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Hallo Zusammen,
Es gilt nachzuweisen, daß [m]f:\IR \to \IR^{+} ;\;f:x \mapsto x^2[/m] stetig ist [m]\forall a \in \IR[/m]. Dazu soll die [m]\epsilon/\delta\texttt{-Definition}[/m] der Stetigkeit benutzt werden.
Es gilt:
[m]\begin{gathered}
\left| {f\left( x \right) - f\left( a \right)} \right| = \left| {x^2 - a^2 } \right| = \left| {x - a} \right|\left| {x + a} \right| = \left| {x - a} \right|\left| {x - a + 2a} \right|
\leqslant \left| {x - a} \right|\left( {\left| {x - a} \right| + 2\left| a \right|} \right) \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Bis hierhin sind das alles einfache Abschätzungen, wobei einmal die Dreiecksungleichung verwendet wird. Aber:
Wir schätzen ab. Für [m]0 < \delta \leqslant 1[/m] gilt: [m]\left| {x - a} \right| \leqslant 1[/m] und damit [m]\left| {x - a} \right|\left( {\left| {x - a} \right| + 2\left| a \right|} \right) \leqslant \left| {x - a} \right|\left( {1 + 2\left| a \right|} \right) \leqslant \varepsilon[/m].
An sich ist das auch klar. Ich würde aber gerne wissen, wofür man hier ausgerechnet das [mm] $\delta$ [/mm] aus dem Intervall [m]\left] {0,1} \right][/m] betrachtet. Warum dieses Intervall und nicht z.B. [m]\left[ {100000,10^{10^{1024} } } \right][/m]? 
Der Beweis geht natürlich noch weiter, aber das ist der Knackpunkt im Beweis. Kann man erstmal das [mm] $\epsilon$ [/mm] vom [mm] $a\!$ [/mm] vollkommen abhängig machen (ohne das störende [mm] $x\!$ [/mm] (in der Formel darf dann nur einmal [mm] $x\!$ [/mm] vorkommen)), kann man nach [mm] $\left|x-a\right|$ [/mm] hin umformen und das [mm] $\delta$ [/mm] entsprechend definieren. Der Trick ist also am Ende nur noch ein [mm] $x\!$ [/mm] zu haben. und diesen Term [mm] $\left|x-a\right|$. [/mm]
Vielen Dank!
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:35 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
> Es gilt: [m]\begin{gathered}
> \left| {f\left( x \right) - f\left( a \right)} \right| = \left| {x^2 - a^2 } \right| = \left| {x - a} \right|\left| {x + a} \right| = \left| {x - a} \right|\left| {x - a + 2a} \right|
> \leqslant \left| {x - a} \right|\left( {\left| {x - a} \right| + 2\left| a \right|} \right) \hfill \\
> \end{gathered}[/m].
[mm]\left|x - a\right|\left(\left|x - a\right| + 2\left|a\right|\right)<\delta\left(\delta + 2\left|a\right|\right)=\epsilon[/mm]
Nebenrechnung:
[mm]\delta^2 + 2\left|a\right|\delta-\epsilon = 0[/mm]
[mm]\Rightarrow \delta_{1;2}=-\left|a\right|\pm\sqrt{\left|a\right|^2+\epsilon}[/mm]
Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert mit [mm]\delta\left(\epsilon,x_0\right):=\sqrt{\left|a\right|^2+\epsilon}-\left|a\right|[/mm] ein [mm]\delta > 0[/mm], so daß [mm]\forall x\in\mathbb{R}[/mm] und ein beliebiges [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]\left|x-a\right|<\delta[/mm] auch [mm]\left|x^2-a^2\right|<\epsilon[/mm] gilt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Karl!
Es ist vollkommen willkürlich an dieser Stelle ein [mm] $\delta \in [/mm] ]0,1]$ zu wählen, da hast du völlig Recht. Man hätte auch jedes beliebige andere Intervall $]0,b]$ wählen können. Wichtig ist aber, dass $0$ die linke Intervallgrenze ist, weil man ja dann später im Beweis die [mm] $\delta$ [/mm] aus diesem Intervall noch kleiner wählt (und dann sicher sein muss, dass man auch "genügend kleine [mm] $\delta$ [/mm] zur Verfügung hat").
Wichtig ist nur, dass man den Term $|x-a|+2|a|$ schön beschränkt hät, etwa durch eine Konstante $K$, die hier gerade (für [mm] $\delta\in]0,1]$ [/mm] als $K:=1+2|a|$ gewählt werden kann. Anschließend braucht man dann nur noch
[mm] $\delta':=\min\left(\delta,\frac{\varepsilon}{K}\right)$
[/mm]
zu wählen.
Hätte man aber [mm] $\delta \in [/mm] [0,b]$ gewählt, wäre es auch egal gewesen. Dann hätte man eben anschließend
[mm] $\delta':=\min\left(\delta,\frac{\varepsilon}{b+2|a|}\right)$
[/mm]
gesetzt.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Julius,
Irgendwie verstehe ich das trotzdem nicht.
