euklidisch oder faktoriell < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Ringe sind faktoriell, welche sind euklidisch?
i) [mm] \IQ(\wurzel{-6}) [/mm] ii) [mm] \IR[X_{1},X_{2}] [/mm] iii) [mm] \IZ_{13}[X] [/mm] |
Hallo,
bin grade bei der Klausurvorbereitung und über diese alte Klausuraufgabe gestolpert, bei der ich ein wenig hänge.
Also es gilt ja: euklidischer Ring [mm] \Rightarrow [/mm] Hauptidealring [mm] \Rightarrow [/mm] faktorieller Ring
zu i)
wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte, ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^
zu ii)
meiner Erinnerung nach müsste das zumindest ein Hauptidealring sein und somit faktoriell
zu iii)
da [mm] \IZ_{13} [/mm] ein Körper, daraus müsste folgen [mm] \IZ_{13}[X] [/mm] Hauptidealring und somit faktoriell
Wäre über Aufklärung dankbar 
LG
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Hallo,
> Welche der folgenden Ringe sind faktoriell, welche sind
> euklidisch?
>
> i) [mm]\IQ(\wurzel{-6})[/mm] ii) [mm]\IR[X_{1},X_{2}][/mm] iii)
> [mm]\IZ_{13}[X][/mm]
> Hallo,
>
> bin grade bei der Klausurvorbereitung und über diese alte
> Klausuraufgabe gestolpert, bei der ich ein wenig hänge.
>
> Also es gilt ja: euklidischer Ring [mm]\Rightarrow[/mm]
> Hauptidealring [mm]\Rightarrow[/mm] faktorieller Ring
>
> zu i)
>
> wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte,
> ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt
> euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^
Der "Ring" ist euklidisch, aber eigentlich ist das hier eine Fangfrage.
> zu ii)
>
> meiner Erinnerung nach müsste das zumindest ein
> Hauptidealring sein und somit faktoriell
Das ist kein HauptIdealRing, da [mm] $(X_1,X_2)$ [/mm] kein Hauptideal. Allerdings faktoriell nach einem extrem wichtigen Satz über faktorielle Ringe.
> zu iii)
>
> da [mm]\IZ_{13}[/mm] ein Körper, daraus müsste folgen [mm]\IZ_{13}[X][/mm]
> Hauptidealring und somit faktoriell
Der Ring ist sogar euklidisch.
> Wäre über Aufklärung dankbar
>
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Di 11.02.2014 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > zu i)
> >
> > wüsste leider spontan nicht, woran man das sehen sollte,
> > ob euklidisch oder nicht. Mein Bauchgefühl sagt
> > euklidisch, aber natürlich nicht sehr mathematisch^^
>
> Der "Ring" ist euklidisch, aber eigentlich ist das hier
> eine Fangfrage.
eventuell muss man die genaue Definition von Euklidisch nachschauen. Es ist moeglich, dass dort der Fall eines Koerpers ausgeschlossen ist. Auch wenn's nicht ueblich ist :)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 Di 11.02.2014 | | Autor: | derriemann |
Ne, Körper haben wir nicht ausgeschlossen.......
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Hi,
warum ist denn i) eine Fangfrage? Spielst du darauf an, dass [mm] \IQ(\wurzel{-6}) [/mm] ein Körper ist?
Hm, meinst du bei ii) Lemma von Gauß - Polynomring eines faktoriellen Ringes ist faktoriell?
LG
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