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| Aufgabe | Die folgende Differentialgleichung ist nicht exakt, finden Sie einen geeigneten integrierenden Faktor und lösen Sie die Differntialgleichung:
[mm] (y^2-x^2)dy+2*x*ydx=0 [/mm] |
Hallo,
eine Differentialgleichung der Form
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 heißt exakt, wenn gilt [mm] \bruch{\partial P}{\partial y}=\bruch{\partial Q}{\partial x}.
[/mm]
Jetzt soll ein integrierender Faktor gefunden werde, für den gilt:
[mm] \lamba(x,y)*P*dx+\lambda(x,y)*Q*dy=0
[/mm]
Ich habe leider die Vorlesung dazu verpasst und verstehe jetzt mehr oder weniger Bahmhof. Wie geht man jetzt weiter vor ?
Angenommen ich möchte den integrierenden Fakot [mm] \lambda(x,y) [/mm] finden, dann ist.
Dann ist lau Lösung [mm] P=2*x*y*\lambda(x,y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial P}{\partial y}=2x*\lambda+2xy*\lambda'
[/mm]
Für [mm] Q=(y^2-x^2)*\lambda(x,y)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial Q}{\partial x}=-2x*\lambda(y) [/mm] (Wieso dieses Ergebnis ?)
Wieso ist [mm] \lambda [/mm] bei letzterem in Abhängigkeit von y gegeben ? Oben bei P hat er nichts angegeben, ich dachte [mm] \lambda [/mm] müsste eine Funktion in abhängigkeit und x UND y sein.
Wie geht es dann weiter ? Ich habe die Strategie noch nicht ganz verstanden.
Wäre super, wenn jemand mit mir das Beispiel durchginge.
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wieso ist [mm]\lambda[/mm] bei letzterem in Abhängigkeit von y
> gegeben ? Oben bei P hat er nichts angegeben, ich dachte
> [mm]\lambda[/mm] müsste eine Funktion in abhängigkeit und x UND y
> sein.
$a(x,y)=c$
ist eine Funktion von x UND y. Nur tauchen sie beide nicht auf. =)
Im Normalfall probierst Du erstmal [mm] $\mu(x)$ [/mm] und [mm] $\mu(y)$, [/mm] weil sich sonst die DGl zur Bestimmung von [mm] $\mu$ [/mm] kaum lösen läßt.
Hier funktioniert eben ein [mm] $\mu$, [/mm] das nur von y abhängt, und das man deswegen auch schön ausrechnen kann.
> Wie geht es dann weiter ? Ich habe die Strategie noch nicht
> ganz verstanden.
Du berechnest [mm] $\mu(y)$ [/mm] explizit. Damit hast Du eine exakte DGl,
[mm] $\mu [/mm] P\ dx + [mm] \mu [/mm] Q\ dy=0,$
die Du dann lösen kannst, und aus der Lösung ergeben sich P und Q.
ciao
Stefan
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Hallo,
danke erstmal für deine Antwort.
Meine Frage bezog sich eben genau darauf, wie man denn diesen integrierenden Faktor bestimmt. Das habe ich noch nicht so ganz blicken können. Kannst du mir da eventuell noch ein wenig weiterhelfen ? In meinem Skript ist das nicht wirklich beschrieben, da wird nur gesagt es sei ja offensichtlich und intuitiv, das ist es für mich (noch) nicht.
Danke schonmal !
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wann ist denn
[mm] $\lambda [/mm] P\ dx + [mm] \lambda [/mm] Q\ dy = 0$
exakt?
Wenn die Bedingung erfüllt ist:
$ [mm] \bruch{\partial \lambda P}{\partial y}=\bruch{\partial \lambda Q}{\partial x}. [/mm] $
Und wann ist die Bedingung erfüllt? Wenn
$ [mm] \bruch{\partial \lambda P}{\partial y}=2x\cdot{}\lambda+2xy\cdot{}\lambda' =-2x\cdot{}\lambda [/mm] = [mm] \bruch{\partial \lambda Q}{\partial x}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Hi,
danke für die Antwort. Dann werd ich mich da mal ranmachen. Eine Frage habe ich aber noch. Woran konnte man bei dieser Differentialgleichung sehen, dass hier ein integrierender Faktor in Abhängigkeit von y reicht ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
wie oben schon geschrieben, probierst Du halt mal ob einer nur von x oder nur von y funktioniert. Vielleicht auch noch [mm] $\mu(xy)$ [/mm] oder ähnliches.
Ein Faktor, der wirklich von beiden abhängt, bringt Dich selten weiter, weil Du nur eine nicht zu lösende DGl durch eine andere ersetzt, die auch nicht besser ist.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Sa 15.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hi,
danke für deine Gedulg. Hab alles hinbekommen !! Schönen Abend!
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