einseitiger H-Test Signifikanz < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Di 30.09.2008 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Im Zusammenhang mit einseitigen Hypothesentests frage ich mich, warum die [mm] \sigma-Umgebung [/mm] hier anders ermittelt wird, als bei zweiseitigen Tests.
Beispiel:
Hypothese: p [mm] \le [/mm] 0,5 für das Ertasten des Herkunftlandes von Euro-Münzen.
n= 20 ; Irrtumswahrscheinlichkeit [mm] \alpha [/mm] = 5%.
Im Buch finde ich folgende Lösung:
=> [mm] \mu [/mm] = 10 ; [mm] \sigma [/mm] = 2,24
Annahmebereich A = [0;13,67]
Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art:
1 - [mm] F_{20;0,5} [/mm] (13) = 1 - 0,9423 = 0,0577
|
Moin,
zunächst sind einseitige Tests dadurch gekennzeichnet, dass ich einen Bereich suche bzw. eine Grenze bis zu der eine Hypothese angenommen bw. abgelehnt wird.
Während bei zweiseitigen Tests um einen mittleren Wert herum ein Annahmebereich gebildet wird...
Bei der Lösung habe ich zwei Dinge nicht verstanden.
1. Gehe ich vom Annahmebereich aus, dann berechne ich den Wert der Verteilungsfunktion [mm] F_{20;0,5} [/mm] (13)
und dieser hat den Wert ---> 0,9793 und nicht 0,9423 !???
bzw. 1 - [mm] F_{20;0,5} [/mm] (13) = 1 - 0,9793 = 0,0207
2. Bei der Berechnung des Intervalls wurde mit
[mm] \mu [/mm] + 1,64* [mm] \sigma [/mm] gerechnet und nicht mit
[mm] \mu [/mm] + 1,96* [mm] \sigma [/mm] , was ja für 5% Irrtumswahrscheinlichkeit gilt.
Warum nicht???
Vielen Dank für eure Hilfe!
|
|
| |
|
Ich weiß nicht, ob ich dir konkret weiterhelfen kann, denn die genannten Formeln sagen mir nichts, und die Zahlen kann ich auch nicht nachvollziehen, weil ich weder entsprechenden Tabellen vorliegen habe noch einen Computer, der so etwas ausrechnet.
Aber wenn ich es richtig verstanden habe, dann heißt
> Hypothese: p [mm] \le [/mm] 0,5 für das Ertasten des Herkunftlandes von Euro-Münzen.
> n= 20 ; Irrtumswahrscheinlichkeit : 5%"
auf gut Deutsch:
"Wie oft muss ich bei 20 Versuchen eine Münze richtig ertasten, damit die Behauptung, dass man weniger als 50 % der Münzen ertasten kann, mit weniger als 5%iger Wahrscheinlichkeit falsch ist?"
Mein Lösungsansatz wäre, dass man - mit Hilfe von Tabelle bzw. Computerprogramm - ermittelt, wie groß bei einer Fifty-Fifty-Chance die Wahrscheinlichkeit ist, dass man von 20 Versuchen Null Mal, 1 Mal, 2 Mal, ... 19 Mal, 20 Mal richtig liegt.
Und dann müsste man die Einzelergebnisse aufaddieren, also z.B. mindestens 10 Mal, mindestens 11 Mal, mindestens 12 Mal etc.
Ab welcher Zahl kommt man dann darauf, dass es weniger als 5 % sind, die als Irrtum übrig bleiben?
So viel ich weiß, gibt es so tolle Taschenrechner, die das Ergebnis nach wenigen Tastendrücken ausspucken.
Was genau wird denn berechnet, wenn du [mm] F_{20;0.5} [/mm] (13) eingibst ??
Ich meine nicht, welche Zahl da raus kommt, sondern was für eine Rechenoperation ausgelöst wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:28 Do 02.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo hase-hh,
> zunächst sind einseitige Tests dadurch gekennzeichnet, dass
> ich einen Bereich suche bzw. eine Grenze bis zu der eine
> Hypothese angenommen bw. abgelehnt wird.
>
> Während bei zweiseitigen Tests um einen mittleren Wert
> herum ein Annahmebereich gebildet wird...
>
>
> Bei der Lösung habe ich zwei Dinge nicht verstanden.
