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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:30 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper. Für n [mm] \in \IN [/mm] und a [mm] \in [/mm] K bezeichne na = a + ... + a die n-fache Summe von a mit sich selber.
(i) Es existiert ein n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}, so dass na = 0 für alle a [mm] \in [/mm] K gilt.
(ii) Wählt man n wie vorstehend minimal, so ist n eine Primzahl, die so genannte Charakteristik von K. |
zu (i):
Das "für alle a" irritiert mich etwas. Ich würde behaupten, dass na = 0 nur für a = o gilt, da n [mm] \ge [/mm] 1.
Über den Körper wurde nichts gesagt, also welche Zahlen das sein können, dennoch kann ich mir kein anderes a vorstellen, dass die Behauptung erfüllt.
zu (ii):
Hier kann ich erstmal nicht viel sagen, da ich mir unter Charakteristik nichts vorstellen kann.
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Hallo,
wie du selbst mehrfach geschrieben hast, ist K ein endlicher Körper! Also [mm] K\not=\IR [/mm] etc. Für [mm] K=(\{0,1\},+,\cdot) [/mm] gilt doch z.B. 1+1=0.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Hm, da hätte ich tatsächlich selbst drauf kommen können.
Reicht es mir dann, den [mm] \IF_{2} [/mm] zu betrachten?
Was die Charakteristik im Falle [mm] \IF_{2} [/mm] angeht, wäre n = 2. Aber ich bin mir nicht im Klaren darüber, was man nun von mir hören will. Wenn ich nur n = 2 hinschreibe, ist das sicher zu wenig.
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> Hm, da hätte ich tatsächlich selbst drauf kommen
> können.
> Reicht es mir dann, den [mm]\IF_{2}[/mm] zu betrachten?
Nein, du sollst es ja für einen beliebigen endlichen Körper zeigen!
> Was die Charakteristik im Falle [mm]\IF_{2}[/mm] angeht, wäre n =
> 2. Aber ich bin mir nicht im Klaren darüber, was man nun
> von mir hören will. Wenn ich nur n = 2 hinschreibe, ist
> das sicher zu wenig.
Stimmt, du sollst zeigen, dass wenn man n minimal wählt, so dass na = 0 für alle a aus K, dann ist n eine Primzahl.
z.B. gilt dies auch für den [mm] \IF_3, \IF_5 [/mm] etc etc.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:20 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Funktioniert das dann über Induktion? Also IA wäre dann 2 für [mm] \IF_{2}?
[/mm]
Ich bräuchte nen Ansatz, wie ich an die Sache rangeh, um es allgemein zu beweisen.
Das gesuchte n ist doch immer die Anzahl der Elemente des Körpers, oder?
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Hiho,
> Das gesuchte n ist doch immer die Anzahl der Elemente des
> Körpers, oder?
Aha, dann hast du doch zumindest schonmal ein Ansatz.
Dann zeig das doch auch:
Sei also K ein endlicher Körper mit n Elementen, dann willst du jetzt zeigen:
na = 0
Na dann mal los.....
Im zweiten Schritt wäre dann zu zeigen n ist Primzahl.
Aber mach erstmal das erste.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Ich bin mit Induktion rangegangen, allerdings sagte mir dann eine Tutorin heute, dass man das so nicht macht. Ich poste das dennoch mal. Ich hab echt keinen Plan, wie ich das anders machen könnte.
zz. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] K [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} : na = 0
Beh.: n ist die Anzahl x der Elemente von K
Der kleinste Körper ist [mm] \IF_{2} [/mm] := {0,1}
IA: Sei n = 2
[mm] \Rightarrow [/mm] na = xa = 2a
1. Fall: a = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 * 0 = 0 + 0 = 0
2. Fall: a = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 2 * 1 = 1 + 1 = 0
Behauptung gilt für n = 2
IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges, aber festes n.
IS: Sei n [mm] \to [/mm] n + 1 = x
[mm] \Rightarrow [/mm] (n + 1) a = na + a = (x - 1)a + a = xa - a + a = xa = 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 03.11.2009 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Ich bin mit Induktion rangegangen, allerdings sagte mir
> dann eine Tutorin heute, dass man das so nicht macht. Ich
> poste das dennoch mal. Ich hab echt keinen Plan, wie ich
> das anders machen könnte.
...das wird so wohl auch nicht klappen...
>
> zz. [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] \ {0} : na = 0
>
> Beh.: n ist die Anzahl x der Elemente von K
Jetzt haben wir ein "zu zeigen" und eine "Behauptung". Was davon willst Du jetzt Beweisen?
>
> Der kleinste Körper ist [mm]\IF_{2}[/mm] := {0,1}
>
> IA: Sei n = 2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] na = xa = 2a
>
> 1. Fall: a = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 * 0 = 0 + 0 = 0
> 2. Fall: a = 1 [mm]\Rightarrow[/mm] 2 * 1 = 1 + 1 = 0
>
> Behauptung gilt für n = 2
OK, jetzt haben wir gezeigt dass im [mm] \IF_2 [/mm] na=0 gilt.
