einstellige Aussageform < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Hallo hatte heute meinen 1. Tag an der Uni zu Köln und war bei meinem Vorkurs. Dort hatten wir folgende Defintion:
Eine einstellige Aussageform H mit Einsetzungsmenge Omega(kein zeichen vorhanden) ist ein gramatikalisch korrekter Ausdruck mit folgender Eigenschaft: Für x [mm] \in [/mm] Omega ist H(x) eine Aussage
Ich verstehe leider nicht was eine einstellige Aussageform ist. Wie kann ein Ausssageform einstellig oder zweistellig sein?! Und wie kann man eine Einsetzungsmenge in eine Aussageform einsetzen?! Ich weiss nur, dass man Werte in Formeln einsetzen kann.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Georg
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> Hallo hatte heute meinen 1. Tag an der Uni zu Köln und war
> bei meinem Vorkurs. Dort hatten wir folgende Defintion:
> Eine einstellige Aussageform H mit Einsetzungsmenge [mm] \Omega [/mm] ist
> ein grammatikalisch korrekter Ausdruck mit folgender Eigenschaft:
> Für x [mm]\in\Omega[/mm] ist H(x) eine Aussage
>
> Ich verstehe leider nicht was eine einstellige Aussageform
> ist. Wie kann ein Ausssageform einstellig oder zweistellig
> sein?! Und wie kann man eine Einsetzungsmenge in eine
> Aussageform einsetzen?! Ich weiss nur, dass man Werte in
> Formeln einsetzen kann.
>
> Gruß Georg
Hallo Georg,
zwei Beispiele:
Die Gleichung [mm] x^2=4 [/mm] ist bezüglich der Einsetzungsmenge [mm] \Omega=\IZ
[/mm]
eine einstellige Aussageform.
Die Gleichung hat eine Variable x, für die Elemente aus [mm] \IZ
[/mm]
eingesetzt werden dürfen. Setzt man 3 ein, so ergibt sich
die Aussage [mm] 3^2=4, [/mm] welche offensichtlich falsch ist.
Setzt man an Stelle von x die Zahl -2 ein, so erhält
man die wahre Aussage [mm] (-2)^2=4.
[/mm]
Die Erfüllungsmenge der Aussageform ist in diesem
Fall die Menge [mm] \{-2\,,\,2\}
[/mm]
Die Gleichung [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] ist bezüglich [mm] \Omega=\IN [/mm] eine
dreistellige Aussageform, weil sie drei freie Variable hat,
für welche man natürliche Zahlen einsetzen darf. Durch
konkretes Einsetzen ergeben sich dabei wieder Aussagen,
die entweder wahr oder falsch sind, etwa:
[mm] $1^2+1^2=2^2$ [/mm] falsch
[mm] 5^2+12^2=13^2 [/mm] wahr
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Ok, danke für deine Antwort, das habe ich jetzt soweit verstanden, jetzt hatten wir 2 Beispiele zu dieser Definition:
1. omega = {37, 26}
H(x): = x ist größer als 10.
Diese aussage kann ich nachvollziehen da jeder wert der Menge Omega über 10 liegt und da x eine Teilmenge von Omega ist muss es folglich größer als 10 sein.
2. Omega = [mm] \IN
[/mm]
H(x): = x ist eine Primzahl
Diese Aussage kann ich nur teilweise nachvollziehen. Es ist zwar richtig, dass man das so definieren kann, aber es ist nicht eindeutig und logisch ableitbar wie bei Bsp 1, d.h. ich verstehe nicht woher wir wissen das x eine Primzahl ist. Oder definieren wir es nur so und wissen es gar nicht?!
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> Ok, danke für deine Antwort, das habe ich jetzt soweit
> verstanden, jetzt hatten wir 2 Beispiele zu dieser
> Definition:
> 1. omega = {37, 26}
> H(x): = x ist größer als 10.
> Diese aussage kann ich nachvollziehen da jeder wert der
> Menge Omega über 10 liegt und da x eine Teilmenge von
> Omega ist muss es folglich größer als 10 sein.
x ist keine Teilmenge von [mm] \Omega, [/mm] sondern einfach ein
Platzhalter, der durch ein Element von [mm] \Omega [/mm] ersetzt
werden kann.
Auch die Aussageform K mit K(x):= x>30 kann
auf [mm] \Omega [/mm] betrachtet werden. Dann wäre eben
die Aussage K(37) wahr und die Aussage K(26) falsch.
> 2. Omega = [mm]\IN[/mm]
> H(x): = x ist eine Primzahl
>
> Diese Aussage kann ich nur teilweise nachvollziehen. Es ist
> zwar richtig, dass man das so definieren kann, aber es ist
> nicht eindeutig und logisch ableitbar wie bei Bsp 1,
(was hast du in Beispiel 1 logisch abgeleitet ?)
> d.h. ich verstehe nicht woher wir wissen das x eine Primzahl
> ist. Oder definieren wir es nur so und wissen es gar
> nicht?!
