einfache gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | [mm] y'=e^y [/mm] sin x, [mm] y(0)=y_0, y_0\in \mathbb{R},
[/mm]
und
[mm] (x^2-1)y'+2xy=xy^2, [/mm] y(0)=1.
Bestimme jeweils die Lösung des Anfangswertproblems. |
Hallo,
ich mache beides über Trennung der Variablen.
Bei dem ersten komme ich zu:
[mm] \frac{dy}{dx}=e^{y}sin\, x\Leftrightarrow\frac{dy}{e^{y}}=sinx\, dx\Leftrightarrow\int\frac{dy}{e^{y}}=\int sinx\, [/mm] dx.
So Stammfkt zu bestimmen ist jetzt auch nicht so das Problem, doch wie geht dann mein [mm] y(0)=y_0 [/mm] da ein? Das verstehe ich nicht ganz.
Zum Zweiten:
[mm] y'=\frac{xy^{2}-2xy}{(x^{2}-1)}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow dy=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}dx.
[/mm]
Dann: [mm] \frac{dy}{(y^{2}-y)}&=&\frac{x}{(x^{2}-1)}dx. [/mm] Mit Stammfunktionsberechnung komme ich zu [mm] \frac{y-1}{y}&=&\sqrt{x^{2}-1}. [/mm] Wenngleich ich mir die Stammfkt. ausrechnen habe lassen. Macht man das mit partieller Integration? Ich komme dann immer nur auf noch kompliziertere Funktionen.
Auf jeden fall weiß ich auch hier nicht, wie ich das ganze nach y auflösen soll, und wie es weitergeht?
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> [mm]y'=e^y[/mm] sin x, [mm]y(0)=y_0, y_0\in \mathbb{R},[/mm]
>
> und
>
> [mm](x^2-1)y'+2xy=xy^2,[/mm] y(0)=1.
>
> Bestimme jeweils die Lösung des Anfangswertproblems.
> Hallo,
>
> ich mache beides über Trennung der Variablen.
>
> Bei dem ersten komme ich zu:
> [mm]\frac{dy}{dx}=e^{y}sin\, x\Leftrightarrow\frac{dy}{e^{y}}=sinx\, dx\Leftrightarrow\int\frac{dy}{e^{y}}=\int sinx\,[/mm]
> dx.
>
> So Stammfkt zu bestimmen ist jetzt auch nicht so das
> Problem, doch wie geht dann mein [mm]y(0)=y_0[/mm] da ein? Das
> verstehe ich nicht ganz.
Nun, eine Stammfunktion zu [mm]\sin\left(x\right)[/mm] ist
sicherlich [mm]-\cos\left(x\right)[/mm], aber auch [mm]-\cos\left(x\right)+5[/mm]
Allgemein ist
[mm]\integral_{}^{}{sin\left(x\right) \ dx}=-\cos\left(x\right)+C[/mm]
Durch die Anfangsbedingung läßt sich die Integrationskonstante C bestimmen.
>
> Zum Zweiten:
>
> [mm]y'=\frac{xy^{2}-2xy}{(x^{2}-1)}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow dy=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}dx.[/mm]
>
> Dann: [mm]\frac{dy}{(y^{2}-y)}&=&\frac{x}{(x^{2}-1)}dx.[/mm] Mit
> Stammfunktionsberechnung komme ich zu
> [mm]\frac{y-1}{y}&=&\sqrt{x^{2}-1}.[/mm] Wenngleich ich mir die
Das stimmt hier nicht.
> Stammfkt. ausrechnen habe lassen. Macht man das mit
> partieller Integration? Ich komme dann immer nur auf noch
> kompliziertere Funktionen.
Hier ist nix mit partieller Integration zu machen.
>
> Auf jeden fall weiß ich auch hier nicht, wie ich das ganze
> nach y auflösen soll, und wie es weitergeht?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
>
> > [mm]y'=e^y[/mm] sin x, [mm]y(0)=y_0, y_0\in \mathbb{R},[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm](x^2-1)y'+2xy=xy^2,[/mm] y(0)=1.
> >
> > Bestimme jeweils die Lösung des Anfangswertproblems.
> > Hallo,
> >
> > ich mache beides über Trennung der Variablen.
> >
> > Bei dem ersten komme ich zu:
> > [mm]\frac{dy}{dx}=e^{y}sin\, x\Leftrightarrow\frac{dy}{e^{y}}=sinx\, dx\Leftrightarrow\int\frac{dy}{e^{y}}=\int sinx\,[/mm]
> > dx.
