endl. Körper / Polynome irred. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich beschäftige mich hier mit endlichen Körpern und Erweiterungskörpern von endlichen Körpern. Leide haben wir in unsere früheren Algebra Vorlesung dieses Thema nicht wirklich behandelt und dementsprechend sind meine Vorkenntnisse :-( .... ( Also vorab, sorry für blöde Fragen! )
Beispiel 1 :
[mm] F_4 \left[x \right ] = F_2 \left[x \right ] / p \cdot F_2 \left[x \right ] [/mm]. p normiertes , irrd. Polynom .
( Warum schaut [mm] F_4 \left[x \right ] [/mm] so aus; gibt es denn da ein Gesetz, mit dessen Hilfe man das konstruiert? Und warum benutzt man ausschleißlich [mm] F_2 \left[x \right ] [/mm] ? )
Die Polynome vom Grad 2 in [mm] F_2 \left[x \right ] [/mm] sind:
( Warum betrachtet man die vom Grad 2 ? )
[mm] x^2 [/mm]
[mm] x^2 + 1 [/mm]
[mm] x^2 + x +1 [/mm] = p irreduzibel. Warum ist das irred. und warum das ausgerechnet das Polynom ? )
Beispiel 2
Sei w die Klasse von x in [mm] F_2 \left[x \right ] / p \cdot F_2 \left[x \right ] [/mm]
Es gilt:
[mm] \mathbb F_4 = \{ a + bw \ | \ a, b \in F_2 \left[x \right ] \} [/mm]
Was ist das für ein w , wie kann ich mir das vorstellen? Auch ein Polynom ?
Es gilt [mm] w^2 = w + 1 [/mm] Warum?
Frage: Gibt es in [mm] F_4 \left[x \right ] [/mm] ein irredu. Polynom vom Grad 2 ?
Die normierten Polynome in [mm] F_4 \left[x \right ] [/mm] von Grad 2 sind:
[mm] x^2 [/mm] [mm] x^2 + w [/mm] [mm] x^2 + xw [/mm]
[mm] x^2 + 1 [/mm] [mm] x^2 + w + 1 [/mm] \ [mm] x^2 + xw + w [/mm]
[mm] x^2 + x +1 [/mm] [mm] x^2 + wx +1 [/mm] irred [mm] x^2+(w+1)x [/mm]
[mm] x^2 + x [/mm] [mm] x^2 + wx + w+ 1 [/mm] [mm] x^2 + ( w+1) x + 1 [/mm] irred
[mm] x^2 + (w+a)x + w [/mm]
[mm] x^2 + (w+1)x + w +1 [/mm]
[mm] x^2 + x + w [/mm]
[mm] x^2 + x + w + 1 [/mm]
Ich versteh absolut nicht , welche Rolle dieses w spielt und warum die zwei Polyonome irreduzibel sind !
Es gilt:
[mm] w^2 + w+ 1 = 0 [/mm] in [mm] F_4 \left[x \right ] [/mm]
[mm] x^2 + x +1 = (x-w)(x(w+1)) [/mm]
[mm] (w+1)^2 = w^2 + 1 [/mm]
Warum gilt das alles ?
Ich hoffe sehr, dass mir das jemand erklären kann? Ich habe den Körper
[mm] F_4 \left[x \right ] [/mm] bis jetzt immer mit [mm] \mathbb Z / 4 \mathbb Z [/mm] betrachtet, welches ja auch 0 ,1 ,2, 3 besteht... Aber hier vestehe ich leider nix!!1
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hi !
Also man kann sich einen Körper miz [mm] p^{n} [/mm] Elementen folgendermaßen konstruieren.
[mm] \IF_{p^{n}}:=\IF_{p}[X]/(f), [/mm] wobei f ein irreduzibles Polynom vom Grad n [mm] \in \IF_{p}[X] [/mm] ist.
Denn es gilt: f irreduzibel [mm] \Rightarrow [/mm] (f) maximal, da [mm] \IF_{p}[X] [/mm] Hauptidealring ist. Da (f) maximal ist, ist [mm] \IF_{p}[X]/(f) [/mm] Körper.
