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Forum "Integralrechnung" - einfache Stammfunktionen

einfache Stammfunktionen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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einfache Stammfunktionen: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	16:52 Sa 20.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi,
wir haben als Hausaufgabe ein paar funktionen bekommen von denen wir die Stammfunktion finden sollen. Bin mir allerdings bei den ganzen Brüchen sehr unsicher und mir cos und sin komm ich nun gar nicht weiter.

1. [mm]f(x)=3x[/mm]
[mm]F(x)=1.5x^2[/mm]

2. [mm]f(x)=\wurzel{2}x[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{\wurzel{2}}{2} x^2[/mm]

3. [mm]f(x)=0[/mm]
geht nicht

4. [mm]f(x)=2(x-4)[/mm]
[mm]f(x)=2x-8[/mm]
[mm]F(x)=x^2-8x[/mm]

5. [mm]f(x)=\bruch{1+2x}{2}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{x+x^2}{2x}[/mm]

6. [mm]f(x)=2x^{-2}[/mm]
[mm]F(x)=-2x^{-1}[/mm]

7. [mm]f(x)=\bruch{-8}{x^4}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{-8x}{0.2x^5}[/mm]

8. [mm]f(x)=\bruch{-2}{(3x)^2}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{-2x}{(3x)^2}[/mm]
mit dem unteren weiss ich leider nicht was ich machen soll.

9. [mm]f(x)=\wurzel{5}^3*x^3-x^{-3}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{\wurzel{5}}{4}^4*0.25x^4-0.5x^{-2}[/mm]

10. [mm]f(x)=-(-\bruch{6}{x^2})-\bruch{6}{-x^2}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{6x}{\bruch{1}{3}x^3}-\bruch{6x}{-\bruch{1}{3}x^3}[/mm]

11. [mm]f(x)=x^n[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{1}{n+1}x^{n+1}[/mm]

12. [mm]f(x)=c*\bruch{1}{-x^{-n}}[/mm]
[mm]F(x)=cx*\bruch{1x}{-\bruch{1}{n+1}x^{-n+1}}[/mm]

13. [mm]f(x)=2sin(x)[/mm]
14. [mm]f(x)=2cos(x)+sin(x)[/mm]
bei den beiden hab ich nun gar keine Ahnung.

15. [mm]f(x)=-6*(\wurzel{x})^{-1}[/mm]
[mm]f(x)=-6x*0.5x^0.5[/mm]

Grüße Mareike

Ich habe diese Frage auf keiner weiteren Internetseite gestellt

Bezug

einfache Stammfunktionen: Korrekturen (1-8)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:06 Sa 20.08.2005
Autor:	Loddar

Hallo Mareike!

Puuh, das sind aber viele ...

Na, dann werden wir mal!

> 1. [mm]f(x)=3x[/mm]
> [mm]F(x)=1.5x^2[/mm]

> 2. [mm]f(x)=\wurzel{2}x[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{\wurzel{2}}{2} x^2[/mm]

Aber nur, wenn sich das Wurzelzeichen nicht mehr auf das $x_$ bezieht ...

> 3. [mm]f(x)=0[/mm]
> geht nicht

Doch!

Überleg mal andersrum: Welche Funktion ergibt abgeleitet $y \ = \ 0$ ??

Es gibt hier allerdings keine eindeutige Lösung ...

> 4. [mm]f(x)=2(x-4)[/mm]
> [mm]f(x)=2x-8[/mm]
> [mm]F(x)=x^2-8x[/mm]

> 5. [mm]f(x)=\bruch{1+2x}{2}[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{x+x^2}{2x}[/mm]

Schreibe Deinen Bruch mal vorher um zu:

[mm]f(x) \ = \ \bruch{1+2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} +\bruch{2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} + x[/mm]

Und? $F(x) \ = \ ...$ ?