>
>
> IV: Die Behauptung gelte für ein beliebiges, aber festes
> n.
...und welchen Körper? Immer noch [mm] \IF_2?
[/mm]
>
>
> IS: Sei n [mm]\to[/mm] n + 1 = x
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (n + 1) a = na + a = (x - 1)a + a = xa - a + a
> = xa = 0
Wenn ich jetzt mal das ...=0 weglasse hast Du mit Deiner Rechnung gezeigt, dass (n+1)a = xa, was bei der Definition von x aber nicht weiter überrascht. Wenn Du dagegen die Induktionsvoraussetzung anwendest findest Du:
(n+1)a =na + a = (Ind. Ann.) 0+a = a
...was uns aber überhaupt nicht weiterhilft.
Der Ansatz über Induktion hat einige Probleme:
1.) muss man im Induktionsschritt auf einmal zu einem anderen Körper übergehen
2.) Gibt es nicht für jedes n einen passenden Körper (z.B. gibt es keinen Körper mit 6 Elementen)
3.) Ist Induktion eine Technik um etwas "für alle [mm] n\in \IN" [/mm] zu zeigen. Du musst aber zeigen, dass es ein n gibt, so dass für alle [mm] a\in [/mm] K usw.
Hier vielleicht mal ein Ansatz: Sei K ein Körper, n die Anzahl der Elemente von K.
Jetzt betrachte die Zahlen 0*a, 1*a, 2*a,....,n*a
Wie viele sind das und was bedeutet das, wenn K n Elemente enthält?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
> Hier vielleicht mal ein Ansatz: Sei K ein Körper, n die
> Anzahl der Elemente von K.
> Jetzt betrachte die Zahlen 0*a, 1*a, 2*a,....,n*a
> Wie viele sind das und was bedeutet das, wenn K n Elemente
> enthält?
Die Zahlen 0*a, 1*a, 2*a,..., n*a sind insgesamt n Stück, genauso viele, wie K Elemente besitzt...
Hilft mir aber nicht wirklich weiter. Sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Damn it, natürlich n + 1 ... kein Kommentar.
Aber auch das trägt zur Lösung meines Problems nicht bei, bzw. ich sehe die Lösung nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 03.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> Damn it, natürlich n + 1 ... kein Kommentar.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
...und können diese n+1 Elemente jetzt alle verschieden sein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Hm, das kommt ja auf das a an, aber da das ja ein festes a ist, müssten die doch verschieden sein?
Warum schaue ich mir eigentlich die Zahlen 0*a, 1*a, ... n*a an? n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Di 03.11.2009 | | Autor: | piet.t |
> Hm, das kommt ja auf das a an, aber da das ja ein festes a
> ist, müssten die doch verschieden sein?
...dann haben wir also n+1 verschiedene Elemente aus einem n-elementigen Körper ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> Warum schaue ich mir eigentlich die Zahlen 0*a, 1*a, ...
> n*a an? n [mm]\in \IN[/mm] \ {0}
nicht $n [mm] \in \IN_0$, [/mm] sondern $n = |K|$ - das ist ja gerade der Witz....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Klar ist n = |K|, ist mir klar, aber ich verstehe nun garnicht, was ich mit diesen n+1 Elementen will? Wieso 0*a?
Sorry, wenn ich langsam nerve, aber es ist mir einfach ein komplettes Rätsel.
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Ok, wir haben also einen Körper mit n Elementen.... aber wir haben n+1 Elemente (denn $0*a = 0$ ist schliesslich im Körper).
So, was heisst das nun, wenn du n Elemente im Körper hast, aber von $0*a$ bis $na$ n+1 Elemente?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Das wäre ja ein Widerspruch, es sei denn, na = 0*a = 0, dann wären es auch nur n Elemente.
Warum betrachte ich 0*a ? Ich soll doch na betrachten und n kann nicht 0 sein, also würde ich doch erst bei 1*a starten.
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Hiho,
> Das wäre ja ein Widerspruch, es sei denn, na = 0*a = 0,
> dann wären es auch nur n Elemente.
Nein, das muss nicht unbedingt gelten. Du weisst per se halt nur, dass es 2 Werte gibt, die gleich sind, das müssen aber nicht unbedingt $0*a$ und $n*a$ sein! (Außer du darfst verwenden, dass jedes $a [mm] \not= [/mm] 0$ den Körper erzeugt, dann folgt direkt $0 = na$) Klar?
Das können auch $5*a$ und $9*a$ sein..... du weisst also erstmal nur, dass es $0 [mm] \le [/mm] k,l [mm] \le [/mm] n, [mm] k\not= [/mm] l$ gibt, so dass $k*a = l*a$.
Nun konstruiere dir daraus mal ein Wert $0 < x [mm] \le [/mm] n$, so dass $x*a = 0$.
