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| Aufgabe | | Finden Sie mit Hilfe bekannter Reihen und algebrai. Operationen die ersten 4 Glieder der Taylor-Reihe von [mm] f(x)=e^{-x}cos\sqrt(x) [/mm] |
Wie geh ich da ran?
Hab angefangen die Taylor-Reihe von [mm] e^{-x} [/mm] und die Taylor-Reihe von cos [mm] (\wurzel{x}) [/mm] zu berechnen und die zu multiplizieren, aber das ist ja viel Schreibarbeit?
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Also durch betrachten der einzelnen Faktoren und Ableiten, habe ich jetzt folgendes haraus:
g(x)= [mm] e^{-x} [/mm] g'(x)= [mm] -e^{-x} [/mm] g"(x)= [mm] e^{-x} [/mm] g"'(x)=...
dann hab ich die Taylor-Formel mit [mm] x_{0} [/mm] benutzt und bin auf:
[mm] f(x)=g(0)+\bruch{g'(0)}{1!}(x-0)+\bruch{g"(0)}{2!}(x-0)^2+....
[/mm]
gekommen und drausfolgt
[mm] e^{-x}=1-\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}-\bruch{x^3}{3!}+...
[/mm]
so wie mach ich das aber nun für [mm] cos(\sqrt{x})
[/mm]
Laut Derive, müsste
[mm] cos(\sqrt{x})=1-\bruch{x}{2!}+\bruch{x^2}{4!}-\bruch{x^3}{6!}+...
[/mm]
herauskommen, aber das klappt mit den Ableiten irgendwie nicht...?!
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Hallo useratmathe!
> so wie mach ich das aber nun für [mm] cos(\sqrt{x}) [/mm]
> Laut Derive, müsste [mm] cos(\sqrt{x})=1-\bruch{x}{2!}+\bruch{x^2}{4!}-\bruch{x^3}{6!}+... [/mm]
> herauskommen, aber das klappt mit den Ableiten irgendwie nicht...?!
Setze den Term $z \ = \ [mm] \wurzel{x}$ [/mm] einfach in die bekannte(?) Taylor-Reihe der [mm] $\cos$-Funktion [/mm] ein:
[mm] [quote]$\cos(z) [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{z^2}{2!}+\bruch{z^4}{4!}-\bruch{z^6}{6!}+... [/mm] $[/quote]
Damit erhältst Du auch genau Deinen Ausdruck, den Dir Derive liefert.
Gruß vom
Roadrunner
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Alles klar, großes Danke...bin schon fast verzweifelt, aber wieso ging das denn mit den Ableitungen nicht bzw. wie kommt man denn dann auf [mm] \cos(x) [/mm] = [mm] 1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}+... [/mm]
?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:48 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo useratmathe!
Auch mit den entsprechenden Ableitungen sollte bzw. müsste das klappen. Das wird aber ziemlich aufwändig, da die einzelnen Ableitungen immer komplexer werden.
Zudem ist dann für fast jede Ableitung erst eine Grenzwertbetrachtung [mm] $x_0\rightarrow [/mm] 0$ (einschl. Anwendung  de l'Hospital) erforderlich.
Die Taylor-Reihe für die [mm] $\cos$-Funktion [/mm] erhältst Du durch stumpfes Ausrechnen und Einsetzen der einzelnen Ableitungen.
Dabei ist dann zu beachten, dass gilt:
$y(0) \ = \ [mm] \cos(0) [/mm] \ = \ 1$
$y'(0) \ = \ [mm] -\sin(0) [/mm] \ = \ 0$
$y''(0) \ = \ [mm] -\cos(0) [/mm] \ = \ -1$
$y'''(0) \ = \ [mm] \sin(0) [/mm] \ = \ 0$
usw.
Gruß vom
Roadrunner
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Ja stimmt. Danke nochmal für die Hilfe!
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