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Hallo!
Ich sitze mal wieder an meinem Stochastik-Blatt und "hänge" bei einer Aufgabe:
Die erzeugende Fkt. [mm] \phi_{X}:[-1,1] \to \IR [/mm] einer [mm] \IN_{0}-wertigen [/mm] Zufallsvariablen X ist def. durch:
[mm] \phi_{X}(z):=E(z^{X}).
[/mm]
1)
Best. die erzeugenden Fktn. von Poisson- und binomialverteilten Zufallsvariablen.
2)
Seien X,Y [mm] \IN_{0}-wertige [/mm] Zufallsvariablen mit [mm] \phi_{X}(z)=\phi_{Y}(z) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] [-1,1].
Zeige, dass [mm] P^{X}=P^{Y} [/mm] gilt.
3)
Zeige, dass für stochastisch unabh. [mm] \IN_{0}-wertige [/mm] Zufallsvariablen X,Y gilt:
[mm] \phi_{X+Y}(z)=\phi_{X}(z) \phi_{Y}(z).
[/mm]
Kann mir jemand bei meinen Problemen weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal!
VlG
Mario
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo adonis1981!
Unser Forum ist angewiesen auf Mitglieder, die auch dann jemandem helfen, wenn die Frage für sie selbst nicht interessant ist.
Deine Frage verstößt nun leider gegen unsere Forenregeln.
Aus diesem Grund empfiehlt das Projektteam, die Beantwortung Deiner Frage nur noch Interessierten zu überlassen, damit unsere hilfsbereiten Mitglieder nicht durch deine Regelverstösse verärgert werden.
Im Folgenden findest du eine ausführliche Liste der bemängelten Punkte. Du kannst gerne deine Frage entsprechend nachbessern, dann erlangt sie auch wieder die Aufmerksamkeit unserer hilfsbereiten Mitglieder.
Eigene Ansätze oder konkrete Fragen fehlen
Fragen, die nur aus der Aufgabenstellung selbst bestehen, werden grundsätzlich nicht bearbeitet. Es sollte wenigstens erkennbar sein, dass du dir eigene Gedanken gemacht hast, und an welcher Stelle du genau ins Stocken geraten bist. Im Allgemeinen wird jeder Beitrag von deiner Seite, der dem Antwortenden Arbeit abnimmt, positiv aufgenommen.
Zum Beispiel könntest du bereits von dir aus die zur Lösungsfindung nötigen Definitionen mitliefern.
Bitte bessere deine Frage nach.
Stellvertretend für die hilfsbereiten Mitglieder und das Projektteam[mm] \n,
[/mm]
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mo 06.12.2004 | | Autor: | adonis1981 |
Hi!
Sorry, dass ich einfach nur die Aufgabenstellung abgeschrieben habe!
Doch leider weiß ich wirklich überhaupt nicht weiter!
Kann in meinen Büchern nichts über "erzeugende Fkt." finden.
Weiß nicht einmals, wie ich an die Sache rangehen soll!
Ich kann Dein Ärgernis gut verstehen!
Auch ich beantworte des öfteren Fragen im Forum und ärgere mich auch darüber, dass manche nicht einmals Ansätze hinschreiben.
Doch leider ist Stochastik auch nicht mein "Liebling".
Ich benötige einen Schein in dem Fach & dann widme ich mich wieder der Algebra, in der ich besser bin.
Stochastik ist halt mein Schwachpunkt!
Hoffe, Du kannst mich doch ein wenig verstehen!
Möchte Dich/ Euch nicht ausnutzen!
Wenn ich irgendetwas wissen würde, würde ich es nat. hinschreiben!
Trotzdem vielen Dank!
VlG
Mario
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:44 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mario!
Ja, okay, ich verstehe, dass du Probleme mit Stochastik hast, aber dass man so rein gar nichts zu den drei Aufgaben sagen kann, kann ich mir kaum vorstellen. Ein paar Gedanken wirst du dir doch gemacht haben. Naja, ist ja jetzt egal.
