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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - eukl Algorithmus mit Polynomen
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eukl Algorithmus mit Polynomen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Do 15.04.2010
Autor: tasjasofie

Aufgabe
Gesucht ist ein f, das folgende Kongruenz löst:
f = X-1 mod X²+1
f = X+1 mod [mm] X^3 [/mm]

hallo,
ich schreibe morgen eine Klausur in Diskrete Mathe. Nun weiß ich leider nicht, wie das gehen soll!

Meine Idee wäre das ich Polynomdivision mit [mm] X^3 [/mm] und [mm] X^2+1 [/mm] mache um dann die Darstellung von Bezout zu erhalten:

[mm] X^3 [/mm] = X(X²1) = X Rest -X
(X²+1) = -X(-X) +1
-X = -X(1) + 0
Daraus folgt, dass der ggT = 1 ist

Nach Bezout: 1 = [mm] X(X^3) [/mm] - (X²+1)(X²+1)
also ist [mm] \lambda [/mm] = X
und [mm] \mu [/mm] = - (X²+1)

Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter machen muss :(
Wäre echt klasse, wenn mir hier jemand helfen könnte!!!
tasjasofie

        
Bezug
eukl Algorithmus mit Polynomen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:57 Do 15.04.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Gesucht ist ein f, das folgende Kongruenz löst:
>  f = X-1 mod X²+1
>  f = X+1 mod [mm]X^3[/mm]
>  hallo,
>  ich schreibe morgen eine Klausur in Diskrete Mathe. Nun
> weiß ich leider nicht, wie das gehen soll!
>  
> Meine Idee wäre das ich Polynomdivision mit [mm]X^3[/mm] und [mm]X^2+1[/mm]
> mache um dann die Darstellung von Bezout zu erhalten:
>  
> [mm]X^3[/mm] = X(X²1) = X Rest -X
>  (X²+1) = -X(-X) +1
>  -X = -X(1) + 0
>  Daraus folgt, dass der ggT = 1 ist
>  
> Nach Bezout: 1 = [mm]X(X^3)[/mm] - (X²+1)(X²+1)
>  also ist [mm]\lambda[/mm] = X
>  und [mm]\mu[/mm] = - (X²+1)
>  
> Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter machen muss :(

Schau doch mal, ihr habt sicher schonmal was aehnliches gehabt an Aufgabe?!

Ansonsten, hier ein Tipp:

* fuer $a := X [mm] (X^3)$ [/mm] gilt $a [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{X^2 + 1}$, [/mm] und $a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{X^3}$; [/mm]

* fuer $b := [mm] -(X^2 [/mm] + 1) [mm] (X^2 [/mm] + 1)$ gilt $b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{X^3 + 1}$, [/mm] und $b [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{X^3}$. [/mm]

Damit kannst du dir jetzt eine Loesung basteln.

LG Felix


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