> 6. [mm]f(x)=2x^{-2}[/mm]
> [mm]F(x)=-2x^{-1}[/mm]

> 7. [mm]f(x)=\bruch{-8}{x^4}[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{-8x}{0.2x^5}[/mm]

Auch hier zunächst mal umschreiben: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{-8}{x^4} [/mm] \ = \ [mm] -8*x^{-4}$ [/mm]

> 8. [mm]f(x)=\bruch{-2}{(3x)^2}[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{-2x}{(3x)^2}[/mm]

Genau wie oben: $f(x) \ = \ [mm] \bruch{-2}{(3x)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-2}{9x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{2}{9}*x^{-2}$ [/mm]

Gleich geht's weiter ;-)

...

Gruß
Loddar

Bezug

einfache Stammfunktionen: 2. Versuch

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:29 Sa 20.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi, danke dir

>> 3.
>> geht nicht

>Doch!

>Überleg mal andersrum: Welche Funktion ergibt abgeleitet ??

>Es gibt hier allerdings keine eindeutige Lösung ...

wie ist es denn mit einer Zahl
dann wäre es
[mm]F(x)= \IR[/mm]

5.
[mm]f(x) \ = \ \bruch{1+2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} +\bruch{2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} + x[/mm]
Und? ?
[mm]f(x)=\bruch{1}{2}x +0.5 x^2[/mm]

7. Auch hier zunächst mal umschreiben: [mm]f(x) \ = \ \bruch{-8}{x^4} \ = \ -8\cdot{}x^{-4}[/mm]
[mm]F(x)=-8x*\bruch{1}{3}x^{-3}[/mm]

8. [mm] f(x) \ = \ \bruch{-2}{(3x)^2} \ = \ \bruch{-2}{9x^2} \ = \ -\bruch{2}{9}\cdot{}x^{-2}[/mm]

[mm]-\bruch{2}{9}x*-x^{-1}[/mm]

So und was sagt mir das jetzt: erst alles umschreiben

Grüße Mareike

Bezug

einfache Stammfunktionen: Erläuterung(sversuch)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:46 Sa 20.08.2005
Autor:	Loddar

Hallo Mareike!

> wie ist es denn mit einer Zahl
> dann wäre es
> [mm]F(x)= \IR[/mm]

Ich denke, Du meinst das richtige: $F(x) \ = \ c$ mit $c \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$ [/mm]

> 5.
> [mm]f(x) \ = \ \bruch{1+2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} +\bruch{2x}{2} \ = \ \bruch{1}{2} + x[/mm]
>
> Und? ?
> [mm]\red{F}(x)=\bruch{1}{2}x +0.5 x^2[/mm]

> 7. Auch hier zunächst mal umschreiben: [mm]f(x) \ = \ \bruch{-8}{x^4} \ = \ -8\cdot{}x^{-4}[/mm]
>
> [mm]F(x)=-8x*\bruch{1}{3}x^{-3}[/mm]

Wo kommt denn das $x_$ nach der -8 her?

Nach der

Faktorregel bleiben konstante Fakoren (wie die "-8") unverändert erhalten.

> 8. [mm]f(x) \ = \ \bruch{-2}{(3x)^2} \ = \ \bruch{-2}{9x^2} \ = \ -\bruch{2}{9}\cdot{}x^{-2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2}{9}x*-x^{-1}[/mm]

Wie bei 8.

$f(x) \ = \ [mm] -\bruch{2}{9}*x^{-2}$ [/mm]

$F(x) \ = \ [mm] -\bruch{2}{9}*\bruch{x^{-1}}{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{9}*x^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{9x}$ [/mm]

Nun etwas klarer?

Gruß
Loddar

Bezug

einfache Stammfunktionen: 3 Versuch

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:25 Sa 20.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi,

ahh immer wenn dieses mal auch da steht, seh ich das immer als zwei einzelene, dabei weiss ich ja das das zusammengehört. Das mal ist zwar immer da, aber wenn es auch schriftl. da steht denk ich immer an zwei einzelne. Ich glaub ich muss mich einfach mehr konzentrieren.