Ich unterstreich mal das, was ich für seltsam halte, rot:
Definition der Stetigkeit einer Funktion f im Punkt $a [mm] \in D\left(f\right)$ [/mm] :
[m]\forall \epsilon > 0\;\exists \delta > 0\;\red{\forall x \in D\left(f\right)}:\,\left(\left|x-a\right| < \delta \Rightarrow \left|f\left(x\right) - f\left(a\right)\right| < \epsilon\right)[/m]
Ich versuch's jetzt mal mit der Stetigkeit von [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] x^2$ [/mm] im Punkt 0:
Also: [m]\left|x^2\right| = \left|x\right|\left|x\right|[/m]. Aber wenn wir jetzt [mm] $\delta \in \left]0,1\right]$ [/mm] wählen, sagen wir doch quasi
[mm] $\left|x\right| \le [/mm] 1$. Die Definition gilt aber [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in D\left(f\right)$,
[/mm]
oder nicht? Dann ist ja schon $2 [mm] \not< [/mm] 1$. 
Könntest Du mir das vielleicht noch etwas anders erklären. Also nicht durch "anschauliche" Erklärungen wie "genügend kleine [mm] $\epsilon$" [/mm] oder [mm] $\delta$ [/mm] und "beliebig kleine Quadrate" (?!?) in denen sich die Funktion aufhält, sondern vielleicht eher eine algebraische Begründung. Nach dem Motto: "Diese Gleichung ist wahr, weil dies und das gilt. Sie wäre falsch, wenn Du dies und das nicht vorraussetzen würdest, weil ... ." Wär' schön, wenn Du mir zumindest diesen Beweis auf diese Art und Weise ganz transparent machen könntest. Ich schreib' ihn am Besten jetzt vollständig ab (Ich hab' jetzt nämlich begriffen, daß man sich manche Definitionen nicht mehr anschaulich vorstellen kann, sondern nur durch Gültigkeit von logischen Ketten. Mein Versuch mir das anschaulich vorzustellen, hat mich schon damals vollkommen verwirrt. (Nicht nur bei Analysis) :-( )
"Es sei [mm] $f\left(x\right) [/mm] := [mm] x^2$, $D\left(f\right) [/mm] = [mm] \IR$, $\epsilon [/mm] > 0$ und $a [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig. Um die Stetigkeit von [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] in a nachweisen zu können, haben wir (entsprechend der Definition) für [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ mit den geforderten Eigenschaften zu finden. Es ist [m]\left|f\left(x\right) - f\left(a\right)\right| = \left|x^2 - a^2\right| = \left|x+a\right|\left|x-a\right|[/m]. Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$. Erste Näherung für [mm] $\delta:\;0 [/mm] < [mm] \delta \le [/mm] 1$.
Dann ist [m]\left|x+a\right| = \left|x-a+2a\right| \le \left|x-a\right|+\left|2a\right|[/m]. Folglich ist [m]\left|f\left(x\right) - f\left(a\right)\right| \le (1+2a)\left|x-a\right|[/m]. Wählt man [m]\delta \le \bruch{\epsilon}{1+\left|2a\right|}[/m], dann ist für [m]\left|x-a\right| < \delta[/m] auch [m]\left|f\left(x\right) - f\left(a\right)\right| < \epsilon[/m]. [m]\square[/m]"
Danke für deine Mühe!
Viele Grüße
Karl
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Hi Karl,
> Ich versuch's jetzt mal mit der Stetigkeit von
> [mm]f\left(x\right) := x^2[/mm] im Punkt 0:
>
> Also: [m]\left|x^2\right| = \left|x\right|\left|x\right|[/m]. Aber
> wenn wir jetzt [mm]\delta \in \left]0,1\right][/mm] wählen, sagen
> wir doch quasi
> [mm]\left|x\right| \le 1[/mm]. Die Definition gilt aber [mm]\forall x \in D\left(f\right)[/mm],
> oder nicht? Dann ist ja schon [mm]2 \not< 1[/mm].
Genau da ist dein Denkfehler
Die Definition gilt zwar schon [mm]\forall x \in D\left(f\right)[/mm], aber es wird noch eine Einschränkung gemacht: [mm]\left|x-a\right| < \delta[/mm]. Es würde ja auch keinen Sinn machen, die Stetigkeit anhand eines Punktes zu betrachten, der weit von deiner Stetigkeitsstelle entfernt ist.
> sondern vielleicht eher eine algebraische Begründung.
Nehmen wir dafür einfach mal das Beispiel der Stetigkeit von [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] im Nullpunkt. Wie in deinem Beweis gesagt wird, reicht es, [mm] $\delta$ [/mm] so zu wählen, dass:
[mm] $\delta \le \bruch{\epsilon}{1+\left|2a\right|}$
[/mm]
In unserem Fall ($a=0$) also: [mm] $\delta \le \epsilon$. [/mm] Wenn also jemand mit einem [mm] $\epsilon [/mm] > 1$ ankommt, wählen wir einfach [mm] $\delta [/mm] = 1$, ansonsten wählen wir [mm] $\delta [/mm] = [mm] \epsilon$. [/mm] Mit $a = f(a) = 0$ folgt ganz offensichtlich:
[mm]\forall x \in D\left(f\right), \left|x\right| < \underbrace{\delta}_{\le 1}: \left|x^2\right| < \underbrace{\epsilon}_{\le \delta \le 1}[/mm]
Daher ist [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] im Nullpunkt stetig.
Das ist so etwas wie ein Spiel: "Sag du mir, wie weit sich die Funktionswerte unterscheiden dürfen, und ich sage dir, wie weit du dich von dem Punkt entfernen darfst."
Ich hoffe mal, dass diese Erklärung ungefähr deinen Vorstellungen entspricht
Gruss,
Michael
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