epsilon-delta kriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:23 Mo 17.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] f:\IR\to \IR, f(x)=\bruch{1}{1+x^2}. [/mm] Zeige sie [mm] \limes_{n\rightarrow 0}f(x)=1, [/mm] indem sie das [mm] \epsilon- \delta [/mm] - Kriterium benutzen.
[mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta>0 \forall x\in \IR, x\not=0: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\epsilon [/mm] |
Ich kenne bisher nur die rein formale Definition des Epsilon-Delta-Kriteriums. das haben wir in der VL in zwei Richtungen bewiesen.
Zuerst haben wir angenommen, dass das Kriterium nicht gilt und nachgewiesen, dass dieses doch erfüllt ist.
Die andere Richtung; wir haben angenommen dass es gilt und dass der Grenzwert 1 gilt.
Mein Problem liegt darin, das [mm] \delta [/mm] zu ermitteln. Und ich komme mit den zwei Beweisrichtungen nicht klar!
Meine Beweisidee:
Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] und [mm] \Delta>0 [/mm] dann gilt:
[mm] |\bruch{1}{1+x^2}-1|=|\bruch{x^2}{1+x^2|}<\epsilon
[/mm]
Aber dazwischen muss noch [mm] |x-0|<\delta.
[/mm]
Könnt ihr mir das nochmal erklären? Ich verstehe das Kriterium nicht.
LG
heinze
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Hallo heinze,
ein paar Sachen verwirren mich hier auch:
> [mm]f:\IR\to \IR, f(x)=\bruch{1}{1+x^2}.[/mm] Zeige sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}f(x)=1,[/mm] indem sie das [mm]\epsilon- \delta[/mm]
> - Kriterium benutzen.
Blöde Frage: Wenn das ein Kriterium ist, was ist dann eure Def. der Konvergenz?
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall x\in \IR, x\not=0: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\epsilon[/mm]
Wieso ist hier 0 ausgeschlossen?
> Ich kenne bisher nur die rein formale Definition des
> Epsilon-Delta-Kriteriums.
Die da wäre?
> das haben wir in der VL in zwei Richtungen bewiesen.
Welche Aussage habt ihr in zwei Richtungen bewiesen?
> Zuerst haben wir angenommen, dass das Kriterium nicht gilt
> und nachgewiesen, dass dieses doch erfüllt ist.
Das wäre ziemlicher Unsinn. Dann wäre gleichzeitig das Kriterium und dessen Negation wahr.
> Die andere Richtung; wir haben angenommen dass es gilt und
> dass der Grenzwert 1 gilt.
Welche Richtung von was?
> Mein Problem liegt darin, das [mm]\delta[/mm] zu ermitteln. Und ich
> komme mit den zwei Beweisrichtungen nicht klar!
Ich auch nicht. Ich sehe hier nirgends zwei Beweisrichtungen.
> Meine Beweisidee:
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm] und [mm]\Delta>0[/mm] dann gilt:
>
> [mm]|\bruch{1}{1+x^2}-1|=|\bruch{x^2}{1+x^2|}<\epsilon[/mm]
>
> Aber dazwischen muss noch [mm]|x-0|<\delta.[/mm]
>
> Könnt ihr mir das nochmal erklären? Ich verstehe das
> Kriterium nicht.
>
>
> LG
> heinze
Der Beweis geht so:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] >0$ Wähle [mm] $\delta=\ldots [/mm] >0$ (die Wahl stellt sich erst im Laufe des Beweises heraus).
Dann gilt $|x-0|< [mm] \delta$
[/mm]
[mm] $|\frac{1}{1+x^2}-1|=|\frac{x^2}{1+x^2}|$
[/mm]
Nun ist eine geeignete Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] gesucht, so dass der rechte Ausdruck kleiner [mm] $\epsilon [/mm] $ ist (das ist keine Voraussetzung).
Dabei hilft die Ungleichung [mm] $|\frac{x^2}{1+x^2}|\leq|\frac{x^2}{1}|$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 17.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke fürs Erklären! die Abschätzung dürfte mir klar sein [mm] |\bruch{x^2}{1+x^2}\le |x^2|
[/mm]
Und die ist nun kleiner als [mm] \epsilon [/mm] und kleiner als [mm] \delta? [/mm]
was ist mit [mm] |x-0|<\delta [/mm] gemeint? der Ausdruck ist mir nicht so ganz klar.