Beachte: H ist gar keine Aussage, sondern bloß eine
Aussageform ! Das ist eben nicht dasselbe.
Erst wenn man für x einen konkreten Zahlenwert,
zum Beispiel 91 einsetzt, entsteht eine Aussage,
nämlich: "91 ist eine Primzahl". Diese Aussage ist
übrigens falsch, aber eben trotzdem eine Aussage.
Die Aussage [mm] H(2^{43'112'609-1}), [/mm] also:
[mm] "2^{43'112'609-1} [/mm] ist eine Primzahl"
ist wahr. Allerdings weiß man dies erst seit etwa einem Jahr.
Dezimal ausgeschrieben hätte diese Zahl fast 13 Millionen
Stellen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
> x ist keine Teilmenge von [mm]\Omega,[/mm] sondern einfach ein
> Platzhalter, der durch ein Element von [mm]\Omega[/mm] ersetzt
> werden kann.
In der Definition steht aber ...folgender Eigenschaft: Für x [mm] \in [/mm] omega ist H(x) eine Aussage.
x [mm] \in [/mm] omega wird doch als "x ist Element der Menge Omega" ausgeschrieben oder nicht?!
Zitat Wikipedia: Die Dinge, die in einer Menge enthalten sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer Menge M, so schreibt man dafür formal: x [mm] \in \mathbf [/mm] M.
Hier steht zwar Element, aber wenn ich Sage, dass X>10 ist und meine Menge Omega {1,5,15,25} ist dann habe ich 15 und 25 auf X zutreffend und dann sind es mehrere Elemente der Menge, also eine Teilmenge.
> (was hast du in Beispiel 1 logisch abgeleitet ?)
Das x größer als 10 sein muss war aber wie eben festgestellt Falsch :)
> Beachte: H ist gar keine Aussage, sondern bloß eine
> Aussageform ! Das ist eben nicht dasselbe.
> Erst wenn man für x einen konkreten Zahlenwert,
> zum Beispiel 91 einsetzt, entsteht eine Aussage.
Heißt das wir legen erst die Aussage h fest und prüfen dann ob sie stimmt oder nicht?!
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Hallo Georg,
> > x ist keine Teilmenge von [mm]\Omega,[/mm] sondern einfach ein
> > Platzhalter, der durch ein Element von [mm]\Omega[/mm] ersetzt
> > werden kann.
>
> In der Definition steht aber ...folgender Eigenschaft: Für
> x [mm]\in[/mm] omega ist H(x) eine Aussage.
> x [mm]\in[/mm] omega wird doch als "x ist Element der Menge Omega"
> ausgeschrieben oder nicht?!
richtig
> Zitat Wikipedia: Die Dinge, die in einer Menge enthalten
> sind, heißen Elemente. Ist ein Objekt x Element einer
> Menge M, so schreibt man dafür formal: x [mm]\in \mathbf[/mm] M.
> Hier steht zwar Element, aber wenn ich Sage, dass X>10 ist
> und meine Menge Omega {1,5,15,25} ist dann habe ich 15 und
> 25 auf X zutreffend und dann sind es mehrere Elemente der
> Menge, also eine Teilmenge.
Also: du hast [mm] \Omega= [/mm] {1,5,15,25} und die Aussageform x>10
Die Werte, die für x eingesetzt werden dürfen, sind
Elemente von [mm] \Omega [/mm] . Die Menge aller [mm] x\in\Omega, [/mm] für welche x>10 zu-
trifft, ist dann eine Teilmenge (aber kein Element) von [mm] \Omega.
[/mm]
> > Beachte: H ist gar keine Aussage, sondern bloß eine
> > Aussageform ! Das ist eben nicht dasselbe.
> > Erst wenn man für x einen konkreten Zahlenwert,
> > zum Beispiel 91 einsetzt, entsteht eine Aussage.
>
> Heißt das wir legen erst die Aussage h fest und prüfen
> dann ob sie stimmt oder nicht?!
Ja. Zuerst ist da nur die Aussageform H(x). Durch Ein-
setzen eines konkreten Elementes aus [mm] \Omega [/mm] für die Variable x
wird daraus eine Aussage. Diese Aussage kann entweder
wahr oder falsch sein. So weit ist praktisch alles nur
formal und "unverbindlich". Erst dann kommt wirkliche
Mathematik zum Zug, wenn nämlich entschieden wird,
für welche x die Aussage wahr und für welche sie falsch ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Danke nochmal für deine ausführlichen Antworten! Jetzt habe ich aber noch eine Frage die ich unbedingt loswerden muss :) ist auch nur nochmal zur sicherheit und ganz kurz :)
Also wenn [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] omega : H(x) gelten soll, heißt das dann, dass alle Elemente von Omega H gerecht werden müssen um die Aussage als Wahr zu erachten?!
D.h. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] {3,7,26} H(x): = x>10 ist falsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mo 07.09.2009 | | Autor: | Georg321 |
Vielen dank nochmal echt super nett von dir mir bei dieser ganzen Fragerei zu Helfen.
Gruß Georg
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