>
> 1. Gehe ich vom Annahmebereich aus, dann berechne ich den
> Wert der Verteilungsfunktion [mm]F_{20;0,5}[/mm] (13)
>
> und dieser hat den Wert ---> 0,9793 und nicht 0,9423
> !???
Laut ![[]](/images/popup.gif) http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm#binvert ist
[mm] $F_{20;0.5}(13)=0,9423$ [/mm] und
[mm] $F_{20;0.5}(14)=0,9793$.
[/mm]
Manchmal ist [mm] $F_{20;0.5}(k)$ [/mm] nicht definiert als [mm] $P(X\le [/mm] k)$ (wie in der Lösung und in der zitierten Tabelle), sondern als $P(X<k)$. Vielleicht kommt daher deine Verwirrung?
> bzw. 1 - [mm]F_{20;0,5}[/mm] (13) = 1 - 0,9793 = 0,0207
>
>
> 2. Bei der Berechnung des Intervalls wurde mit
>
> [mm]\mu[/mm] + 1,64* [mm]\sigma[/mm] gerechnet und nicht mit
>
> [mm]\mu[/mm] + 1,96* [mm]\sigma[/mm] , was ja für 5%
> Irrtumswahrscheinlichkeit gilt.
>
> Warum nicht???
Bei den Sigma-Intervallen musst du nach einseitigen und zweiseitigen Tests unterscheiden, d.h., bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% ergibt sich bei zweiseitigen Test der Annahmebereich [mm] $[\mu [/mm] - 1,96* [mm] \sigma,\mu [/mm] + 1,96* [mm] \sigma]$, [/mm] bei einem rechtsseitigen Test dagegen [mm] $[0,\mu [/mm] + 1,64* [mm] \sigma]$.
[/mm]
Bei einem zweiseitigen Test wird die Irrtumswahrscheinlichkeit ja zur Hälfte auf den linken und rechten Ablehnungsbereich aufgeteilt, während es bei einem rechtsseitigen Test nur einen Ablehnungsbereich gibt, der deswegen größer ist.
Oder anders gesagt:
Bei einem zweiseitigen Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit 10% lautet der Annahmebereich: [mm] $[\mu [/mm] - 1,64* [mm] \sigma,\mu [/mm] + 1,64* [mm] \sigma]$
[/mm]
Bei einem rechtsseitigen Test mit Irrtumswahrscheinlichkeit 5% lautet der Annahmebereich: [mm] $[0,\mu [/mm] + 1,64* [mm] \sigma]$
[/mm]
(in beiden Fällen befindet sich rechts sozusagen eine Ablehnungsbereich mit Wahrscheinlichkeit 5%.)
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | > [mm]F_{20;0.5}(13)=0,9423[/mm] und
> [mm]F_{20;0.5}(14)=0,9793[/mm].
Was genau wird denn da gerechnet, um auf diese Werte zu kommen?
Die fallen ja nicht einfach so vom Himmel ! |
Meines Erachtens muss das so sein, wie ich es schon weiter oben erwähnte: Dass es die Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Und diese Einzelwahrscheinlichkeiten werden wiederum nach der "Toto-Formel" berechnet:
Z.B ist die Wahrscheinlichkeit, 12 (von 13) Richtige im Toto (Gewinnwahrscheinlichkeit 1:3) zu haben:
[mm] 0.3333^{12}*0.6667^{1}*13
[/mm]
Oder: Die Wahrscheinlichkeit, 11 Richtige im Toto zu haben, ist
[mm] 0.3333^{11}*0.6667^{2}*\bruch{13*12}{2}
[/mm]
Wenn man das dann alles aufaddiert, so ist das eine mühselige Rechnung. Um den Leuten diese Arschleder-Arbeit abzunehmen, gibt es dann diese Programme, die das erledigen. Aber meistens ist gar nicht klar, wie das Programm auf die Zahlen kommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Do 02.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo rabilein1,
> > [mm]F_{20;0.5}(13)=0,9423[/mm] und
> > [mm]F_{20;0.5}(14)=0,9793[/mm].
>
> Was genau wird denn da gerechnet, um auf diese Werte zu
> kommen?
> Die fallen ja nicht einfach so vom Himmel !
