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euklidische Norm: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:18 So 30.01.2005
Autor: regine

Hallo,

ich habe die folgenden Matrix:

[mm] \pmat{ -2 & 1 \\ -1 & -2 }. [/mm]

Nun suche ich die zur euklidischen Norm gehörige Matrixnorm.

Die wäre doch dann per Definition:

[mm] \wurzel{ | \lambda_{max}(A^{T}A) | } [/mm]

Ausgesprochen verstehe ich es so: ich bilde das Produkt der Matrix A und der transponierten Matrix von A. Ich ermittle die Eigenwerte und nehme mir den größten raus, bilde den Betrag davon und ziehe daraus die Wurzel, oder?

Da habe ich dann erhalten:

[mm] \wurzel{ | \lambda_{max}( \pmat{ -2 & -1 \\ 1 & -2 } * \pmat{ -2 & 1 \\ -1 & -2 } ) | }. [/mm]

Das Ganze liefert mir dann  [mm] \wurzel{5}. [/mm]

Dann suche ich noch die zur euklidischen Norm gehörige logarithmische Norm. Das ist doch per Definition die charakteristische Zahl, oder? Da kann ich nun aber nicht mehr viel mit anfangen und würde mich über eine Erklärung freuen.

Danke und viele Grüße,
Regine.
        
Bezug
euklidische Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Di 01.02.2005
Autor: Stefan

Liebe Regine!


> ich habe die folgenden Matrix:
>  
> [mm]\pmat{ -2 & 1 \\ -1 & -2 }. [/mm]
>  
> Nun suche ich die zur euklidischen Norm gehörige
> Matrixnorm.
>  
> Die wäre doch dann per Definition:
>  
> [mm]\wurzel{ | \lambda_{max}(A^{T}A) | } [/mm]

[ok]
  
> Ausgesprochen verstehe ich es so: ich bilde das Produkt der
> Matrix A und der transponierten Matrix von A. Ich ermittle
> die Eigenwerte und nehme mir den größten raus, bilde den
> Betrag davon und ziehe daraus die Wurzel, oder?

[ok]
  
> Da habe ich dann erhalten:
>  
> [mm]\wurzel{ | \lambda_{max}( \pmat{ -2 & -1 \\ 1 & -2 } * \pmat{ -2 & 1 \\ -1 & -2 } ) | }. [/mm]

[ok]  

> Das Ganze liefert mir dann  [mm]\wurzel{5}. [/mm]

[ok] (habe ich mit matlab zur Sicherheit nachgerechnet, stimmt! [daumenhoch])
  
> Dann suche ich noch die zur euklidischen Norm gehörige
> logarithmische Norm. Das ist doch per Definition die
> charakteristische Zahl, oder? Da kann ich nun aber nicht
> mehr viel mit anfangen und würde mich über eine Erklärung
> freuen.

Per definitionem ist das:

[mm] $\mu_2(A) [/mm] = [mm] \lim\limits_{h \to 0} \frac{\Vert E_n-hA\Vert_{2,2}-1}{h}$. [/mm]

Aber wie man das berechnet, weiß ich leider nicht. [keineahnung]

Liebe Grüße
Stefan  

Bezug
        
Bezug
euklidische Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 Sa 05.02.2005
Autor: Paulus

Liebe Regine

ich habe ein wenig gegoogelt und bin auf diese Seite gestossen:

[]www.mathe.tu-freiberg.de/~eiermann/Vorlesungen/NumerikODE/Folien/ode_5.pdf

Ohne auch nur des Kleinste davon verstanden zu haben, übertrage ich das Beispiel auf Seite 217 so (auch Seite 215 scheint in diesem Zusammenhang interessant zu sein):

[mm] $\mu_{2}(A)=\rho(\bruch{1}{2}(A+A^t))= max(|-2\pm0|)=2$ [/mm]

Mit [mm] $A=\pmat{-2&1\\-1&-2}$ [/mm]

Ich hoffe, der Link bringt dich ein Bisschen weiter. Wie angedeutet, ich müsste wohl noch viel Zeit investieren, um das zu verstehen. Aber für dich ist das sicher ein Klacks! ;-)

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
Bezug
euklidische Norm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Sa 05.02.2005
Autor: regine

Hallo,

danke für Deine Antwort.

Ich hatte mittlerweile auch etwas gefunden, aber es aufgrund der rasch nahenden Prüfung noch nicht gepostet.

Ich hatte gefunden, dass man die Matrix A und ihre transponierte addiert und die neue Matrix mit $ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] multipliziert. Von der neuen Matrix muß man den größten Eigenwert nehmen.

Ich habe allerdings berechnet, dass beide Eigenwerte gleich -2 sind. Vom Betrag wußte ich nichts und daher ist mein Gesamtergebnis -2.

Viele Grüße,
Regine.
Bezug
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