LG
heinze
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> Danke fürs Erklären! die Abschätzung dürfte mir klar
> sein [mm]|\bruch{x^2}{1+x^2}\le |x^2|[/mm]
>
> Und die ist nun kleiner als [mm]\epsilon[/mm] und kleiner als
> [mm]\delta?[/mm] s soll in $e
Es soll ein [mm] $\delta$ [/mm] gefunden werden, so dass für alle x mit [mm] $|x|<\delta$ [/mm] der obige Term kleiner als [mm] $\epsilon$ [/mm] ist.
>
> was ist mit [mm]|x-0|<\delta[/mm] gemeint? der Ausdruck ist mir
> nicht so ganz klar.
Das ist eine Ungleichung, links ist ein Betrag.
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mo 17.06.2013 | | Autor: | heinze |
wäre dann nicht [mm] \delta=x [/mm] geeignet?
Ich verstehe das ganze einfach noch nicht so richtig, warum man dieses [mm] \delta [/mm] bestimmen muss und was man dann damit macht! Das fällt mir noch recht schwer, sorry,
LG
heinze
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Beachte die Quantorenstellung:
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta>0 \forall x\in \IR \ldots [/mm] $
[mm] $\delta$ [/mm] steht vor x, d.h. [mm] $\delta$ [/mm] ist unabh. von x.
[mm] $\delta$ [/mm] kann nur von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängen.
Warum man [mm] $\delta$ [/mm] bestimmen muss?
Weil zu zeigen ist, dass die Def. von Konvergenz erfüllt.
Und das heißt nun mal, dass zu zeigen ist, dass für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$ ein [mm] $\delta>ß$ [/mm] existiert mit den geforderten Eigenschaften. Zum Beweis ist es sinnvoll ein solches Delta anzugeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 17.06.2013 | | Autor: | heinze |
Sorry, ich versteh das mit dem [mm] \delta [/mm] immer noch nicht, bin wohl etwas schwer von Begriff! also ist mein [mm] \delta [/mm] =x wohl falsch...
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, ich versteh das mit dem [mm]\delta[/mm] immer noch nicht, bin
> wohl etwas schwer von Begriff! also ist mein [mm]\delta[/mm] =x wohl
> falsch...
[mm] $\delta [/mm] > 0$ darf (und wird i.a.) sowohl von der festen Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (hier: [mm] $x_0:=0$) [/mm] als
auch von [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ abhängen. Es macht keinen Sinn, es von (dem variablen, variierenden
[mm] $x\,$) [/mm] abhängig zu machen! Ist das [mm] $x_0$ [/mm] wie hier "konkret" (es ist ja [mm] $x_0=0$),
[/mm]
so wirst Du diese Abhängigkeit [mm] ($\delta=\delta_{\red{x_0},\epsilon}$ [/mm] ) nicht direkt sehen, sondern wirst nur [mm] $\delta=\delta_\epsilon$
[/mm]
erkennen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo sometree,
da habe ich gestern auch nicht aufgepasst:
> Hallo heinze,
>
> ein paar Sachen verwirren mich hier auch:
> > [mm]f:\IR\to \IR, f(x)=\bruch{1}{1+x^2}.[/mm] Zeige sie
> > [mm]\limes_{n\rightarrow 0}f(x)=1,[/mm] indem sie das [mm]\epsilon- \delta[/mm]
> > - Kriterium benutzen.
> Blöde Frage: Wenn das ein Kriterium ist, was ist dann
> eure Def. der Konvergenz?
> > [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall x\in \IR, x\not=0: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\epsilon[/mm]
>
> Wieso ist hier 0 ausgeschlossen?
Heinze hatte das vollkommen richtig hingeschrieben; wir haben uns davon
verleiten lassen, die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] zu untersuchen.
