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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:47 Di 07.03.2006 | | Autor: | hurdel |
| Aufgabe | Für linear unabhängige Elemente u,v [mm] \in [/mm] |E definiere man
[mm] x\Box [/mm] y := <x,y> * u +[x,y] * v für x,y [mm] \in [/mm] |E
und fasse A= [mm] (|E;\Box) [/mm] als [mm] \IR [/mm] -Algebra auf. Welche üblichen algebraischen Eigenschaften hat A ( wie Existenz eines Einselementes, Assoziativität, Nullteiler, Divisionsalgebren usw.)? |
bitte um schnelle Hilfe. benötige die Aufgabe für eine Prüfung in einer Woche... Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Für linear unabhängige Elemente u,v [mm]\in[/mm] |E definiere man
|E ist fuer dich die euklidische Ebene, also [mm] $\IR^2$?
[/mm]
> [mm]x\Box[/mm] y := <x,y> * u +[x,y] * v für x,y [mm]\in[/mm] |E
> und fasse A= [mm](|E;\Box)[/mm] als [mm]\IR[/mm] -Algebra auf. Welche
Du solltest mal erklaeren was du unter <x,y> und [x,y] verstehst. Das erste ist sicher das Standardskalarprodukt, oder? (Also [mm] $\langle(x_1,y_1), (x_2,y_2)\rangle [/mm] = [mm] x_1 x_2 [/mm] + [mm] y_1 y_2$.) [/mm] Fuer das zweite hab ich grad so gar keine Idee...
Und die weitere Operation in der [mm] $\IR$-Algebra [/mm] soll sicher die Addition sein, oder?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 07.03.2006 | | Autor: | hurdel |
ja, damit ist die euklidische Ebene, also [mm] \IR^{2} [/mm] gemeint. <> ist das skalarprodukt, ja. und mit [x,y] ist die determinantenfunktion gemeint, also [x,y] = det (x,y) = [mm] x_{1}y_{2}-x_{2}y{1}.
[/mm]
was meinst du mit weiterer operation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> ja, damit ist die euklidische Ebene, also [mm]\IR^{2}[/mm] gemeint.
> <> ist das skalarprodukt, ja. und mit [x,y] ist die
> determinantenfunktion gemeint, also [x,y] = det (x,y) =
> [mm]x_{1}y_{2}-x_{2}y{1}.[/mm]
Oki. Was hast du denn schon bisher bei der Aufgabe versucht? Bei welchen Teilen bist du gescheitert?
> was meinst du mit weiterer operation?
Nun, zu einer Algebra gehoeren zwei Operationen, eine Addition und eine Multiplikation (eine Algebra ist ja nichts anderes als ein Ring). Du hast nur eine Operation angegeben, ich nehme mal an das soll die Multiplikation sein, und die Addition ist die 'gewoehnliche' Addition auf [mm] $\IR^2$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 07.03.2006 | | Autor: | hurdel |
ich weiss leider nicht, was du damit meinst. hab zu dieser aufgabe nur die angaben, die ich angegeben habe, also [mm] x\boxy:= [/mm] mal u + [x,y] mal v für x,y [mm] \in [/mm] IE.
weiss leider bisher noch überhaupt nicht, wie ich das angehen soll...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mi 08.03.2006 | | Autor: | hurdel |
wäre echt super nett, wenn du mir noch ein paar hinweise schicken könntest, felixf. danke schonmal im voraus
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Hallo zusammen und einen guten Nachmittag,
da es scheinbar eilt, wage ich es mal, auch einen Beitrag zu liefern.
> Für linear unabhängige Elemente u,v [mm]\in[/mm] |E definiere man
> [mm]x\Box[/mm] y := <x,y> * u +[x,y] * v für x,y [mm]\in[/mm] |E
> und fasse A= [mm](|E;\Box)[/mm] als [mm]\IR[/mm] -Algebra auf. Welche
> üblichen algebraischen Eigenschaften hat A ( wie Existenz
> eines Einselementes, Assoziativität, Nullteiler,
> Divisionsalgebren usw.)?
> bitte um schnelle Hilfe. benötige die Aufgabe für eine
> Prüfung in einer Woche... Danke im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Testen wir doch mal Assoziativität:
[mm] (x\Box [/mm] y) [mm] \Box [/mm] z
= [mm] (\cdot [/mm] u + [mm] \det (x,y)\cdot v)\Box [/mm] z
= [mm] \cdot \cdot [/mm] u + [mm] \det (x,y)\cdot \cdot [/mm] v
[mm] \:\: +\: \det( \cdot [/mm] u + [mm] \det (x,y)\cdot v,z)\cdot [/mm] v
[mm] x\Box \: (y\Box [/mm] z)
= [mm] x\Box (\cdot [/mm] u + [mm] \det (y,z)\cdot [/mm] v)
= [mm] \cdot [/mm] u + [mm] \det (y,z)\cdot v>\cdot [/mm] u
[mm] \:\: [/mm] + [mm] \: \det (x,\cdot [/mm] u + [mm] \det (y,z)\cdot v)\cdot [/mm] v
= [mm] \cdot u>\cdot u\:\: +\:\: \cdot [/mm] u
[mm] \:\: [/mm] + [mm] \: \det (x,\cdot [/mm] u + [mm] \det (y,z)\cdot v)\cdot [/mm] v
Ok, sieht fuer den Moment schon mal hinreichend uebel aus.
Versuchen wir Nullteiler:
Wg. linearer Unabh. von u,v fragen wir, ob es [mm] x,y\in\IR^2 [/mm] gibt
mit [mm] x\neq 0\neq [/mm] y (0 hier der Nullvektor) und
[mm] =0=\det [/mm] (x,y)
Es ist [mm] \det [/mm] (x,y)=0 gdw sie lin. abh. sind, also [mm] x=\lambda\cdot y,\lambda\in\IR\setminus\{0\} [/mm] (hier die Null [mm] in\IR),
[/mm]
aber dann ist [mm] ==\lambda\cdot \neq [/mm] 0,
also gibt es schonmal keine Nullteiler.
Einselement von links:
Gibt es [mm] e\in\IR^2, [/mm] so dass fuer alle [mm] y=y_u\cdot u+y_v\cdot [/mm] v (mit [mm] y\in\IR^2, y_u,y_v\in\IR)
[/mm]
[mm] e\Box [/mm] y=y gilt, also
[mm] =y_u
[/mm]
[mm] \det (e,y_u\cdot u+y_v\cdot v)=y_v [/mm] ?
Die obere Bedingung waere zB fuer [mm] =1,\:\: [/mm] <e,v>=0 erfuellt.
Also, ich brech fuer den Moment hier leider mal ab.
Ob meine Ansaetze fehlerfrei sind, kann ich nicht mit Sicherheit sagen, sie sind zweifelsohne
''zu Fuß'' gerechnet. Melde mich ggf. spaeter nochmal, vielleicht hilft dies ja schonmal fuer eine
Idee zum Loesungsansatz weiter.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Mi 08.03.2006 | | Autor: | hurdel |
hallo mathias, schon mal vielen herzlichen dank für deine mühen. hat mir schon etwas weiter geholfen, aber anscheinend bin ich zu doof dafür.. könntest du evtl deine antwort noch etwas weiter ausführen? wäre super
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 22.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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