> >
> > So Stammfkt zu bestimmen ist jetzt auch nicht so das
> > Problem, doch wie geht dann mein [mm]y(0)=y_0[/mm] da ein? Das
> > verstehe ich nicht ganz.
>
>
> Nun, eine Stammfunktion zu [mm]\sin\left(x\right)[/mm] ist
> sicherlich [mm]-\cos\left(x\right)[/mm], aber auch
> [mm]-\cos\left(x\right)+5[/mm]
>
> Allgemein ist
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin\left(x\right) \ dx}=-\cos\left(x\right)+C[/mm]
>
> Durch die Anfangsbedingung läßt sich die
> Integrationskonstante C bestimmen.
>
>
Ja. Und von [mm] $e^{-y}$ [/mm] ist eine [mm] $-e^{-y}.$ [/mm] Dann durch $-1$ teilen und
anwenden von ln führt bei mir zu
[mm] $y=-ln(cosx-c)=ln(\frac{1}{cos\, x-c})$. [/mm] Stimmts soweit?
Wenn ich jetzt die Anfangsbedingung anwende, dann gilt:
[mm] $y_{0}=-ln(cosx-c)\Rightarrow exp(y_{0})=-1+x\Rightarrow exp(y_{0})+1=c$
[/mm]
Stimmt das? Dann c einsetzen in $y=-ln(cosx-c).$
>
> >
> > Zum Zweiten:
> >
> >
> [mm]y'=\frac{xy^{2}-2xy}{(x^{2}-1)}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow dy=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}dx.[/mm]
>
> >
> > Dann: [mm]\frac{dy}{(y^{2}-y)}&=&\frac{x}{(x^{2}-1)}dx.[/mm] Mit
> > Stammfunktionsberechnung komme ich zu
> > [mm]\frac{y-1}{y}&=&\sqrt{x^{2}-1}.[/mm] Wenngleich ich mir die
>
>
> Das stimmt hier nicht.
Was ist falsch? Ist das Vorgehen allgemein richtig?
>
>
> > Stammfkt. ausrechnen habe lassen. Macht man das mit
> > partieller Integration? Ich komme dann immer nur auf noch
> > kompliziertere Funktionen.
>
>
> Hier ist nix mit partieller Integration zu machen.
>
>
> >
> > Auf jeden fall weiß ich auch hier nicht, wie ich das ganze
> > nach y auflösen soll, und wie es weitergeht?
>
>
> Gruß
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> >
> > > [mm]y'=e^y[/mm] sin x, [mm]y(0)=y_0, y_0\in \mathbb{R},[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm](x^2-1)y'+2xy=xy^2,[/mm] y(0)=1.
> > >
> > > Bestimme jeweils die Lösung des Anfangswertproblems.
> > > Hallo,
> > >
> > > ich mache beides über Trennung der Variablen.
> > >
> > > Bei dem ersten komme ich zu:
> > > [mm]\frac{dy}{dx}=e^{y}sin\, x\Leftrightarrow\frac{dy}{e^{y}}=sinx\, dx\Leftrightarrow\int\frac{dy}{e^{y}}=\int sinx\,[/mm]
> > > dx.
> > >
> > > So Stammfkt zu bestimmen ist jetzt auch nicht so das
> > > Problem, doch wie geht dann mein [mm]y(0)=y_0[/mm] da ein? Das
> > > verstehe ich nicht ganz.
> >
> >
> > Nun, eine Stammfunktion zu [mm]\sin\left(x\right)[/mm] ist
> > sicherlich [mm]-\cos\left(x\right)[/mm], aber auch
> > [mm]-\cos\left(x\right)+5[/mm]
> >
> > Allgemein ist
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{sin\left(x\right) \ dx}=-\cos\left(x\right)+C[/mm]
>
> >
> > Durch die Anfangsbedingung läßt sich die
> > Integrationskonstante C bestimmen.
> >
> >
> Ja. Und von [mm]e^{-y}[/mm] ist eine [mm]-e^{-y}.[/mm] Dann durch [mm]-1[/mm] teilen
> und
> anwenden von ln führt bei mir zu
>
> [mm]y=-ln(cosx-c)=ln(\frac{1}{cos\, x-c})[/mm]. Stimmts soweit?