Es gilt:
Es existiert der Funktionsgrenzwert [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] genau dann, wenn gilt:
Es existiert ein $g [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass gilt: Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon}$ [/mm] so,
dass aus $0 < [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] stets folgt $|f(x)-g| < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Im Falle der Existenz eines solchen [mm] $g\,$ [/mm] schreibt man dann [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x):=g\,.$
[/mm]
Dabei ist es also vollkommen irrelevant, ob [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] überhaupt
definiert ist; und auch der Wert [mm] $f(x_0)$ [/mm] spielt keine Rolle.
Falls nun aber [mm] $g=\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] existiert [u]und[u] zudem auch [mm] $g=f(x_0)$
[/mm]
gilt, (genau dann) ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $x_0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
es wurde ja schon vieles gesagt, daher einfach mal kurz:
> [mm]f:\IR\to \IR, f(x)=\bruch{1}{1+x^2}.[/mm] Zeige sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}f(x)=1,[/mm]
das $n [mm] \to [/mm] 0$ meint natürlich [mm] $\red{\;x\;} \to [/mm] 0$!
> indem sie das [mm]\epsilon- \delta[/mm]
> - Kriterium benutzen.
>
> [mm]\forall \epsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall x\in \IR, x\not=0: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-1|<\epsilon[/mm]
>
> Ich kenne bisher nur die rein formale Definition des
> Epsilon-Delta-Kriteriums. das haben wir in der VL in zwei
> Richtungen bewiesen.
>
> Zuerst haben wir angenommen, dass das Kriterium nicht gilt
> und nachgewiesen, dass dieses doch erfüllt ist.
>
> Die andere Richtung; wir haben angenommen dass es gilt und
> dass der Grenzwert 1 gilt.
>
> Mein Problem liegt darin, das [mm]\delta[/mm] zu ermitteln. Und ich
> komme mit den zwei Beweisrichtungen nicht klar!
Zu zeigen ist: Für [mm] $x_0:=0$ [/mm] gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] > 0$ (das bedeutet, dass das [mm] $\delta$
[/mm]
sowohl abhängig von [mm] $x_0=0$ [/mm] als auch [mm] $\epsilon$ [/mm] sein darf!), so dass folgt:
Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$
[/mm]
Weil wir für [mm] $x=x_0=0$ [/mm] eh [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x_0)-f(x_0)|=0 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] hätten, reicht es
auch, das im letzten Satz stehende für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $0 < [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] zu fordern!
(Korrigierender Hinweis: Das Obige ist nicht falsch, stimmt hier allerdings nur
deshalb so, weil [mm] $f\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ist. Siehe auch hier (klick!))
> Meine Beweisidee:
>
> Sei [mm]\epsilon>0[/mm]
Besser: Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest;
> und
[mm]\delta>0[/mm] zunächst noch unbestimmt. Sicherlich gilt für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|=|x-0|=|x| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm]
dann:
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(0)|=|\tfrac{1}{1+x^2}-1|=|\tfrac{x^2}{1+x^2|}|=\frac{x^2}{1+x^2} \le x^2[/mm]
Nun will man [mm] $\delta [/mm] > 0$ so angeben, dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|=|x-0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt
[mm] $$|f(x)-f(x_0)| \;\;\red{\stackrel{!}{<}}\;\; \epsilon\,.$$
[/mm]
(Das ist übrigens keine Voraussetzung, sondern dass ist etwas, was man
mit geeigneten Voraussetzungen (Wahl eines geeigneten [mm] $\delta [/mm] > 0$) gerne
folgern will! Das rote [mm] $<\,$ [/mm] mit dem Ausrufezeichen bedeutet sowas wie
"Das (Linksstehende) soll dann nun < [mm] ($\epsilon$) [/mm] sein!")
Wenn Du in [mm] $(\star)$ [/mm] reinguckst, dann erkennst Du, dass Du dafür nur noch [mm] $\delta [/mm] > 0$
so angeben musst, dass [mm] $x^2=|x|^2 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gilt.
