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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Sa 08.12.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute
bei dem eps delta kriterium verstehe ich eine sache nicht.
wenn ich mir einen punkt [mm] x_0 [/mm] einer fkt f(x) angucken und will wissen ob f in [mm] x_0 [/mm] stetig ist, dann gucke ich mir ja jede noch so kleine eps umgebung von [mm] f(x_0) [/mm] an und muss dafür eine delta umgebung von [mm] x_0 [/mm] angeben können für die gilt f(x) ist in der epsumgebung von [mm] f(x_0) [/mm] für x in der delta umgebung von [mm] x_0
[/mm]
wenn man jetzt aber eine eps umgebung von y wählt und die funktion nicht monoton ist, dann bekomme man für die epsumgebung des punktes [mm] f(x_0) [/mm] möglicherweise auch funktionswerte, die weiter weg von [mm] f(x_0) [/mm] liegen. ich hab das mal versucht aufzuzeichnen, weil ich das nicht so gut formulieren kann, was ich meine:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hier ist in rot auf dem graph der funktion [mm] f(x_0) [/mm] und deren eps umgebung und in grün alle teile der fkt die betroffen sind (auch die "weiter weg" liegen)
wenn ich nun eine deltaumgebung für das [mm] x_0 [/mm] angeben soll, wie soll ich die stellen "weiter weg" die ich grün gezeichnet habe mitberücksichtigen können?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 08.12.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> wenn ich nun eine deltaumgebung für das [mm]x_0[/mm] angeben soll,
> wie soll ich die stellen "weiter weg" die ich grün
> gezeichnet habe mitberücksichtigen können?
Die sollst Du gar nicht mit berücksichtigen. Stetigkeit (in einem Punkt) ist eine lokale Eigenschaft, das heisst alles was "weiter weg" passiert ist dafür völlig ohne Bedeutung. Wenn Du also die Stetigkeit in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] untersuchen willst und deine Funktion läuft an irgend einer Stelle x' aus dem Epsilon-Schlauch heraus, dann muss der Radius deiner Delta-Umgebung kleiner als [mm] |x_0 [/mm] - x'| gewählt werden - und somit fallen alle x-Werte jenseits von x' aus der Stetigkeitsbetrachtung heraus.
Gruß
piet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Sa 08.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey, ich habe vor 2 Tagen dieses Video gefunden.
![[]](/images/popup.gif) epsi-delta
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Sa 08.12.2007 | | Autor: | AriR |
wenn man sich aber streng formal die definition des eps-delt. kriteriums anschaut, dann werden doch auch die punkte weiter weg mit in die eps-umgebung aufgenommen oder nicht? rein nach der def einer eps-umgebung sind die dohc mit drin oder nicht? an welcher stelle sieht man dann genau an der def des kriteriums, dass ich diese nicht berücksichtigen muss. irgendwie sehe ich das nicht so ganz :(
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> wenn man sich aber streng formal die definition des
> eps-delt. kriteriums anschaut, dann werden doch auch die
> punkte weiter weg mit in die eps-umgebung aufgenommen
Hallo,
die Definition sagt:
zu jeder [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von f(a) (Dein rotes Pünktchen) findest Du eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] von a (ein Teil des grünen Strichen unterhalb der roten Krampen) so, daß dieser Bereich in die [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung von von f(a) abgebildet wird. Er springt nicht aus dem rot begrenzten Bereich.
Für die Stetigkeit in a wesentlich ist, daß das für jede noch so kleine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] klappt. Du kannst die Stelle f(a) immer enger einschnüren, und trotzdem findest Du ein passendes Intervall um a heraum, welches in den Bereich abgebildet wird.
Die anderen v. Dir grün eingezeichneten Funktionsschnippel interessieren hier nicht, und wenn Du Deine Definition der Stetigkeit anschaust, wirst Du sehen, daß sich alles im Dunstkreis einer festen Stelle a (oder [mm] x_0) [/mm] abspielt. Es ist, wie Dir piet.t. auch schon gesagt hat, eine lokale Eigenschaft, und das spiegelt sich natürlich auch in der Definition.
Gruß v. Angela
oder
> nicht? rein nach der def einer eps-umgebung sind die dohc
> mit drin oder nicht? an welcher stelle sieht man dann genau
> an der def des kriteriums, dass ich diese nicht
> berücksichtigen muss. irgendwie sehe ich das nicht so ganz
> :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 08.12.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
der entscheidende Punkt für die Lokalität in der Definition ist das [mm] \delta.
[/mm]
Bei der Untersuchung der Stetigkeit wird Dir irgend ein beliebig kleines [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben, die Größe (oder besser die "Kleinheit") von [mm] \delta [/mm] darfst Du dir selbst vorgeben. Wenn dich also irgendwelche Punkte, die einen gewissen Abstand a von [mm] x_0 [/mm] entfernt sind bei deiner Betrachtung stören, dann wählst Du dein [mm] \delta [/mm] einfach kleiner als a und schon fallen die bei der Betrachtung raus, denn du musst ja in horizontaler Richtung nur die [mm] \delta-Umgebung [/mm] von [mm] x_0 [/mm] betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Sa 08.12.2007 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habs jetzt
das kommt einfach, weil man erst sagt für alle epsilon gibt es ein delta, aber dann von dem delte aus weiter geht und nicht mit epsilon.
danke leute für die hilfe :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Mo 10.12.2007 | | Autor: | crashby |
Hey,
das mit dem delta ist am Anfang etwas ungewohnt, weil es aus heiterem Himmel fällt, wenn du dir Beispielaufgaben dazu anschaust.
Wenn du aber erst die Abschätzung machst, also um dein Delta zu finden dann kannst du danach wie gewohnt oben das delta angeben.
lg
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