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| Aufgabe | Eine Kupferstange mit einem Radius 2 mm und der Länge 12 cm rollt mit vernachlässigbaren (mechanischen) Reibungsverlusten auf zwei parallelen und horizontalen Kupferschienen die elektrisch über einen Widerstand von [mm] $0,5\;\Omega$ [/mm] verbunden sind (siehe Abbildung).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der Abstand zwischen den Kontaktpunkten der Stange mit den Schienen beträgt 10 cm. Senkrecht zur Ebene der Schienen ist ein homogenes Magnetfeld der Stärke 2 T. Wie weit von ihrer urspünglichen Lage rollt die Stange, wenn die Anfangsgeschwindigkeit [mm] $1\;\frac{m}{s}$ [/mm] beträgt?
Die elektrischen Widerstände der Schienen und der Stange sind zu vernachlässigen. |
Hallöchen!
Hab schon ne ganze Weile rumgerechnet und überlegt, wie das Problem zu lösen ist. Die wohl essentiellen Formeln, sind demnach
[mm] $E_{kin}=\rho_{Cu}\cdot l\cdot r^2\cdot\pi [/mm] = 13,5mJ$ mit [mm] $\rho_{Cu}=8920\frac{kg}{m^3}$
[/mm]
die rücktreibende/bremsende Kraft ist die nach Lenz:
[mm] $F=I\cdot B\cdot [/mm] a$
wobei nach Ohm
[mm] $I=\frac{U}{R}$
[/mm]
und dach dem Induktionsgesetz
[mm] $U=-\frac{B\cdot dA}{dt}$
[/mm]
aus der Geometrie des Aufbaus folgt
[mm] $A=A_0 [/mm] + [mm] a\cdot [/mm] x$
wobei x der gesuchte Wegabschnitt ist.
Jetzt weiß ich nicht mehr so recht weiter. Da sowohl x, als auch [mm] $\frac{dx}{dt}$, [/mm] als auch [mm] $\frac{d^2x}{dt^2}$ [/mm] zeitabhängig sind.
Kann mir hier jemand von euch weiterhelfen?
Eine zweite Idee, die ich hatte ist, dass die Kupferstange aufgrund der fehlenden Reibung gar nicht aufhört zu rollen, da sich ja mit der Geschwindigkeit auch immer die Lorenzkraft verringert. Um das zu beweisen müsste ich allerdings einen mathematischen Zusammenhang zwischen v und F herleiten können, womit ich wieder beim obigen Problem bin.
Ich danke euch für eure Mühe!
Gruß miniscout ![[snoopysleep]](/images/smileys/snoopysleep.gif "[snoopysleep]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo miniscout,
den Großteil der Gleichungen hast Du schon richtig identifiziert, an ein paar Stellen muss man noch ein bisschen weiter denken.
Durch den rollenden Stab vergrößert sich von Sekunde zu Sekunde der Fluss durch die Fläche. Du hast schon recht:
$$ U = - B [mm] \bruch{dA}{dt} [/mm] $$
In jedem Zeitintervall dt vergrößert sich die Breite der Fläche um einen Betrag dx. Der Quotient aus diesen beiden Größen ist genau die Geschwindigkeit v, also
$$ U = - B a v [mm] \, [/mm] . $$
Hierdurch fliesst ein Strom durch den Leiter und zusammen mit dem Magnetfeld wird auf den Stab eine Kraft
$$ F = i l [mm] \times [/mm] B [mm] \, [/mm] $$
Damit hast Du alles beisammen, um weiterzukommen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Hallo!
Okay, also wenn ich jetzt einsetzte bekomme ich folgendes
$U=-Bav$
[mm] $I=\frac{U}{R}=\frac{-Bav}{R}$
[/mm]
[mm] $F=-\frac{-Bav}{R}\cdot a\cdot B=-\frac{B^2a^2}{R}\cdot [/mm] v$
Nunja, jetzt hab ich zwar einen Zusammenhang zwischen Kraft und Weg, aber ich glaub, das bringt mir nicht so recht was. Wie kann ich die Gleichung umformen, sodass ich nur noch die Kraft und den Weg drin hab?
Alles was ich versucht hab, hatte die Zeit als Variable drin...
Dankeschön ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]")
miniscout
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 10.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das gibt ne sehr einfache Dgl da ja F=m*dv/dt.
Übrigens mit dem beliebig weit: kennst du das mit Achilles und der Schildkröte?
Gruss leduart
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> Hallo
> Das gibt ne sehr einfache Dgl da ja F=m*dv/dt.
> Übrigens mit dem beliebig weit: kennst du das mit Achilles
> und der Schildkröte?
> Gruss leduart
Hallo,
ja, das war mir auch bewusst, aber ich muss doch irgendwie nach F auflösen, um sie dann mit der kinetischen Energie gleichzusetzen oder?
Also ich komme nicht weiter, kann mir jemand mal einen kräftigen Stoß geben, damit ich von der Leitung falle, auf der ich grad steh? ![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
Gruß miniscout ![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo miniscout,
nichts gegen die Energie, aber hüpfe doch einmal von ihr runter und nutze Leduarts Tipp.
Wie Du den Strom berechnest weisst Du, damit ist auch klar, wie groß die Kraft ist, die auf den Stab im Magnetfeld wirkt, das weisst Du auch. Ich bezweifle jedoch, dass Du Dir die Richtung, in die diese Kraft wirkt, mal klargemacht hast. Die induzierte Spannung im Stab sorgt dafür, dass sich am unteren Ende positive Ladungen sammeln, am oberen Ende negative. Der Strom fliesst demzufolge von oben nach unten durch den Stab durch. Mit dem von mir angegebenen Kreuzprodukt wirkt demzufolge diese Kraft entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des Stabes. Jetzt kommt wieder Leduarts Newton in Spiel, denn das bedeutet, dass der Stab immer langsamer werden muss. Mit Hilfe der Dichte und dem Durchmesser lässt sich seine Masse bestimmen und wenn wir nun [mm] F = ma = mx^{''} [/mm] setzen und für F die magnetische Kraft einsetzen, hast Du eine DGL, die man einmal nach t hochintegrieren kann. Nach einer bestimmten Zeitspanne wird der Stab zur Ruhe kommen, dann ist seine Geschwindigkeit Null und diese Zeitspanne kann man in die nochmal hochintegrierte DGL einsetzen, um herauszubekommen, wie weit dieser Stab gekommen ist.
Ein Phänomen bewirkt hier eine ganze Kette weiterer Phänomene, aber das Ganze lässt sich noch ganz gut berechnen.
Viele Grüße,
Infinit
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