>
> Wenn ich jetzt die Anfangsbedingung anwende, dann gilt:
> [mm]y_{0}=-ln(cosx-c)\Rightarrow exp(y_{0})=-1+x\Rightarrow exp(y_{0})+1=c[/mm]
>
> Stimmt das? Dann c einsetzen in [mm]y=-ln(cosx-c).[/mm]
Leider nein.
Die Anfangsbedingung kannst Du auch schon hier einsetzen:
[mm]-e^{-y}=-¸\cos\left(x\right)+C[/mm]
>
>
> >
> > >
> > > Zum Zweiten:
> > >
> > >
> >
> [mm]y'=\frac{xy^{2}-2xy}{(x^{2}-1)}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}\Rightarrow dy=\frac{x\cdot(y^{2}-2y)}{(x^{2}-1)}dx.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dann: [mm]\frac{dy}{(y^{2}-y)}&=&\frac{x}{(x^{2}-1)}dx.[/mm] Mit
> > > Stammfunktionsberechnung komme ich zu
> > > [mm]\frac{y-1}{y}&=&\sqrt{x^{2}-1}.[/mm] Wenngleich ich mir die
> >
> >
> > Das stimmt hier nicht.
>
> Was ist falsch? Ist das Vorgehen allgemein richtig?
Die Stammfunktion auf der rechten Seite stimmt nicht.
Auch hier muß die Integrationskonstante berücksichtigt werden.
Und auf der linken Seite mußt Du die Stammfunktion von
[mm]\bruch{1}{y^{2}-\red{2}y}[/mm]
bilden.
> > > Auf jeden fall weiß ich auch hier nicht, wie ich das ganze
> > > nach y auflösen soll, und wie es weitergeht?
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
> Leider nein.
>
> Die Anfangsbedingung kannst Du auch schon hier einsetzen:
>
> [mm]-e^{-y}=-¸\cos\left(x\right)+C[/mm]
Wieso das? Für die Anfangsbedingung brauch ich doch das y isoliert ist, also eine Funktion y(x). Oder setze ich dann einfach:
[mm] -exp(-y_0)=-1+C\Rightarrow C=1-exp(-y_0).
[/mm]
Jetzt brauche ich doch am Ende aber trotzdem eine Funktion y(x) die meine Anfangsbedingung erfüllt, oder nicht?
Was muss ich noch machen?
> Auch hier muß die Integrationskonstante berücksichtigt
> werden.
>
>
> Und auf der linken Seite mußt Du die Stammfunktion von
>
> [mm]\bruch{1}{y^{2}-\red{2}y}[/mm]
>
> bilden.
Ja stimmt. Aber allgemein, wie bilde ich die Stammfkt davon, also wie würde ich das entsprechende Integral ausrechnen, mit welcher Methode. Einfach scharf hinsehen geht da ja nicht wirklich.
Gruß
Unk
|
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> > Leider nein.
> >
> > Die Anfangsbedingung kannst Du auch schon hier einsetzen:
> >
> > [mm]-e^{-y}=-¸\cos\left(x\right)+C[/mm]
Diese Gleichung ist ja nur erfüllbar, wenn
[mm]-\cos\left(x\right)+C < 0[/mm]
Und wenn das für alle [mm]x \in \IR[/mm] gelten soll,
dann muß [mm]C < -1[/mm] sein.
Damit kannst Du Bedingungen an den Anfangswert stellen.
>
> Wieso das? Für die Anfangsbedingung brauch ich doch das y
> isoliert ist, also eine Funktion y(x). Oder setze ich dann
> einfach:
> [mm]-exp(-y_0)=-1+C\Rightarrow C=1-exp(-y_0).[/mm]
Nun, das ist durchaus ein üblicher Weg,
die Integrationskonstante C zu bestimmen.
Der korrekte Weg ist natürlich der von Dir.
>
> Jetzt brauche ich doch am Ende aber trotzdem eine Funktion
> y(x) die meine Anfangsbedingung erfüllt, oder nicht?
>
> Was muss ich noch machen?
>
>
> > Auch hier muß die Integrationskonstante berücksichtigt
> > werden.
> >
> >
> > Und auf der linken Seite mußt Du die Stammfunktion von
> >
> > [mm]\bruch{1}{y^{2}-\red{2}y}[/mm]
> >
> > bilden.
>
> Ja stimmt. Aber allgemein, wie bilde ich die Stammfkt
> davon, also wie würde ich das entsprechende Integral
> ausrechnen, mit welcher Methode. Einfach scharf hinsehen
> geht da ja nicht wirklich.
