euklid. Ring Bewertungsabb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:15 Di 18.04.2006 | | Autor: | yalu |
| Aufgabe 1 | (a) Es sei R ein euklidischer Ring bzgl. der Abbildung [mm] \delta', [/mm] und es sei [mm] \delta: R\setminus\{0\} \to \IN_{0} [/mm] definiert durch
[mm] \delta(a) [/mm] := Min [mm] \{ \delta'(a') | a' ist assoziiert zu a \}.
[/mm]
Man zeige, dass R auch bzgl. [mm] \delta [/mm] ein euklidischer Ring ist. |
| Aufgabe 2 | (b) Es sei R ein euklidischer Ring bzgl. [mm] \delta [/mm] mit der Eigenschaft, dass stets [mm] \delta(a) [/mm] = [mm] \delta(a') [/mm] gilt für assoziierte Elemente a,a' [mm] \in R\setminus\{0\}.
[/mm]
Man zeige, dass für alle a,b [mm] \in R\setminus\{0\} [/mm] gilt:
Ist a ein echter Teiler von b, d.h. a | b aber b (teilt nicht) a, so ist [mm] \delta(a) [/mm] < [mm] \delta(b). [/mm] |
Hallo!
Meine Überlegungen beginnen (und enden leider) mit der Definition eines euklidischen Ringes.
Bei (a) muss ich doch zeigen, dass für die neue Abbildung gilt, dass
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R: [mm] \exists [/mm] q,r [mm] \in [/mm] R s.d. a = qb + r wobei r=0 oder [mm] \delta(r) [/mm] < [mm] \delta(b) [/mm] - unter der Voraussetzung, dass ich weiss: [mm] \delta'(r) [/mm] < [mm] \delta'(b)
[/mm]
Allgemein gefragt: Wie zeige ich das? Muss ich für alle a,b so ein Tupel von q,r explizit angeben? Dieses "assoziiert" ist mir auch ein Dorn im Auge - kann das jemand nochmal in eigene Worte fassen? Die Definition habe ich und auch ein Beispiel (in Z ist a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a = +-b)
Def.: a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a = b * u für u [mm] \in R^{\*}
[/mm]
(b) äähm  joar - das Internet sagte mir, dass aus a [mm] \sim [/mm] b auch folgt:
a | b | a (muss ich das beweisen, falls ja: Idee?)
Wenn die also sagen a und b sollen echte Teiler seien, dann kann ich ausschließen, dass a [mm] \sim [/mm] b ist ?
Und daraus folgt zumindest schonmal: [mm] \delta(a) \not= \delta(b)
[/mm]
Naja und wenn jetzt noch a | b , dann ist ja
a = q*b + a also folgt [mm] \delta(b) [/mm] < [mm] \delta(a) [/mm] ?? Kommt mir etwas komisch vor :)
Für alle Hinweise / Tipps usw. bin ich wie immer sehr dankbar!!
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 20.04.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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