eulersche Polynomfolge konverg < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Mo 18.05.2015 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Es sei die komplexe Polynomfolge [mm] $f_n(z) [/mm] = [mm] \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}$ [/mm] gegeben. Zeige, dass diese (lokal) gleichmäßig gegen $exp: [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ [/mm] konvergiert. |
Zum Beweis:
[mm] $|e^z [/mm] - [mm] \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}| [/mm] = [mm] |(e^{z/n})^n [/mm] - [mm] \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}| [/mm] = [mm] \left(e^{z/n} - 1 - \frac{z}{n} \right) \sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{z/n}\right)^k \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n-k-1} [/mm] = [mm] \frac{z}{n} \left( \frac{e^{z/n} - 1 }{\frac{z}{n}} -1 \right) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\left(e^{z/n}\right)^k \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n-k-1}. [/mm]
Der zweite Faktor geht mit L'Hospital gegen 0. Allerdings brauche ich nun noch ein geeognetes [mm] $n_0.$ [/mm] Und die Summe muss ich auch noch geeignet abschätzen. Aber ich denke, dass ich am richtigen Weg bin. Nur das Ende zu finden, fällt mir momentan schwer. Habt ihr eine Idee für die Abschätzung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Ohne die Exponentialreihe kommst Du nicht aus !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mo 18.05.2015 | | Autor: | clemenum |
Ich behaupte schon, denn ich benutze nun die Abschätzung $|1 + x| [mm] \le [/mm] |1| + |x| = 1 + |x| [mm] \le e^x [/mm] $.
also, ich habe jetzt stehen:
$ [mm] |e^{z} [/mm] - [mm] \left(1+\frac{z}{n}\right)^n| \le |z\left(\frac{e^{z/n}-1 }{\frac{z}{n}} -1\right)e^{|z|} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $
Das Problem: Jetzt ist ja unser $ [mm] n_0:=n_0(\varepsilon,z)$ [/mm] Es sollte ja nur von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen. Wie bekommen wir also unser $ z$ von diesem Ausdruck weg? Kannst du mir da einen Hinweis geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 18.05.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich behaupte schon, denn ich benutze nun die Abschätzung
> [mm]|1 + x| \le |1| + |x| = 1 + |x| \le e^x [/mm].
Das gilt nur für x [mm] \ge [/mm] 0.
>
>
> also, ich habe jetzt stehen:
> [mm]|e^{z} - \left(1+\frac{z}{n}\right)^n| \le |z\left(\frac{e^{z/n}-1 }{\frac{z}{n}} -1\right)e^{|z|} | < \varepsilon[/mm]
Zeig mal , wie Du darauf kommst.
>
> Das Problem: Jetzt ist ja unser [mm]n_0:=n_0(\varepsilon,z)[/mm] Es
> sollte ja nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängen. Wie bekommen wir
> also unser [mm]z[/mm] von diesem Ausdruck weg? Kannst du mir da
> einen Hinweis geben?
Du sollst ja die lokal glm. Konvergenz zeigen. Zeige also glm. Konvergenz für |z| [mm] \le [/mm] r.
Wenn Deine Abschätzung richtig ist, so musst Du noch zeigen, dass die Folge
( [mm] \frac{e^{z/n}-1 }{\frac{z}{n}}) [/mm] auf [mm] \{z \in \IC: |z| \le r\} [/mm] glm. gegen 1 konvergiert.
FRED
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