Das Stichwort hier heißt Partialbruczerlegung.
>
> Gruß
> Unk
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Do 02.07.2009 | | Autor: | Unk |
> Hallo Unk,
>
> > > Hallo Unk,
> > > Leider nein.
> > >
> > > Die Anfangsbedingung kannst Du auch schon hier einsetzen:
> > >
> > > [mm]-e^{-y}=-¸\cos\left(x\right)+C[/mm]
>
>
> Diese Gleichung ist ja nur erfüllbar, wenn
>
> [mm]-\cos\left(x\right)+C < 0[/mm]
>
> Und wenn das für alle [mm]x \in \IR[/mm] gelten soll,
> dann muß [mm]C < -1[/mm] sein.
>
> Damit kannst Du Bedingungen an den Anfangswert stellen.
>
>
> >
> > Wieso das? Für die Anfangsbedingung brauch ich doch das y
> > isoliert ist, also eine Funktion y(x). Oder setze ich dann
> > einfach:
> > [mm]-exp(-y_0)=-1+C\Rightarrow C=1-exp(-y_0).[/mm]
>
>
> Nun, das ist durchaus ein üblicher Weg,
> die Integrationskonstante C zu bestimmen.
>
> Der korrekte Weg ist natürlich der von Dir.
Jetzt bin ich etwas verwirrt. Wie soll ich die Aufgabe nun abschließen, d.h. wie sieht meine finale Gleichung aus. Ich hab das C bisher immer nur ausgerechnet und dann hatte man halt eine Gleichung y(x)=...
>
>
> >
> > Jetzt brauche ich doch am Ende aber trotzdem eine Funktion
> > y(x) die meine Anfangsbedingung erfüllt, oder nicht?
> >
> > Was muss ich noch machen?
> >
> >
> > > Auch hier muß die Integrationskonstante berücksichtigt
> > > werden.
> > >
> > >
> > > Und auf der linken Seite mußt Du die Stammfunktion von
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{y^{2}-\red{2}y}[/mm]
> > >
> > > bilden.
> >
> > Ja stimmt. Aber allgemein, wie bilde ich die Stammfkt
> > davon, also wie würde ich das entsprechende Integral
> > ausrechnen, mit welcher Methode. Einfach scharf hinsehen
> > geht da ja nicht wirklich.
>
>
> Das Stichwort hier heißt Partialbruczerlegung.
>
Bringt mich das denn weiter?
Ich mache: [mm] \frac{1}{y^2-2y}. [/mm] Da kann ich doch großartig nix mit anstellen, außer [mm] =\frac{1}{y\cdot (y-2)}. [/mm] Naja jetzt habe ich 2 Brüche, die ein Produkt bilden. Wie soll ich davon so einfach eine Stammfkt. bilden?
>
> >
> > Gruß
> > Unk
> >
>
>
> Gruß
> MathePower
|
|
|
| |
|
Hallo Unk,
> > Hallo Unk,
> >
> > > > Hallo Unk,
> > > > Leider nein.
> > > >
> > > > Die Anfangsbedingung kannst Du auch schon hier einsetzen:
> > > >
> > > > [mm]-e^{-y}=-¸\cos\left(x\right)+C[/mm]
> >
> >
> > Diese Gleichung ist ja nur erfüllbar, wenn
> >
> > [mm]-\cos\left(x\right)+C < 0[/mm]
> >
> > Und wenn das für alle [mm]x \in \IR[/mm] gelten soll,
> > dann muß [mm]C < -1[/mm] sein.
> >
> > Damit kannst Du Bedingungen an den Anfangswert stellen.
> >
> >
> > >
> > > Wieso das? Für die Anfangsbedingung brauch ich doch das y
> > > isoliert ist, also eine Funktion y(x). Oder setze ich dann
> > > einfach:
> > > [mm]-exp(-y_0)=-1+C\Rightarrow C=1-exp(-y_0).[/mm]
> >
> >
> > Nun, das ist durchaus ein üblicher Weg,
> > die Integrationskonstante C zu bestimmen.
> >
> > Der korrekte Weg ist natürlich der von Dir.
>
> Jetzt bin ich etwas verwirrt. Wie soll ich die Aufgabe nun
> abschließen, d.h. wie sieht meine finale Gleichung aus.
