erklärung der induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 29.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^k} [/mm] |
ich verstehe ja das prinzip mit n=1 und n+1 und habe die Lösung zu der Aufgabe, aber könnte mir jemand verständlich erklären, warum man was wo einsetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Sa 29.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo Thomas,
du kannst dir einen Induktionsbeweis vorstellen wie ein Spektakel beim
Domino-Day. Das Umwerfen des ersten Steins bewirkt das Umwerfen *aller*
Steine. Der Induktionsanfang (IA) ist das erste Umwerfen und der
Induktionsschluss (IS) garantiert, dass "alle Steine hinreichend nahe
beieinander stehen", so dass sie alle Umfallen. Der IA garantiert, dass
wir mit einer wahren Aussagen beginnen. Der IS zeigt das Prinzip, wie aus
der Annahme, dass die Aussage fuer n korrekt gefolgert werden kann, dass
sie auch fuer n+1 korrekt ist.
Wie kannst du nachweisen, dass gilt $ [mm] \summe_{k=1}^{4711} \bruch{k}{2^k} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{4711+2}{2^{4711}} [/mm] $ (deine Formel muss uebrigens heissen:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^{n}} [/mm] $ )
Du weisst, sie ist korrekt fuer n=1.
Du hast das Prinzip verstanden, wie du aus der Gueltigkeit von
$ [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{2^k} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+2}{2^{n}} [/mm] $
auf
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{2^k} [/mm] = 2 - [mm] \bruch{n+3}{2^{n+1}} [/mm] $
schliessen kannst. Wenn die Aussage also fuer n=1 gilt, dann gilt sie
auch fuer n=2, also auch fuer n=3,..., also auch fuer n=4710, also auch
fuer n=4711. Letztendlich fuer alle n.
vg Luis
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