Also: Wie kann man [mm] $\delta [/mm] > 0$ so angeben, dass aus [mm] $|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta$ [/mm] dann
[mm] $x^2=|x|^2 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt? (Beachte: $t [mm] \mapsto \sqrt{t}$ [/mm] (als Funktion [mm] $[0,\infty) \to \IR$) [/mm] ist (streng)
monoton wachsend. Insbesondere existiert auch [mm] $\sqrt{\epsilon}$ [/mm] wegen [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$)
[/mm]
Mach' Dir klar, dass Du nur noch folgende Folgerung "wahr haben willst":
[mm] $$\forall [/mm] x [mm] \in \IR \text{ mit }|x| [/mm] < [mm] \delta \Longrightarrow |x|^2 [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
(Edit: Ich schreibe auch gleich eine "korrigierende Mitteilung" zu dieser Antwort
hier!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:52 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
da durch meine letzte Antwort eventuell eine Verwirrung entstanden sein
könnte, wollte ich in der "korrigierenden Mitteilung" hier doch noch etwas
klarstellen.
Mir ist nämlich - ebenso wie sometree - in der letzten Antwort eigentlich ein
Denkfehler unterlaufen. Dieser hat zwar (hier) keine Auswirkung, einfach,
weil sowieso hier mit [mm] $x_0:=0$ [/mm] auch [mm] $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ [/mm] gilt (d.h. [mm] $f\,$ [/mm] ist stetig
an der Stelle [mm] $0\,$), [/mm] es ist aber dennoch beachtenswert, das klarzustellen:
Es gilt:
Es existiert der Funktionsgrenzwert $ [mm] \lim_{x \to x_0}f(x) [/mm] $ genau dann, wenn gilt:
Es existiert ein $ g [mm] \in \IR [/mm] $ so, dass gilt: Für alle $ [mm] \epsilon [/mm] > 0 $ existiert ein $ [mm] \delta=\delta_{x_0,\epsilon} [/mm] $ so,
dass aus $ 0 [mm] \red{\;<\;} |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $ stets folgt $ |f(x)-g| < [mm] \epsilon\,. [/mm] $
Im Falle der Existenz eines solchen $ [mm] g\, [/mm] $ schreibt man dann $ [mm] \lim_{x \to x_0}f(x):=g\,. [/mm] $
Tatsächlich ist hier also der Ansatz
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] $ >0 $ [mm] \exists \delta>0 \forall x\in \IR, \blue{x\not=0}: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-\blue{\text{1}}|<\epsilon\,,$
[/mm]
den Du, Heinze, gewählt hattest, so absolut richtig.
Der Ansatz
$ [mm] \forall \epsilon [/mm] $ >0 $ [mm] \exists \delta>0 \forall x\in \IR: |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-\red{\;f(x_0)\;}|<\epsilon [/mm] $
wäre zu wählen, wenn die Frage wäre, ob [mm] $f\,$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $x_0=0$
[/mm]
ist.
Der Grund, warum das bei der obigen Aufgabe keine Auswirkung hatte, ist
einfach der:
Bei der vorliegenden Funktion ist [mm] $f(x_0)=f(0)=1$ [/mm] und die Funktion IST stetig an
der Stelle [mm] $x_0=0\,.$
[/mm]
Ein (eigentlich zwei) einfache(s) Beispiel(e), wo die von Heinze erwähnte
Definition "penibelst" angewandt werden muss:
Betrachten wir
$$g [mm] \colon \IR \to \IR$$
[/mm]
mit [mm] $g(3):=2\,$ [/mm] und [mm] $g(x):=1\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus \{3\}\,.$ [/mm] Ferner betrachten wir auch mal [mm] $h:=g_{|\IR \setminus \{3\}}\,.$
[/mm]
Dann gilt mit [mm] $x_0:=3$ [/mm] sowohl [mm] $\lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to 3}g(x)=1$ [/mm] als auch [mm] $\lim_{x \to x_0}h(x)=\lim_{x \to 3}h(x)=1\,,$ [/mm] obwohl zum
einen [mm] $g(x_0)=g(3)=2 \not=1$ [/mm] ist als auch zum anderen [mm] $h(3)\,$ [/mm] gar nicht existiert.
