erzeugtes Ideal von Matrizen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für [mm] $n\ge [/mm] 2$ sei [mm] $A\in Mat(n,n;\IR)$ [/mm] mit [mm] $A\not= [/mm] 0$. Bestimmen Sie das von $A$ im Ring [mm] $Mat(n,n;\IR)$ [/mm] erzeugt Ideal $(A)$. |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich an das erzeugte Ideal komme. Also ein Ideal I liegt ja vor wenn (I,+) Untergruppe von (R,+) und außerdem $R*I [mm] \subseteq [/mm] I$, sowie $I*R [mm] \subseteq [/mm] I$.
Was genau ist eigentlich ein erzeugtes Ideal? Dazu kann ich leider im Skript nichts finden.
Danke,
viele Grüße
Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 Fr 17.07.2009 | | Autor: | mbiermay |
Für jede Teilmenge M eines Ringes gibt es ein kleinstes Ideal, dass M umfasst. Dieses Ideal nennt man das von M erzeugte Ideal.
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Hm, danke. Aber wie sähe das jetzt hier im konkreten Fall aus? Ich kann das nicht ganz auf die Aufgabe anwenden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Sa 18.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Hm, danke. Aber wie sähe das jetzt hier im konkreten Fall
> aus? Ich kann das nicht ganz auf die Aufgabe anwenden.
Zeige, dass die Matrix die nur in der linken oberen Ecke eine 1 hat im Ideal liegt. Dann zeig dass die Einheitsmatrix im Ideal liegt. Dann folgere dass $I$ der ganze Ring ist.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:43 Sa 18.07.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Sonst wirklich klar, was ich hier mache ist mir das immer noch nicht. Aber ich fange einfach mal an. Ich mache es erstmal für n=2:
Das von [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] erzeugte Linksideal [mm] ($R*I\subseteq [/mm] I$) ist:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ a & 0 \\ c & 0 }.
[/mm]
Also hat das Linksideal die Gestalt: [mm] \pmat{ \* & 0 \\ \* & 0 }
[/mm]
Wenn ich das ganze für das Rechtsideal mache, kommt aber etwas ganz anderes heraus:
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ \* & \* \\ 0 & 0 }
[/mm]
Ich verstehe es einfach nicht richtig :(
Danke
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Sa 18.07.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Hat niemand eine Idee zu der Aufgabe? Es wäre sehr wichtig für mich, dass ich mit dieser Aufgabe weiterkomme.
Danke schonmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:23 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Das von [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] erzeugte Linksideal
> ([mm]R*I\subseteq I[/mm]) ist:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ a & 0 \\ c & 0 }.[/mm]
>
> Also hat das Linksideal die Gestalt: [mm]\pmat{ \* & 0 \\ \* & 0 }[/mm]
Das ist korrekt. Insbesondere ist also das von [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] erzeugte Linksideal eine echte Teilmenge von [mm] $\operatorname{Mat}(n,\IR)$.
[/mm]
Entscheidend ist hier wirklich, ob es um einseitig oder beidseitig erzeugte Ideale geht. Im letzteren Fall greift Felix Argument durch eine naheliegende Erweiterung deiner Rechnung: Sei [mm] $A\in\opeartorname{Mat}(n,\IR)$ [/mm] beliebig. Durch geeignete Permutation (entspricht Multiplikation mit geeigneten Matrizen von rechts und links) können wir o.B.d.A [mm] $a_{11}\ne [/mm] 0$ annehmen. Ist dann X die Matrix, die nur oben links eine Eins enthält, so ist [mm] $1/a_{11}XAX=X$ [/mm] im von A erzeugten (beidseitigen) Ideal (A). Analog liegt natürlich auch jede andere Matrix, die überall 0 bis auf eine Eins auf der Diagonalen ist, in (A) und damit auch deren Summe - die Einheitsmatrix. Damit ist trivialerweise [mm](A)=\operatorname{Mat}(n,\IR)[/mm].
Falls nach dem einseiten Ideal gefragt ist, wird die Sache etwas komplizierter. Auf jeden Fall gilt aber dann [mm](A)=\operatorname{Mat}(n,\IR)[/mm], genau dann (!), wenn A invertierbar ist. Falls A nicht invertierbar ist, könntest du vielleicht versuchen irgendwie über den Gauß-Algorithmus zu argumentieren: du weißt es gibt eine Matrix X sodass AX bzw. XA in Zeilenstufenform ist und es ist schomal intuitiv klar, dass (A) umso größer ist, je größer der Rang von A ist.
