endliche Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 So 13.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
| Aufgabe | Hi,
es gibt ja die endl. Körper Z/pZ wobei p Primzahl ist. Ferner ist es ja so, dass es für [mm] p^n [/mm] für n ist eine nat. Zahl auch Körper gibt, die diese Mächtigkeit besitzen. |
Meine Frage ist jetzt, wie ich diese "Primzahlpotenzkörper" durch zykl. abelsche Gruppen identifizieren kann.
Meine erste Idee war, dass der Körper mit [mm] p^n [/mm] Elementen isomorph ist zu dem n- fachen direkten Produkt von Z/pZ mit sich selbst, aber das folgt nicht aus dem chinesischen Restsatz und ist daher vermutlich auch falsch (also beispielsweise, dass der Körper mit 4 Elementen isomorph ist zu Z/2Z x Z/2Z). Da es aber nur 2 Gruppen mit 4 Elementen gibt nämlich letztere und Z/4Z und Z/4Z garantiert kein Körper ist, denke ich, dass die Vermutung vllt doch richtig ist. Wie ist das nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 So 13.01.2013 | | Autor: | hippias |
Grundsaetzlich findest Du Informationen zur Konstruktion der endlichen Koerper in vermutlichen jedem Buch zur Einfuehrung in die Algebra.
Beachte, dass die multiplikative Gruppe eines Koerpers zyklisch ist, nicht jedoch notwendig seine additive Struktur. In diesem Sinne ist Deine Vermutung sogar richtig, dass ein Koerper der Ordnung [mm] $p^{n}$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ/p\IZ)^{n}$ [/mm] ist: denn das stimmt, aber nur, wenn man ihn als abelsche Gruppe ohne Multplikation betrachtet.
Moechtest die endlichen Koerper von ihrer multiplikativen Struktur her konstruieren, muestest Du die zyklischen Gruppen der Ordnung [mm] $p^{n}-1$ [/mm] betrachten (alles ausser der $0$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 So 13.01.2013 | | Autor: | Klerk91 |
okay gut, das mit der additiven struktur habe ich jetzt verstanden. aber zu was genau ist jetzt diese multiplikative struktur isomorph? aber nicht zur Einheitengruppe von (Z/p^nZ)?
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Die Einheitengruppe eines endlichen Körpers ist immer zyklisch.
Da in einem Körper mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen genau [mm] $p^n-1$ [/mm] Elemente (alle außer der Null) Einheiten sind, ist die multiplikative Gruppe des Körpers mit [mm] $p^n$ [/mm] Elementen also isomorph zu [mm] $C_{p^n-1}$, [/mm] der zyklischen Gruppe mit [mm] $p^n-1$ [/mm] Elementen (davon gibt es bis auf Isomorphie nur eine).
lg
Schadow
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