Beweis:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sogar für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt: Für $0 < |x-3| < [mm] \delta$ [/mm] folgt (weil dann [mm] $g(x)=1\,$ [/mm] wegen $x [mm] \not=3$ [/mm] ist)
$$|g(x)-1|=|1-1|=0 < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Analog auch:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Sogar für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt: Für $0 < |x-3| < [mm] \delta$ [/mm] folgt (weil dann [mm] $h(x)=1\,$ [/mm] wegen $x [mm] \not=3$ [/mm] ist)
$$|h(x)-1|=|1-1|=0 < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 18.06.2013 | | Autor: | heinze |
Die Tipps haben mir schon geholfen für die Ermittlung von [mm] \delta
[/mm]
Ohne die ganzen Formalien habe ich umgeformt:
[mm] |f(x)-1|=|\bruch{1}{1+x^2}-1|=|\bruch{x^2}{1+x^2}-1|\le \bruch{x^2}{1}=\bruch{\delta^2}{1}=\bruch{(\wurzel{\epsilon})^2}{1}=\epsilon.
[/mm]
[mm] \delta [/mm] muss also [mm] \wurzel{\epsilon} [/mm] sein, richtig?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
> Die Tipps haben mir schon geholfen für die Ermittlung von
> $ [mm] \delta [/mm] $
>
> Ohne die ganzen Formalien habe ich umgeformt:
>
> $ [mm] |f(x)-1|=|\bruch{1}{1+x^2}-1|=|\bruch{x^2}{1+x^2}\red{-1}|\red{\;\le\;} \bruch{x^2}{1}=\bruch{\delta^2}{1}=\bruch{(\wurzel{\epsilon})^2}{1}=\epsilon. [/mm] $
sicher nur ein Verschreiber: Anstatt $ [mm] \bruch{x^2}{1+x^2}\red{-1} [/mm] $ meinst Du sicher nur
$ [mm] -\;\red{\bruch{x^2}{1+x^2}}\,. [/mm] $
> $ [mm] \delta [/mm] $ muss also $ [mm] \wurzel{\epsilon} [/mm] $ sein, richtig?
Wenn Du das Wort muss durch kann ersetzt, dann passt es, wenn Du
zudem das $ [mm] \red{\;\le\;} [/mm] $ durch $ [mm] <\, [/mm] $ ersetzt.
Wenn Du die Abschätzung wie oben mit dem $ [mm] \red{\;\le\;} [/mm] $ stehen läßt, dann
solltest Du sagen:
Wir können irgendein $ [mm] \delta [/mm] $ mit $ 0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \sqrt{\epsilon} [/mm] $ wählen, also bspw. $ [mm] \delta:=\frac{1}{2}\sqrt{\epsilon} [/mm] $
ist geeignet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Di 18.06.2013 | | Autor: | heinze |
okay, Dankeschön, waren Flüchtigkeitsfehler, hatte mein Skript gerade nicht zur Hand! wird selbstverständlich geändert!
Danke fürs Erklären! 
LG
heinze
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Di 18.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
> okay, Dankeschön, waren Flüchtigkeitsfehler,
nicht wirkliche Fehler, weil man hier bei
[mm] $$\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > [mm] 0:\;\;0 [/mm] < [mm] |x-x_0| \red{\;<\;} \delta \Longrightarrow [/mm] |f(x)-g| [mm] \blue{\;\textbf{<}\;} \epsilon$$
[/mm]
das "Zeichenpaar" [mm] $(\red{\;<\;},\blue{\;\textbf{<}\;})$ [/mm] durch
[mm] $\bullet$ $(\le,\le)$
[/mm]
oder
[mm] $\bullet$ $(<,\le)$
[/mm]
oder
[mm] $\bullet$ $(\le,<)$
[/mm]
ersetzen dürfte. Die so enstehenden Aussagen sind alle einander
gleichwertig! Wenn wir das aber nicht verwenden, sondern streng nach
Eurer Definition (mit dem Zeichenpaar [mm] $(<,<)\,$) [/mm] arbeiten, sollten wir auch
gucken, dass unsere Abschätzung dazu passt!
> hatte mein
> Skript gerade nicht zur Hand! wird selbstverständlich
> geändert!
>
> Danke fürs Erklären!
Gerne!
P.S. Deine Wahl [mm] $\delta:=\sqrt{\epsilon}$ [/mm] geht übrigens; Du solltest dann halt
nur bei der Abschätzung auch $|x| < [mm] \delta$ [/mm] anstatt $|x| [mm] \le \delta$ [/mm] benutzen!
Gruß,
Marcel
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