> Die erzeugende Fkt. [mm]\phi_{X}:[-1,1] \to \IR[/mm] einer
> [mm]\IN_{0}-wertigen[/mm] Zufallsvariablen X ist def. durch:
> [mm]\phi_{X}(z):=E(z^{X}).
[/mm]
Was bedeutet das eigentlich? Für eine Zuvallsvariable $X$ mit Werten in [mm] $\IN^0$ [/mm] ist ja allgemein:
$E[f(X)] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] f(k) [mm] \cdot [/mm] P(X=k)$.
Hier ist also:
(*) [mm] $\phi_{X}(z) [/mm] = [mm] E[z^X] [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k [/mm] P(X=k)$.
> 1)
> Best. die erzeugenden Fktn. von Poisson- und
> binomialverteilten Zufallsvariablen.
Für die Poisson-Verteilung mit Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] gilt: $P(X=k)= [mm] e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}$, [/mm] also:
[mm] $\phi_X(z)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}$
[/mm]
$= [mm] e^{-\lambda} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(z\lambda)^k}{k!}$
[/mm]
$= [mm] e^{-\lambda} e^{z\lambda}$
[/mm]
$= [mm] e^{\lambda(z-1)}$.
[/mm]
Für die Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$ gilt:
[mm] $\phi_X(z)$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} z^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot (pz)^k \cdot (1-p)^{n-k}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{k=0}^{n} [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] \cdot (pz)^k \cdot (1-p)^{n-k}$
[/mm]
$= (pz + [mm] 1-p)^n$
[/mm]
> 2)
> Seien X,Y [mm]\IN_{0}-wertige[/mm] Zufallsvariablen mit
> [mm]\phi_{X}(z)=\phi_{Y}(z)[/mm] für alle z [mm]\in[/mm] [-1,1].
> Zeige, dass [mm]P^{X}=P^{Y}[/mm] gilt.
Zu zeigen ist also, dass [mm] $P^X$ [/mm] durch die erzeugende Funktion [mm] $\phi_X$ [/mm] eindeutig bestimmt ist.
Wir erhalten aber aus (*) durch Differentiation an der Stelle $z=0$:
[mm] $\phi_X'(0) [/mm] = k! [mm] \cdot [/mm] P(X=k)$.
Daher ist
$P(X=k) = [mm] \frac{\phi_X'(0)}{k!}$
[/mm]
für alle $k [mm] \in \IN_0$ [/mm] durch die Kenntnis von [mm] $\phi_X$ [/mm] eindeutig bestimmt.
> 3)
> Zeige, dass für stochastisch unabh. [mm]\IN_{0}-wertige[/mm]
> Zufallsvariablen X,Y gilt:
> [mm]\phi_{X+Y}(z)=\phi_{X}(z) \phi_{Y}(z).
[/mm]
Da $X$ und $Y$ stochastisch unabhängig sind, sind auch die Bilder unter der Borel-messbaren Funktion [mm] $f(x)=z^x$ [/mm] stochstisch unabhängig, d.h. die Zufallsvariablen [mm] $z^X$ [/mm] und [mm] $z^Y$ [/mm] sind stochastisch unabhängig. Insbesondere folgt:
(**) [mm] $E[z^X \cdot z^Y] [/mm] = [mm] E[z^X] \cdot E[z^Y]$.
[/mm]
Daher gilt für alle $z [mm] \in [/mm] [-1,1]$:
[mm] $\phi_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] E[z^{X+Y}] [/mm] = [mm] E[z^X \cdot z^Y] \stackrel{(\*\*)}{=} E[z^X] \cdot E[z^Y] [/mm] = [mm] \phi_X(z) \cdot \Phi_Y(z)$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:21 Mi 08.12.2004 | | Autor: | adonis1981 |
Hi!
Danke für Deine nette Hilfe!
Hast mir echt suoer weitergeholfen!
Vielen lieben Dank nochmal!
MfG
Mario
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