Dieser Körper hat [mm] p^{n} [/mm] Elemente, denn mit Division mit Rest von g mit f ergibt (wobei g beliebig [mm] \in \IF_{p}[X]):
[/mm]
$g=q*f+r$, $grad r < grad f < n$
[mm] \Rightarrow \overline{g} [/mm] = [mm] \overline{q}*\overline{f}+\overline{r}
[/mm]
Da wir modulo f rechnen ist [mm] \overline{q}*\overline{f}= \overline{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \overline{g}=\overline{r}. [/mm] grad r < n
[mm] \Rightarrow \IF_{p}[X]/(f))= [/mm] { [mm] \overline{a_{n}X^{n-1}+....+a_{0}, mit a_{i}\in \IF_{p}} [/mm] }
Wenn der "Strich" benutzt wird, wurde folgende Defintion benutzt:
[mm] \overline{a}= [/mm] a+(f)
Wenn wir also nun [mm] \IF_{4} [/mm] bestimmen wollen, brauchen wir also ein irreduzibles Polynom 2. Grades (denn [mm] 4=2^{2})\in \IF_{2}[X]
[/mm]
Z.B. ist f=X²+X+1 irreduzibel in [mm] \IF_{2}[X]. [/mm] Da [mm] \IF_{2} [/mm] Körper ist, lässt sich die Irreduziblität leicht zeigen, denn allgemein gilt:
Sei K Körper, f Polynom 2. oder 3.Grades. f ist irreduzibel in K[X] gdw. f keine Nullstellen in K hat.
Also einfach 0 und 1 in das Polynom einsetzen, beide Male [mm] \not= [/mm] 0, also hat f keine Nullstelle in [mm] \IF_{2}[X]. [/mm] Folglich gilt z.B.
[mm] \IF_{4}[X]=\IF_{2}[X]/(X²+X+1)
[/mm]
Bzgl. der Vorstellung der Elemente des Körpers:
Meiner Meinung nach kann man sich die Elemente nicht veranschaulichen und vorstellen. Zumindest habe ich Probleme mir Restklassen dieser Art vorzustellen. a+(f), wobei f [mm] \in [/mm] K[X] ist zum Beispiel die Menge der Polynome {a+f*g, [mm] g\in [/mm] K[X]} ,wobei a und f fest vorgegebene Polynome sind. Jede Restklasse ist also ein Menge von Polynome und alle zusammen formen den Körper.
Gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Danke für den Beitrag. Jetzt bin ich auf jeden Fall viel schlauer, was die Konstruktion dieser Körper betrifft...
Aber leider bleibt immernoch die Frage nach dem w !
Was ist das w? Was für ein Polynom ist das, oder ist es etwa keins?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 So 02.11.2008 | | Autor: | Fry |
Hi du,
also nochmal zum Beispiel [mm] \IF_{4}
[/mm]
Es gilt ja: [mm] \IF_{4}={ \overline{aX+b} | a,b\in\IF_{2}}
[/mm]
[mm] ={a\overline{X}+b | a,b\in\IF_{2}}
[/mm]
So...das sieht ja eigentlich fast genau wie die Beschreibung aus deiner Vorlesung aus,ne ? Es wurde doch nur die Restklasse [mm] \overline{X} [/mm] durch w (symbolisch) ersetzt.
Also [mm] w=\overline{X}=X+(X²+X+1)=X+(f).
[/mm]
Jetzt ist ja [mm] \IF_{4}[X] [/mm] der Polynomring mit den Restklassen von oben als Koeffizienten. Blöd ist halt, dass X als Variable gewählt wurde, und die Koeffizienten der Art [mm] a*\overline{X}+b [/mm] sind. Wegen der Verwechslungsgefahr hat man dann wohl [mm] \overline{X} [/mm] durch w ersetzt.
Wir rechnen auch im Polynomring noch modulo f bzgl der Koeffizienten, also "modulo X²+X+1"
und damit ist w²+w+1=0 (w wurde in das Polynom X²+X+1 eingesetzt)
[mm] \Rightarrow [/mm] w²=-w-1
[mm] \Rightarrow [/mm] w²= w+1 (da die Koeffizienten [mm] \in \IF_{2}: [/mm] -1=1)
Daher auch: (w+1)²=w²+2w+1=w²+1
Für den Beweis der Irreduziblität der Polynome musst du die 4 Körperelemente (0,1,w+1,w) einsetzen und schauen, ob null rauskommt.
Viele Grüße
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 So 02.11.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Nur noch mal ganz kurz:
Warum sind die Elemente ( 0, 1 , w + 1 , w ) ?
Vielen DAnk!
Viele Grüße
irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 So 02.11.2008 | | Autor: | Fry |
Naja: [mm] \IF_{4}=\{a\overline{X}+b | a,b\in\IF_{2}\}
[/mm]
Elemente aus [mm] \IF_{2}=\{0.1\} [/mm] dann einfach einsetzen für a und b...
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