7. [mm]f(x) \ = \ -8\cdot{}x^{-4}[/mm]
[mm]F(x)= \bruch{8}{3}x^{-3}[/mm]

8. [mm] f(x) \ = \ -\bruch{2}{9}\cdot{}x^{-2}[/mm]
[mm]F(x)= \bruch{2}{9}x^{-1}[/mm]
bzw.
[mm]F(x)=\bruch{2}{9x}[/mm]

Grüße Mareike

Bezug

einfache Stammfunktionen: Richtig

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:44 Sa 20.08.2005
Autor:	djmatey

Hi,
die Stammfunktionen zu 7 und 8 stimmen so :-)

LG djmatey

Bezug

einfache Stammfunktionen: Korrekturen (9-15)

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:22 Sa 20.08.2005
Autor:	Loddar

Hallo Mareike!

Weiter geht's ...

> 9. [mm]f(x)=\wurzel{5}^3*x^3-x^{-3}[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{\wurzel{5}}{4}^4*0.25x^4-0.5x^{-2}[/mm]

[mm] $\wurzel{5}^3$ [/mm] ist doch eine feststehende Zahl, also wie eine Konstante zu betrachten.

Zudem Vorzeichenfehler vor dem 2. Term ...

> 10. [mm]f(x)=-(-\bruch{6}{x^2})-\bruch{6}{-x^2}[/mm]
>
> [mm]F(x)=\bruch{6x}{\bruch{1}{3}x^3}-\bruch{6x}{-\bruch{1}{3}x^3}[/mm]

Hier zunächst die Funktion $f(x)_$ zusammenfassen und dann wie oben in Potenzschreibweise formulieren ...

[mm]f(x) \ = \ -\left(-\bruch{6}{x^2}\right)-\bruch{6}{-x^2} \ = \ +\bruch{6}{x^2}+\bruch{6}{x^2} \ = \ 2*\bruch{6}{x^2} \ = \ 12*x^{-2}[/mm]

> 11. [mm]f(x)=x^n[/mm]
> [mm]F(x)=\bruch{1}{n+1}x^{n+1}[/mm]

> 12. [mm]f(x)=c*\bruch{1}{-x^{-n}}[/mm]
> [mm]F(x)=cx*\bruch{1x}{-\bruch{1}{n+1}x^{-n+1}}[/mm]

Zunächst umschreiben: [mm]f(x) \ = \ c*\bruch{1}{-x^{-n}} \ = \ -c*x^n[/mm]

> 13. [mm]f(x)=2sin(x)[/mm]
> 14. [mm]f(x)=2cos(x)+sin(x)[/mm]
> bei den beiden hab ich nun gar keine Ahnung.

Hier musst Du folgendes wissen, dass gilt:

[mm] $\left( \ \sin(x) \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)$ [/mm]

[mm] $\left( \ \cos(x) \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)$ [/mm]

Wollst Du es jetzt nochmal probieren?

> 15. [mm]f(x)=-6*(\wurzel{x})^{-1}[/mm]
> [mm]f(x)=-6x*0.5x^0.5[/mm]

Wo kommt denn diese zusätzliche $x_$ her?

$f(x) \ = \ [mm] -6*\left(\wurzel{x}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] -6*x^{-\bruch{1}{2}}$ [/mm]

Grüße
Loddar

Bezug

einfache Stammfunktionen: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:59 Sa 20.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi,
danke Loddar für deine schnellen Antworten.

9. [mm]f(x)=\wurzel{5}^3\cdot{}x^3-x^{-3}[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{\wurzel{5}^3}{4}x^4+0.5x^{-2}[/mm]

10. [mm]f(x) \ = \ -\left(-\bruch{6}{x^2}\right)-\bruch{6}{-x^2} \ = \ +\bruch{6}{x^2}+\bruch{6}{x^2} \ = \ 2\cdot{}\bruch{6}{x^2} \ = \ 12\cdot{}x^{-2}[/mm]
[mm]F(x)=-12x^{-1}[/mm]

12. [mm] f(x) \ = \ c\cdot{}\bruch{1}{-x^{-n}} \ = \ -c\cdot{}x^n[/mm]
[mm]F(x)=\bruch{c}{n+1}x^{n+1}[/mm]

13 und 14
mhh... hatten wir glaub ich noch nicht, sagt mir zumindestens nichts.
aber ich kann es ja mal probieren.
Aber bei 13 kann ich doch nicht einfach
[mm]F(x)=2cos(x)[/mm] schreiben das wäre ja zu einfach.
Ich muss ja noch was mit der 2 machen.
vll so:
[mm]F(x)=cos(x)^2[/mm]
(wenn das richtig sein sollte probier ich auch noch mal 14.)

