrachtet wird, ...?
>
>
> Könnt ihr mir bitte einen Tipp geben, was ich hier machen
> muss?
>
Gruss
MathePower
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Leider habe ich das Beispiel im Internet also doch nicht ganz verstanden.
Mit f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) würde ich so ableiten:
[mm] f_t= w_t-v_t
[/mm]
[mm] f_{tt}=v_{tt}+w_{tt}
[/mm]
Bei diesen ersten 2 Termen bin ich mir sehr sicher. Aber da kommt bei [mm] f_{tt} [/mm] hinten noch was ran, richtig? Nur wie berechne ich das?
Das Gleiche in grün:
[mm] f_x=v_x+w_x
[/mm]
[mm] f_{xx}=v_{xx}+w_{xx}
[/mm]
Bis hierhin ganz simpel. Äussere Ableitung mal innere. Aber was kommt bei den Ableitungen 2.Ordnung hinten noch ran und wie berechne ich das?
Grüsse
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Hallo pablovschby,
> Leider habe ich das Beispiel im Internet also doch nicht
> ganz verstanden.
>
> Mit f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) würde ich so ableiten:
> [mm]f_t= w_t-v_t[/mm]
> [mm]f_{tt}=v_{tt}+w_{tt}[/mm]
> Bei diesen ersten 2 Termen bin ich mir sehr sicher. Aber
> da kommt bei [mm]f_{tt}[/mm] hinten noch was ran, richtig? Nur wie
> berechne ich das?
>
Beim Ableiten ist dies hier heranzuziehen:
[mm]f\left(x,t\right)=v\left( \ \alpha\left(x,t\right) \ \right)+w\left( \ \beta\left(x,t\right) \ \right)[/mm]
mit
[mm]\alpha\left(x,t\right)=x-t[/mm]
[mm]\beta\left(x,t\right)=x+t[/mm]
Dann ist das Ganze gemäß der Kettenregel zu differenzieren.
> Das Gleiche in grün:
> [mm]f_x=v_x+w_x[/mm]
> [mm]f_{xx}=v_{xx}+w_{xx}[/mm]
>
> Bis hierhin ganz simpel. Äussere Ableitung mal innere.
> Aber was kommt bei den Ableitungen 2.Ordnung hinten noch
> ran und wie berechne ich das?
>
> Grüsse
Gruss
MathePower
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edit:
Dann ist
[mm] f_{tt}=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t) [/mm] und
[mm] f_{xx}=2v_{xx}(x-t)+2w_{xx}(x+t)
[/mm]
[mm] f_{tt}(x,t)- \Delta f=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)-2v_{xx}(x-t)-2w_{xx}(x+t)=0
[/mm]
Und nun?
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Hallo pablovschby,
> edit:
>
> Dann ist
>
> [mm]f_{tt}=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)[/mm] und
> [mm]f_{xx}=2v_{xx}(x-t)+2w_{xx}(x+t)[/mm]
>
> [mm]f_{tt}(x,t)- \Delta f=-2v_{tt}(x-t)+2w_{tt}(x+t)-2v_{xx}(x-t)-2w_{xx}(x+t)=0[/mm]
>
Das sollte auch herauskommen.
> Und nun?
Damit hast Du verifiziert, daß f(x,t)=v(x-t)+w(x+t) die PDE löst.
Gruss
MathePower
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Hi
Ja ok aber die Frage ist nach den Lösungen. Ich muss doch konkrete Lösungen angeben? Das ist doch nicht das, was in der Aufgabe gesucht wurde?
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Hallo pablovschby,
> Hi
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> Ja ok aber die Frage ist nach den Lösungen. Ich muss doch
> konkrete Lösungen angeben? Das ist doch nicht das, was in
> der Aufgabe gesucht wurde?
>
Die allgemeine Lösung der gegebenen PDE
wurde für den Fall von zwei abhängigen Variablen angegeben.
In der Aufgabe handelt es sich aber um drei abhängige Variablen.
Gruss
MathePower
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Was muss ich tun, um die Aufgabe zu lösen?
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Hi
Also ich habe das ganze Internet durchsucht und auch einige Numerik-Bücher, aber das scheint wirklich nirgends zu stehen.
Weiss von euch niemand, wie man das löst im angegebenen Fall mit
[mm] \IR^2 \times \IR [/mm] ?
Gibt es da keine ähnliche Formel?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 26.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo pablovschby,
> Was muss ich tun, um die Aufgabe zu lösen?
Verwende den Separationsansatz für 3 unabhängige Variablen.
Gruss
MathePower
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Danke :)
Also der Name "Wellengleichung" bringt mich auf sinus und cosinus
Mit [mm] f(x_1,x_2,t)=u(x_1)v(x_2)w(t) [/mm] kriege ich mit den Randbedingungen für eine nicht-triviale Lösung heraus, dass u und v etwas mit sinus sein müssen. Also mit Zahlen a,b [mm] \in \mathbb{R} [/mm] , k,m [mm] \in \IZ [/mm] kriege ich
[mm] u(x_1)=a*sin(\pi*k*x_1) [/mm] und
[mm] v(x_2)=-b*sin(\pi*m*x_2)
[/mm]
[mm] f_{tt}=u(x_1)v(x_2)w''(t)
[/mm]
[mm] f_{x_1 x_1}=u''(x_1)v(x_2)w(t)
[/mm]
[mm] f_{x_2 x_2}=u(x_1)v''(x_2)w(t)
[/mm]
[mm] u''=-a*\pi^2*k^2*sin(\pi*k*x_1)
[/mm]
[mm] v''=b*pi^2*m^2*sin(\pi*m*x_2)
[/mm]
Wenn ich dann wie oben einsetze:
[mm] f_{tt}=f_{x_1 x_1}+f_{x_2 x_2} [/mm] dann kriege ich
[mm] w(t)=\frac{-w''(t)}{\pi^2*k^2+\pi^2*m^2}
[/mm]
Wenn jetzt rechts nur die erste Ableitung stehen würde, wüsste ich w(t) mit der Exponentialfunktion zu beschreiben
Wie kann ich es aber hier bewerkstelligen?