> Warum betrachte ich 0*a ? Ich soll doch na betrachten und n
> kann nicht 0 sein, also würde ich doch erst bei 1*a
> starten.
Moment, nun bist du verwirrt wegen der Bezeichnungen:
Du sollst zeigen, dass es ein n gibt, so dass $na = 0$. Nun haben wir aber auch $|K| = n$ gesetzt.
Später kannst du zeigen, dass für dieses n wirklich gilt $na = 0$, aber erstmal hast du hier oben ein "x", denn du hast ja ein beliebiges $a [mm] \in [/mm] K$ genommen, so dass das x was da rauskommt erstmal von a abhängt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Okay, ich fang nochmal von Vorne an.
Sei K ein Körper mit x Elementen und a [mm] \in [/mm] K.
[mm] \Rightarrow [/mm] K := {0*a, 1*a, ... , x*a}
0 [mm] \in [/mm] K, da 0 neutrales Element bzgl. Addition.
Widerspruch: Somit hätte K x+1 Elemente.
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] k,l,n, 0 [mm] \le [/mm] k, l [mm] \le [/mm] n, k [mm] \not= [/mm] l : ka = la
zz. [mm] \exists [/mm] x, 0 < n [mm] \le [/mm] x : n*a = 0
Stimmt dieser Ansatz so weit? Wenn nicht oder wenn doch, wie gehts weiter?
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Hiho,
> Sei K ein Körper mit x Elementen und a [mm]\in[/mm] K.
Warum nun x Elemente und nicht mehr n? Aber ok....
> [mm]\Rightarrow[/mm] K := {0*a, 1*a, ... , x*a}
Warum sollte K nur aus Vielfachen von a bestehen? Und warum packst du x+1 Elemente in den Körper, wenn K nur x Elemente hat?
> 0 [mm]\in[/mm] K, da 0 neutrales Element bzgl. Addition.
> Widerspruch: Somit hätte K x+1 Elemente.
Na bisher hast du noch keinen Widerspruch, ausser den, den du dir selbst durch deine falschen Annahmen bastelst...
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] k,l,n, 0 [mm]\le[/mm] k, l [mm]\le[/mm] n, k [mm]\not=[/mm] l :
> ka = la
Wo kommt das n her?
> zz. [mm]\exists[/mm] x, 0 < n [mm]\le[/mm] x : n*a = 0
>
>
> Stimmt dieser Ansatz so weit? Wenn nicht oder wenn doch,
> wie gehts weiter?
Durch meine Antworten bisher kennst du die Antwort vermutlich schon..... ehm nein.
Also, sei |K| ein Körper mit n Elementen und sei [mm] $a\in [/mm] K$ mit [mm] $a\not= [/mm] 0$ aber sonst a beliebig!
(d.h. K hat die Form $K = [mm] \{0,k_1,.... ,a,...,k_{n-2}\}$)
[/mm]
Nun haben wir ja $|K| = n$ und betrachten:
$0*a, 1*a, 2*a....., n*a$
Von dieser Operation wissen wir, dass sie uns immer Elemente in K liefert, von 0*a wissen wir sogar, dass $0*a = 0$ gilt.
Nun überlegen wir uns, dass die restlichen n Werte ja auch immer in K landen müssen, wir aber nur noch (n-1) Werte haben, die noch nicht "getroffen" wurden.
D.h. also, wir treffen ein Element doppelt. Durch welche Faktoren wissen wir generell erstmal nicht.
Bzw. Solltest du dazu auch erstmal für dich aufschreiben, wie ihr Körper definiert habt und was du dazu für Vorwissen hast.
Denn je nach Vorwissen erhälst du sofort $n*a = 0*a = 0$ oder eben nicht (obwohl ich das nicht glaube, denn dann wär die Aufgabe recht simpel).
Nun mach du mal weiter.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Doemmi |
Ein Körper erfüllt für seine beiden Verknüpfungen die Axiome einer Gruppe (Assoziativität, neutrales Element, inverses Element, abelsch), außerdem gilt die Distributivität und 0 [mm] \not= [/mm] 1
Wenn n*a = 0*a = 0, was ich ja zeigen soll, dann wäre ja n=0, was es aber nicht sein kann.
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> Ein Körper erfüllt für seine beiden Verknüpfungen die
> Axiome einer Gruppe (Assoziativität, neutrales Element,
> inverses Element, abelsch), außerdem gilt die
> Distributivität und 0 [mm]\not=[/mm] 1
Ok, also noch nix mit Erzeugen von einem Element etc.
> Wenn n*a = 0*a = 0, was ich ja zeigen soll, dann wäre ja
> n=0, was es aber nicht sein kann.
Nein, nimm bspw. den [mm] $\IF_3 [/mm] = [mm] \{0,1,2\}, [/mm] a = 1$, da ist $3*a = 3*1 = 0$.
MFG,
Gono.
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
zähl doch noch mal nach 