15.
keine Ahnung, her gezaubert?
Hab wohl übersehen das die 6 dazu gehört
[mm]f(x) \ = \ -6\cdot{}\left(\wurzel{x}\right)^{-1} \ = \ -6\cdot{}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
[mm]F(x)=-12x^{\bruch{1}{2}}[/mm]

Grüße Mareike

Bezug

einfache Stammfunktionen: Idee

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	18:39 Sa 20.08.2005
Autor:	djmatey

Hi,
bei 12) hat sich noch ein kleiner Vorzeichenfehler eingeschlichen.
Zu 13 und 14:
Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), die Ableitung von cos(x) ist -sin(x).
Damit solltest Du Dir überlegen, wie die Stammfunktionen von sin(x) bzw. cos(x) aussehen. Nr. 13 und 14 sollten dann (hoffentlich) kein Problem mehr für Dich sein :-)

Zu Deinen Ansätzen: 2 cos(x) sieht schon fast richtig aus, [mm] cos(x)^{2} [/mm] dagegen weniger, denn das würdest Du mit der Kettenregel ableiten....
Die anderen Nummern außer 12-14 sind richtig!
Beste Grüße
djmatey

Bezug

einfache Stammfunktionen: 12-14

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	18:56 Sa 20.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi,
danke djmatey.

So ich hoffe ich habs jetzt. Das ganze cos und sin ist ziemlich ungewöhnlich weil wir das noch nicht besprochen haben.

12. [mm]F(x)=[red]-[/red]\bruch{c}{n+1}x^{n+1}[/mm]

Ich hoffe ich habs jetzt richtig gemacht:
13. [mm] F(x)=2-cos(x) [/mm]
14. [mm]f(x)=2cos(x)+sin(x) [/mm]
[mm]F(x)=2sin(x) -cos(x)[/mm]

Grüße Mareike

Bezug

einfache Stammfunktionen: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:34 Sa 20.08.2005
Autor:	djmatey

Hi Du,
Nr. 12 ist richtig, die Stammfunktion lautet
F(x) = - [mm] \bruch{c}{n+1} x^{n+1} [/mm]
Nr. 14 stimmt auch so, denn die Stammfunktion von sin(x) ist -cos(x), diejenige von cos(x) ist sin(x).
Daraus ergibt sich für Nr.13 allerdings etwas anderes:
Leitest Du Deinen Vorschlag ab, also 2-cos(x), so erhältst Du sin(x):
2-cos(x) kannst Du ja auch umgekehrt schreiben als -cos(x) +2, dann fällt die 2 beim Ableiten ja weg, und nur die Ableitung von -cos(x), also sin(x), bleibt übrig.
Willst Du also 2sin(x) als Ableitung haben, musst Du -cos(x) einfach mit 2 multiplizieren, denn beim Ableiten bleiben konstante Faktoren ja erhalten!
Liebe Grüße,
djmatey

Bezug

einfache Stammfunktionen: 13

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:28 So 21.08.2005
Autor:	mareike-f

Hi,

dann müsste 13
F(x)=-2cos(x)
sein, oder?

Und ein ganz großes Dankeschön an euch beiden.

Grüße Mareike

Bezug

einfache Stammfunktionen: Mitteilung

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	13:31 So 21.08.2005
Autor:	Stefan

Hallo!

Das ist richtig.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug

einfache Stammfunktionen: Danke

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	21:44 So 21.08.2005
Autor:	mareike-f

Ein großes Dankeschön an alle die mir geholfen haben bei denen nicht gerade wenigen Funktionen.
Ich denke ich habs jetzt

Grüße Mareike

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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