Ist der Rest oben in Ordnung?
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Hallo pablovschby,
> Danke :)
>
> Also der Name "Wellengleichung" bringt mich auf sinus und
> cosinus
>
> Mit [mm]f(x_1,x_2,t)=u(x_1)v(x_2)w(t)[/mm] kriege ich mit den
> Randbedingungen für eine nicht-triviale Lösung heraus,
> dass u und v etwas mit sinus sein müssen. Also mit Zahlen
> a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm] , k,m [mm]\in \IZ[/mm] kriege ich
>
> [mm]u(x_1)=a*sin(\pi*k*x_1)[/mm] und
> [mm]v(x_2)=-b*sin(\pi*m*x_2)[/mm]
>
> [mm]f_{tt}=u(x_1)v(x_2)w''(t)[/mm]
> [mm]f_{x_1 x_1}=u''(x_1)v(x_2)w(t)[/mm]
> [mm]f_{x_2 x_2}=u(x_1)v''(x_2)w(t)[/mm]
>
> [mm]u''=-a*\pi^2*k^2*sin(\pi*k*x_1)[/mm]
> [mm]v''=b*pi^2*m^2*sin(\pi*m*x_2)[/mm]
>
> Wenn ich dann wie oben einsetze:
>
> [mm]f_{tt}=f_{x_1 x_1}+f_{x_2 x_2}[/mm] dann kriege ich
> [mm]w(t)=\frac{-w''(t)}{\pi^2*k^2+\pi^2*m^2}[/mm]
> Wenn jetzt rechts nur die erste Ableitung stehen würde,
> wüsste ich w(t) mit der Exponentialfunktion zu
> beschreiben
>
> Wie kann ich es aber hier bewerkstelligen?
Setze an mit [mm]w\left(t\right)=e^{\lambda*t}[/mm]
Einsetzen in die DGL für w(t) liefert die Lösungen [mm]\lambda_{1}, \ \lambda_{2}[/mm],
die natürlich von k und m abhängen.
> Ist der Rest oben in Ordnung?
Mit dem Separationsansatz bekommst Du zunächst
3 voneinander unabhängige DGLn, deren Lösung
abhängig von den gewählten Konstanten ist.
Anhand der Anfangsbedingungen kannst Du nun
die Lösungen spezifieren.
Gruss
MathePower
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Ich kriege als Lösung
[mm] f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*e^{s*\pi*i*\sqrt{k^2+m^2}*t} [/mm]
wobei
k,m [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] , c [mm] \in \mathbb{R} [/mm] , s [mm] \in \{1,-1\}
[/mm]
Eingesetzt erfüllt diese Funktion die Bedingungen oben. Sind das alle Lösungen?
Habe ichs jetzt so richtig verstanden, wie ichs gemacht habe?
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Hallo pablovschby,
> Ich kriege als Lösung
>
> [mm]f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*e^{s*\pi*i*\sqrt{k^2+m^2}*t}[/mm]
>
Korrekt lautet das doch:
[mm]f(x_1,x_2,t)=c*sin(\pi*k*x_1)*sin*(\pi*m*x_2)*\left(k_{1}*\sin\left(\pi\sqrt{k^2+m^2}*t}\right)+k_{2}*\cos\left(\pi\sqrt{k^2+m^2}*t}\right)\right)[/mm]
> wobei
> k,m [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] , c [mm]\in \mathbb{R}[/mm] , s [mm]\in \{1,-1\}[/mm]
>
> Eingesetzt erfüllt diese Funktion die Bedingungen oben.
> Sind das alle Lösungen?
>
> Habe ichs jetzt so richtig verstanden, wie ichs gemacht
> habe?
Gruss
MathePower
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Hi
Was ist bei dir [mm] k_1 [/mm] und [mm] k_2
[/mm]
Und müsste es nicht beim Sinus rechts noch ein i stehen haben wg. der Eulerschen Darstellung?
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Hallo pablovschby,
> Hi
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> Was ist bei dir [mm]k_1[/mm] und [mm]k_2[/mm]
>
Das sind Konstanten aus den reellen Zahlen.
> Und müsste es nicht beim Sinus rechts noch ein i stehen
> haben wg. der Eulerschen Darstellung?
>
Nein, da Du reelle Lösungen haben willst.
Wenn eine homogene DGL, wie im vorliegenden Fall,
komplexe Lösungen besitzt, so erfüllen auch
Real- und Imaginärteil der Lösung diese DGL.
Gruss
MathePower
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Was ist mit dem s passiert? Wo ist diese pos. bzw. negative Lösung bei deiner miteingebaut?
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Hallo pablovschby,
> Was ist mit dem s passiert? Wo ist diese pos. bzw. negative
> Lösung bei deiner miteingebaut?
Für die interessierten reellen Lösungen der DGL
[mm]w''+w=0[/mm]
ist es nicht relevant, welche komplexe Lösung herangezogen wird
Gruss
MathePower
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