Ich weiß jetzt nicht, ob du eine Antwort auf diese Frage haben willst, deswegen zur Sicherheit:
[mm] $F_{20;0.5}(13)=B_{20;0.5}(0)+B_{20;0.5}(1)+\ldots+B_{20;0.5}(13)$
[/mm]
wobei
[mm] $B_{20;0.5}(k):={20\choose k} 0.5^k *0.5^{20-k}$
[/mm]
Schwierig zu berechnen sind dabei höchstens die Binomialkoeffizienten [mm] ${20\choose k}$, [/mm] da die Fakultäten recht gross werden können, aber da kann man auch geschickt vorgehen oder Näherungsformeln benutzen.
Zum Aufstellen einer kompletten Tabelle kann man folgenden Zusammenhang ausnutzen:
[mm] $F_{20;0.5}(0)=B_{20;0.5}(0)$
[/mm]
[mm] $F_{20;0.5}(1)=F_{20;0.5}(0)+B_{20;0.5}(1)$
[/mm]
[mm] $F_{20;0.5}(2)=F_{20;0.5}(1)+B_{20;0.5}(2)$
[/mm]
[mm] $F_{20;0.5}(3)=F_{20;0.5}(2)+B_{20;0.5}(3)$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $F_{20;0.5}(14)=F_{20;0.5}(13)+B_{20;0.5}(14)$
[/mm]
> Meines Erachtens muss das so sein, wie ich es schon weiter
> oben erwähnte: Dass es die Addition der
> Einzelwahrscheinlichkeiten ist.
Genau!
> Und diese Einzelwahrscheinlichkeiten werden wiederum nach
> der "Toto-Formel" berechnet:
>
> Z.B ist die Wahrscheinlichkeit, 12 (von 13) Richtige im
> Toto (Gewinnwahrscheinlichkeit 1:3) zu haben:
> [mm]0.3333^{12}*0.6667^{1}*13[/mm]
>
> Oder: Die Wahrscheinlichkeit, 11 Richtige im Toto zu
> haben, ist
> [mm]0.3333^{11}*0.6667^{2}*\bruch{13*12}{2}[/mm]
>
> Wenn man das dann alles aufaddiert, so ist das eine
> mühselige Rechnung. Um den Leuten diese Arschleder-Arbeit
> abzunehmen, gibt es dann diese Programme, die das
> erledigen. Aber meistens ist gar nicht klar, wie das
> Programm auf die Zahlen kommt.
Es sollte ungefähr so funktionieren wie oben vorgestellt.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Do 02.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Was ich "komisch" finde, ist allerdings Folgendes:
Die Differenz zwischen "14 Treffer" und "13 Treffer" beträgt 0.037
(0.9793 minus 0.9423). Auf so einen Wert komme ich allerdings gar nicht, wenn ich die Wahrscheinlichkeiten der Einzel-Ereignisse berechne:
p(13) ist 0.1200
p(14) ist 0.0793
p(15) ist 0.0148
Berechungsmethode für z.B. p(14) ist:
[mm] 0.5^{20}*\bruch{20*19*18*17*16*15*14}{1*2*3*4*5*6*7} [/mm] = 0.074
Anstelle von [mm] 0.5^{20} [/mm] müsste man eigentlich schreiben: [mm] 0.5^{14}*0.5^{6}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:42 Do 02.10.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo
> Berechungsmethode für z.B. p(14) ist:
>
> [mm]0.5^{20}*\bruch{20*19*18*17*16*15*14}{1*2*3*4*5*6*7}[/mm] =
> 0.074
Dein Bruch sieht nach [mm] ${20\choose 13}$ [/mm] aus und nicht nach [mm] ${20\choose 14}$.
[/mm]
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 02.10.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Dein Bruch sieht nach [mm]{20\choose 13}[/mm] aus und nicht nach
> [mm]{20\choose 14}[/mm].
Ja, dann verschiebt sich das alles eben um 1.
Trotzdem taucht die Differenz von 0.037 (die ja eigentlich zwischen 13 und 14 liegen sollte) nirgends auf.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:10 Fr 03.10.2008 | | Autor: | Marc |
> > Dein Bruch sieht nach [mm]{20\choose 13}[/mm] aus und nicht nach
> > [mm]{20\choose 14}[/mm].
>
> Ja, dann verschiebt sich das alles eben um 1.
>
> Trotzdem taucht die Differenz von 0.037 (die ja eigentlich
> zwischen 13 und 14 liegen sollte) nirgends auf.
[mm] $0.5^{20}*{20\choose 14}=0.5^{20}*\bruch{20*19*18*17*16*15}{1*2*3*4*5*6}=0.03696441650390625$
[/mm]
|
|
|
|
