epsilon-delta kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:17 So 23.06.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige: [mm] f:\IR\to \IR, [/mm] f(x)=sin(x) ist in 0 stetig.
Tipp: [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1 [/mm] |
wenn ich Stetigkeit zeigen will muss ich zeigen:
|f(x)-f(0)|=|sin(x)-sin(0)| =|sin(x)|
Allerdings verstehe ich nicht, warum ich den Tipp anwenden kann, dabei handelt es sich ja um eine ganz andere Funktion!
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 So 23.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: [mm]f:\IR\to \IR,[/mm] f(x)=sin(x) ist in 0 stetig.
>
> Tipp: [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]
> wenn ich
> Stetigkeit zeigen will muss ich zeigen:
>
> |f(x)-f(0)|=|sin(x)-sin(0)| =|sin(x)|
>
> Allerdings verstehe ich nicht, warum ich den Tipp anwenden
> kann, dabei handelt es sich ja um eine ganz andere
> Funktion!
Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist
$f(x)= [mm] \bruch{sinx}{x}*x$
[/mm]
Jetzt lass mal x [mm] \to [/mm] 0 gehen.
Verallgemeinerung:
Ist I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und f:I [mm] \to \IR [/mm] differenzierbar, so ist f stetig auf I:
Beweis: Sei [mm] x_0 \in [/mm] I
[mm] f(x)-f(x_0)= \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}*(x-x_0) \to f'(x_0)*0=0 [/mm] (x [mm] \to x_0).
[/mm]
Das hast Du sicher schon mal gesehen !
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 So 23.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke fred, aber der Begriff Differenzierbarkeit ist beim Thema Stetigkeit bisher noch nicht gefallen.
Nach folgendem Schema haben wir das bisher gemacht. (Das Formale beim Kriterium lasse ich jetzt mal weg)
[mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] ist stetig in 1
[mm] |f(x)-f(1)|=|\bruch{1}{x^2}-1|=|\bruch{1-x^2}{x^2}|\le |\bruch{x^2}{x}|=\bruch{|x|}{1}=|\delta|=\epsilon
[/mm]
Und in der Form sinn ich das mit sin(x) stetig in x=0 machen mit [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] machen. Nur wie?
Lg
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 So 23.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
> Danke fred, aber der Begriff Differenzierbarkeit ist beim
> Thema Stetigkeit bisher noch nicht gefallen.
>
> Nach folgendem Schema haben wir das bisher gemacht. (Das
> Formale beim Kriterium lasse ich jetzt mal weg)
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm] ist stetig in 1
>
> [mm]|f(x)-f(1)|=|\bruch{1}{x^2}-1|=|\bruch{1-x^2}{x^2}|\le |\bruch{x^2}{x}|=\bruch{|x|}{1}=|\delta|=\epsilon[/mm]
>
> Und in der Form sinn ich das mit sin(x) stetig in x=0
> machen mit [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] machen. Nur wie?
dann müßt ihr (irgendwie, etwa mit der Reihendarstellung des Sinus) nachgewiesen
haben, dass [mm] $\sin(x)/x \to [/mm] 1$ (und damit auch [mm] $|\sin(x)/x| \to [/mm] 1$) bei $x [mm] \to [/mm] 0$ gilt.
Das reicht ja auch:
Für $x [mm] \not=0$ [/mm] gilt dann
[mm] $$|\sin(x)-\sin(0)|=|\sin(x)|=|\tfrac{\sin(x)}{x}|*|x|\,.$$
[/mm]
Mit $x [mm] \to [/mm] 0$ folgt dann
[mm] $$|\sin(x)-\sin(0)| \to 1*|0|=1*0=0\,.$$
[/mm]
Das kannst Du natürlich auch mit [mm] $\epsilon-\delta$ [/mm] formulieren... (Allerdings besser,
wie das in dem Beispiel von Dir illustriert wird!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:21 So 23.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Tipp: [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]
beim Tipp steht sicher:
[mm]\limes_{\red{\textbf{x}}\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 So 23.06.2013 | | Autor: | heinze |
Danke für den Hinweis, Marcel! Das war ein Tippfehler von mir! 
LG
heinze
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