einfaches bestimmtes Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{\wurzel{3}}{x^{5} * \wurzel{1+x^{2}} dx} [/mm] |
Ich brauche nur einen Denkanstoss. Habe schon eine Weile herumprobiert über Substition oder auch partielle Integration, bin aber nie auf eine Lösung gekommen.
Könntet ihr mir einen Tip geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Do 12.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Heinrich!
Substituiere: $z \ := \ 1+x^2$ .
Bedenke, dass auch gilt: $x^5 \ = \ x*x^4 \ = \ x*\left(x^2\right)^2 \ = \ x*\left(z-1)^2$
Gruß
Loddar
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Hi!
Danke für deine schnelle Antwort. Damit komme ich dann auf folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\wurzel{3}}{(z-1)^{2}\wurzel{z} dz}
[/mm]
Wie geht man dann am sinnvollsten vor? Binomische Formel auflösen und dann alles im Integral zusammenfassen um dann möglichst einfach integrieren zu können? Dann muss man doch aber auch wieder rücksubstituieren, was mit anschließendem zusammenfassen eher aufwendig ist.
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Hallo heinrich01,
> Damit komme ich dann auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\integral_{0}^{\wurzel{3}}{(z-1)^{2}\wurzel{z} dz}[/mm]
Stop. Da stimmen zwei Sachen nicht. Loddar hatte doch vorgerechnet [mm] x^5=x(z-1)^2. [/mm] Was ist denn aus dem x geworden? Geht das irgendwo allein spazieren? Nee, nee, ich bins selbst. Du hast das [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] aus der Substitution ja da stehen, dann weiß ich doch auch, wo das x hin ist...
Das einzig verbliebene Problem sind die Integrationsgrenzen. Die ändern sich bei einer Substitution auch. Natürlich kannst Du sie auch erstmal ganz weglassen und Deine Integrationsaufgabe mit unbestimmtem Integral lösen, aber in keinem Fall kannst Du die Grenzen jetzt einfach so übernehmen.
Wenn Du das x (natürlich als x(z) ausgedrückt) noch einbaust, wirst Du immer noch ein ungemütliches Integral behalten. Naja, es geht.
Funktionen dieser Form sind oft leichter mit folgendem Ansatz zu integrieren:
[mm] \int{x^5(x^2+1)^{\bruch{1}{2}}\ dx}=(x^2+1)^{\bruch{3}{2}}*P(x)+C
[/mm]
wobei P(x) hier ein Polynom vom Grad 5 ist. Bedenke dabei [mm] (x^2+1)^{\bruch{3}{2}}=(x^2+1)^{\bruch{1}{2}}*(x^2+1)
[/mm]
> Wie geht man dann am sinnvollsten vor? Binomische Formel
> auflösen und dann alles im Integral zusammenfassen um dann
> möglichst einfach integrieren zu können?
Ja, aber das ist im Moment noch Deine geringste Sorge.
> Dann muss man doch
> aber auch wieder rücksubstituieren, was mit anschließendem
> zusammenfassen eher aufwendig ist.
Ohne Aufwand wird es nicht gehen. Es sei denn, Du bemühst ein gutes CAS mit der Aufgabe 
Grüße,
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:46 Do 12.02.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denk reverend hat nen Fehler gemacht, und dein Integral ist richtig. wenn du ausm. hast du 3 leichtzu integrierende Teile.
Da du ja ein best. Integral ausrechnen willst und einfach die Grenzen subst. kannst.
[mm] x=\wurzel{3} [/mm] folgt [mm] z=\wurzel{3}^2+1=4 [/mm] und x=0 kannst du sicher auch.
Bei best. Integralen muss man immer die Grenzen mit subst. sonst ist dein Ausdruck wie er da steht falsch!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Do 12.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
ja, aber ich hab ihn glücklicherweise sofort bemerkt und korrigiert. Da schriebst Du schon. Naja, Hauptsache, er ist jetzt weg.
Danke also - und Grüße,
reverend
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