> Ich hab das C bisher immer nur ausgerechnet und dann hatte
> man halt eine Gleichung y(x)=...
>
Die finale Gleichung ist
[mm]y\left(x\right)=-\ln\left(\cos\left(x\right)-C\right)[/mm]
Aus der hast Du ja die Integrationskonstante C bestimmt.
>
> >
> >
> > >
> > > Jetzt brauche ich doch am Ende aber trotzdem eine Funktion
> > > y(x) die meine Anfangsbedingung erfüllt, oder nicht?
> > >
> > > Was muss ich noch machen?
> > >
> > >
> > > > Auch hier muß die Integrationskonstante berücksichtigt
> > > > werden.
> > > >
> > > >
> > > > Und auf der linken Seite mußt Du die Stammfunktion von
> > > >
> > > > [mm]\bruch{1}{y^{2}-\red{2}y}[/mm]
> > > >
> > > > bilden.
> > >
> > > Ja stimmt. Aber allgemein, wie bilde ich die Stammfkt
> > > davon, also wie würde ich das entsprechende Integral
> > > ausrechnen, mit welcher Methode. Einfach scharf hinsehen
> > > geht da ja nicht wirklich.
> >
> >
> > Das Stichwort hier heißt Partialbruczerlegung.
> >
>
> Bringt mich das denn weiter?
> Ich mache: [mm]\frac{1}{y^2-2y}.[/mm] Da kann ich doch großartig
> nix mit anstellen, außer [mm]=\frac{1}{y\cdot (y-2)}.[/mm] Naja
> jetzt habe ich 2 Brüche, die ein Produkt bilden. Wie soll
> ich davon so einfach eine Stammfkt. bilden?
>
Nun, mache dazu den folgenden Ansatz:
[mm]\bruch{1}{y^{2}-2y}=\bruch{A}{y-2}+\bruch{B}{y}[/mm]
Die Konstanten A und B bestimmst Du nun durch Koeffizientenvergleich, d.h. es muß
[mm]0*y+1=A*y+B*\left(y-2\right)[/mm]
für alle y gelten.
Und die Darstellung
[mm]\bruch{A}{y-2}+\bruch{B}{y}[/mm]
läßt sich dann leichter integrieren.
>
> >
> > >
> > > Gruß
> > > Unk
> > >
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Unk |
Kann es sein, dass ich beim zweiten eine implizit definierte Funktion bekomme?
Ich kann y nie isolieren,
ich komme auf:
[mm] \frac{1}{2}ln(\frac{y-2}{y})&=&\frac{1}{2}ln(x^{2}-1)+c\\\Rightarrow ln(\frac{y-2}{y})&=&ln(x^{2}-1)+2c\\\Rightarrow\frac{y-2}{y(x^{2}-1)}&=&exp(2c)\\\Rightarrow\frac{y-2}{y}&=&x^{2}-1+exp(2c)\\\Rightarrow y-2&=&[x^{2}-1+exp(2c)]y
[/mm]
Ich hoffe mal es passt so. Wie muss ich in so einem Fall weiter machen?
|
|
|
| |
|
Ich habe NICHT nachgerechnet, ob die Gleichung stimmt, und habe die Diskussion nur überflogen - du hast ja schon einige wichtige Sachen dabei genannt bekommen.
> Kann es sein, dass ich beim zweiten eine implizit
> definierte Funktion bekomme?
> Ich kann y nie isolieren,
> ich komme auf:
>
> [mm]\frac{1}{2}ln(\frac{y-2}{y})&=&\frac{1}{2}ln(x^{2}-1)+c\\\Rightarrow ln(\frac{y-2}{y})&=&ln(x^{2}-1)+2c\\\Rightarrow\frac{y-2}{y(x^{2}-1)}&=&exp(2c)\\\Rightarrow\frac{y-2}{y}&=&x^{2}-1+exp(2c)\\\Rightarrow y-2&=&[x^{2}-1+exp(2c)]y[/mm]
>
> Ich hoffe mal es passt so. Wie muss ich in so einem Fall
> weiter machen?
Das ist ja ein ähnlicher Fall wie:
y - 2 = f(x)*y. Da könnte man nun etwa f(x)*y subtrahieren und 2 addieren... y-f(x)y = 2, y ausklammern.... (1-f(x))*y=2 .... Jetzt Division (aufpassen, dass die Klammer nicht 0 wird) und schon ist y isoliert  .
|
|
|
|
