erweiterte Koeffizienten Matri < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 22.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Entscheiden Sie nach Satz 2.7 Kap. 4, ob die Gleichungssysteme zu den angegebenen, erweiterten Koeffizientenmatrizen [mm] \mathcal{A}_{i} [/mm] lösbar sind. Falls Sie lösbar sind, schreiben Sie die Lösungsmenge in der Form
[mm] S_{G} [/mm] = {u0} + [mm] S_{HG} [/mm] (nach Satz 2.8 Kap. 4) auf.
a) [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & −2 & 1 \\ 1 & −2 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & −1 & 2} [/mm] in den Körpern [mm] \IR [/mm] und [mm] \IZ_{2}
[/mm]
b) [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & −4 & 1 & 2 & 2} [/mm] in den Körper [mm] \IR
[/mm]
c) [mm] \mathcal{A}_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & -2 & 6} [/mm] in den Körper [mm] \IR
[/mm]
Satz 2.7
Haben einfache und erweiterete Koeffizienten Matrix gleichen Rang so ist das System lösbar
Satz 2.8
Sei L: V->W lineare Abbildung und b€W. Betrachten die Gleichung
L(u)=b (G)
und die zugehörige homogene Gleichung
L(u)=0 (HG)
Sind [mm] S_G [/mm] und S_HG die Lösungmengen von (G) bzw. (HG) so gilt:
Besitzt G die Lösung u€V so ist
[mm] S_{G}=S_{HG}=u_{0}+ker(L) [/mm] |
Ich habe jetzt a im [mm] \IR [/mm] in ZSF gebracht und bekam:
a) [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 & −2 & | 1 \\ 1 & −2 & 3 & | 2 \\ 2 & 1 & 1 & | 1 \\ 3 & 4 & −1 & | 2} [/mm] = (A,b) [mm] \leadsto \pmat{ 1 & 3 & −2 &| 1 \\ 0 & −5 & 5 &| 1 \\ 0 & 0 & 0 &| -2 \\ 0 & 0 & 0 & |0} [/mm]
so ist rg(A) [mm] \not= [/mm] rg(A,b) und nicht lösbar ..
Ist mein Ansatz richtig ?
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Hallo rsprsp,
> Entscheiden Sie nach Satz 2.7 Kap. 4, ob die
> Gleichungssysteme zu den angegebenen, erweiterten
> Koeffizientenmatrizen [mm]\mathcal{A}_{i}[/mm] lösbar sind. Falls
> Sie lösbar sind, schreiben Sie die Lösungsmenge in der
> Form
> SG = {u0} + SHG (nach Satz 2.8 Kap. 4) auf.
> a) [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 & −2 & 1 \\ 1 & −2 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & −1 & 2}[/mm]
> in den Körpern [mm]\IR[/mm] und [mm]\IZ_{2}[/mm]
>
> b) [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & −4 & 1 & 2 & 2}[/mm]
> in den Körper [mm]\IR[/mm]
>
> c) [mm]\mathcal{A}_{3}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & -2 & 6}[/mm]
> in den Körper [mm]\IR[/mm]
>
>
>
> Satz 2.7
> Haben einfache und erweiterete Koeffizienten Matrix
> gleichen Rang so ist das System lösbar
>
> Satz 2.8
>
> Sei L: V->W lineare Abbildung und b€W. Betrachten die
> Gleichung
>
> L(u)=b (G)
> und die zugehörige homogene Gleichung
> L(u)=0 (HG)
> Sind [mm]S_G[/mm] und S_HG die Lösungmengen von (G) bzw. (HG) so
> gilt:
>
> Besitzt G die Lösung u€V so ist
>
> [mm]S_{G}=S_{HG}=u_{0}+ker(L)[/mm]
>
>
>
>
> Ich habe jetzt a im [mm]\IR[/mm] in ZSF gebracht und bekam:
>
> a) [mm]\mathcal{A}_{1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 & −2 & | 1 \\ 1 & −2 & 3 & | 2 \\ 2 & 1 & 1 & | 1 \\ 3 & 4 & −1 & | 2}[/mm]
> = (A,b)
> [mm]\leadsto \pmat{ 1 & 3 & −2 &| 1 \\ 0 & −5 & 5 &| 1 \\ 0 & 0 & 0 &| -2 \\ 0 & 0 & 0 & |0}[/mm]
> so ist rg(A) [mm]\not=[/mm] rg(A,b) und nicht lösbar ..
>
> Ist mein Ansatz richtig ?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mo 22.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
b) [mm] \mathcal{A}_{2} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & −4 & 1 & 2 & 2} \leadsto \pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
d.h rg(A) = rg(A,b)
[mm] S_{HG}=L={\vektor{0,5x_{3}-x_{2}-2x_{5} \\ -3x_{3}-x_{4}-2x_{5} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}}
[/mm]
Kann mir jemand Erklären wie ich auf [mm] u_{0} [/mm] komme ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:36 Di 23.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> b) [mm]\mathcal{A}_{2}[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & −4 & 1 & 2 & 2} \leadsto \pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> d.h rg(A) = rg(A,b)
> [mm]S_{HG}=L={\vektor{0,5x_{3}-x_{2}-2x_{5} \\ -3x_{3}-x_{4}-2x_{5} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}}}[/mm]
>
> Kann mir jemand Erklären wie ich auf [mm]u_{0}[/mm] komme ?
Schau Dir die letzte Spalte von
[mm] \pmat{ 2 & 0 & −1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
[/mm]
an. Dann kann man ablesen:
[mm] u_0=(\bruch{3}{2},1,0,0,0)^T
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 07:47 Di 23.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Wie ist dieses [mm] u_{0} [/mm] zu verstehen?
Ich verstehe das nicht von der Definition her, was soll das darstellen?
[mm] \mathcal{A}_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & -2 & 6} [/mm] /leadsto [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
rg(A)=rg(A,b)=3
[mm] L={\vektor{1 \\ 3 \\ 1}}
[/mm]
Wie bestimme ich hier [mm] u_{0}?[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 23.06.2015 | | Autor: | hippias |
Du selber hast geschrieben:
Sind $ [mm] S_G [/mm] $ und S_HG die Lösungmengen von (G) bzw. (HG) so gilt:
Besitzt G die Lösung u€V so ist
$ [mm] S_{G}=S_{HG}=u_{0}+ker(L) [/mm] $
dabei muss der fehlende Index natuerlich noch ergaenzt werden: [mm] $u_{0}\in [/mm] V$.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:12 Di 23.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Die Definition ist aus der Vorlesung und die verstehe ich nicht ganz.
Habe jetzt c gemacht:
[mm] \mathcal{A}_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & -2 & 6} \leadsto \pmat{ 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
rg(A)=rg(A,b)=3
[mm] L={\vektor{1 \\ 3 \\ 1}} [/mm]
Wie bestimme ich hier [mm] u_{0}?
[/mm]
Für [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] in den Körpern [mm] \IZ_{2}
[/mm]
a) [mm] \mathcal{A}_{1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0} \leadsto \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
also
[mm] L={\vektor{x_{3} \\ x_{3}+1 \\ x_{3}}}
[/mm]
also ist das in der Form [mm] S_{G}= u_{0}+ker(L) [/mm] = { [mm] \vektor{0 \\ +1 \\ 0} [/mm] + [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 1}}} [/mm] richtig ?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 23.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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