Gruß, Robert
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Hallo 
> > Das von [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] erzeugte Linksideal
> > ([mm]R*I\subseteq I[/mm]) ist:
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }=\pmat{ a & 0 \\ c & 0 }.[/mm]
>
> >
> > Also hat das Linksideal die Gestalt: [mm]\pmat{ \* & 0 \\ \* & 0 }[/mm]
>
> Das ist korrekt. Insbesondere ist also das von
> [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] erzeugte Linksideal eine echte Teilmenge
> von [mm]\operatorname{Mat}(n,\IR)[/mm].
>
> Entscheidend ist hier wirklich, ob es um einseitig oder
> beidseitig erzeugte Ideale geht.
Ja ich denke es geht um letzteres.
> Im letzteren Fall greift
> Felix Argument durch eine naheliegende Erweiterung deiner
> Rechnung: Sei [mm]A\in\opeartorname{Mat}(n,\IR)[/mm] beliebig. Durch
> geeignete Permutation (entspricht Multiplikation mit
> geeigneten Matrizen von rechts und links) können wir
> o.B.d.A [mm]a_{11}\ne 0[/mm] annehmen. Ist dann X die Matrix, die
> nur oben links eine Eins enthält, so ist [mm]1/a_{11}XAX=X[/mm] im
> von A erzeugten (beidseitigen) Ideal (A).
Was genau meinst du mit dieser Schreibweise? [mm] 1/a_{11}XAX=X
[/mm]
> Analog liegt
> natürlich auch jede andere Matrix, die überall 0 bis auf
> eine Eins auf der Diagonalen ist, in (A) und damit auch
> deren Summe - die Einheitsmatrix. Damit ist trivialerweise
> [mm](A)=\operatorname{Mat}(n,\IR)[/mm].
>
Also ich fasse mal zusammen, was ich bisher verstanden habe:
Ich schnappe mir also eine beliebige Matrix A aus [mm] Mat(n,\IR). [/mm] Dann nehme ich nacheinander die Matrizen [mm] X^i, [/mm] die genau an der [mm] x_{ii}-Stelle [/mm] eine 1 haben und sonst nur Null.
Dann ist [mm] $X^iAX^i=a_{ii}X^i$ [/mm] für $i=1,...,n$
(Warum betrachte ich genau [mm] $X^iAX^i$? [/mm] Das ist mir nicht ganz klar.)
Dann kann ich auch die Summe betrachten:
[mm] $X=\sum_{i=1}^n X^i$ [/mm] und dann gilt logischerweise:
XAX=A
Also [mm] (A)=Mat(n,\IR) [/mm] mit Worten: Alle Matrizen aus [mm] Mat(n,\IR) [/mm] liegen in dem von A erzeugten Ideal.
Oder wir könnte man das sauber formulieren?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 19.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> Was genau meinst du mit dieser Schreibweise? [mm]1/a_{11}XAX=X[/mm]
Wo ist das Problem? XAX ist einfach die Matrizenmultiplikation und [mm] a_{11} [/mm] ist eine reelle Zahl ungleich 0, also ist [mm] \frac{1}{a_{11}}XAX [/mm] eine wunderbar wohldefinierte Matrix. Der Knackpunkt ist, dass 1) [mm] $1/a_{11}XAX=X$ [/mm] ist und 2) [mm] $1/{a_{11}}XAX$ [/mm] auf jeden Fall im beidseitig erzeugten Ideal (A) liegen muss (nach Definition des beidseitigen Ideals), d.h. also die Matrix X liegt in (A).
> Also ich fasse mal zusammen, was ich bisher verstanden
> habe:
>
> Ich schnappe mir also eine beliebige Matrix A aus
> [mm]Mat(n,\IR).[/mm] Dann nehme ich nacheinander die Matrizen [mm]X^i,[/mm]
> die genau an der [mm]x_{ii}-Stelle[/mm] eine 1 haben und sonst nur
> Null.
> Dann ist [mm]X^iAX^i=a_{ii}X^i[/mm] für [mm]i=1,...,n[/mm]
Richtig. Das ist aber nicht was wir wollen: Wir wollen, dass alle [mm] $X^i$ [/mm] in (A) liegen, denn dann muss auch deren Summe - die Einheitsmatrix - in (A) liegen, und das bedeutet aber wiederum, dass [mm] $(A)=\operatorname{Mat}(n,\IR)$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 So 19.07.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Ok.
Dankeschön euch allen!
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