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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Entscheiden sie ob die Differentialgleichung.
(x²-3y²)+ 2*x*y*dy/dx = 0 exakt ist und bestimmen sie gegebenenfalls einen integrierenden Faktor p(x) der nur vond er Variablen x abhängt.
Lösen sie danach diese Differnetialgleichung |
Halloliebes Forum:
Meine Frage, ist, wie ich dann die Gleichung löse wenn ich den integrierenden Faktor habe.
Die Exaktheit habe ich schon nachgewiesen.
Ich schreibe mal kurz die Rechnung, dass man meine Beschriftungen nachvollziehen kann
(x²-3y²)dx + (2*x*y)dy = 0
A= x² - 3y² B= 2xy
da/dy = -6y dB/dx= 2y
da die beiden nicht gleich sind -> nicht exakt
es soll gelten:
d(pa)/dy = d(pb)/dx
also:
dp/dy *A + dA/dy *p = dp/dx*B + dB/dx*p
da p(x) -> dp/dy =0
eingesetzt:
-6y*p = dp/dx 2xy +2y geteilt durch y undumgestellt ergibt:
-4/x = dp/dx 1/p
-> als integrierenden Faktor habe ich nun p= [mm] \bruch{1}{x^{4}}
[/mm]
nun weiss ich aber nicht, wie ich diese Differentialgleichung lösen sollte....
kann mir jemand helfen?
danke lg katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
s scheint ja irgendwie keiner beantworten zu können - diese ist auch unter der klasse sehr schwer vertreten.
ich möchte ja auch erstmal zunächst nur das verfahren verstehen, und poste deswegen in einem anderen betirag eine leichtere aufgabe.
mfg
katja
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Hallo,
[mm] $(x^2-3y^2)\;dx+2yx\;dy=0$ |*\frac{1}{x^4}
[/mm]
[mm] $\left(\frac{1}{x^2}-3*\frac{y^2}{x^4} \right)\;dx+2*\frac{y}{x^3}\;dy=0$ [/mm]
[mm] $\int\left(\frac{1}{x^2}-3*\frac{y^2}{x^4} \right)\;dx=-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}+f(y)$
[/mm]
[mm] $\int2*\frac{y}{x^3}\;dy=\frac{y^2}{x^3}+f(x)$
[/mm]
$f(y)=0$
[mm] $f(x)=-\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $F(x,y)=-\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3}-C=0$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{x}+C=\frac{y^2}{x^3}$
[/mm]
[mm] $y^2=x^2+Cx^3$
[/mm]
[mm] $y=\pm\wurzel{x^2+Cx^3}$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
Edit: Fehler berichtigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Mo 27.07.2009 | | Autor: | katjap |
ok, bis zur multiplikation mit [mm] 1/x^{4}
[/mm]
bin ich dabei...
danach integrierst du den linken Teil nach dx aber wie du auf den rechten teil der seite kommst ist mir nicht klar.
ebenso beim zweiten integral. wenn du mir das naeher erklären könntest wäre ich sehr glücklich.
wie du dann auf f(y) und f(x ) kommst ist mir auch nciht klar,
vielleicht formulierst ud die vorgehensweise in worten, dann verstehe ich es wahrscheinlich.
vielen dank auf jeden fall,
katja
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Hallo katjap,
> ok, bis zur multiplikation mit [mm]1/x^{4}[/mm]
> bin ich dabei...
>
> danach integrierst du den linken Teil nach dx aber wie du
> auf den rechten teil der seite kommst ist mir nicht klar.
>
> ebenso beim zweiten integral. wenn du mir das naeher
> erklären könntest wäre ich sehr glücklich.
>
> wie du dann auf f(y) und f(x ) kommst ist mir auch nciht
> klar,
> vielleicht formulierst ud die vorgehensweise in worten,
> dann verstehe ich es wahrscheinlich.
Nun, eine Stammfunktion von [mm]g\left(x,y,\right)[/mm] ist
sicherlich
[mm]\integral_{}^{}{g\left(x,y\right) \ dx}=:G\left(x,y\right)[/mm]
Ebenso ist auch [mm]G\left(x,y\right)+C[/mm] eine Stammfunktion von g,
wobei hier gelten muß, daß C differenziert nach x verschwindet.
Dies ist dann der Fall, wenn C nur von y abhängt.
Daher gilt allgemein:
[mm]\integral_{}^{}{g\left(x,y\right) \ dx}=G\left(x,y\right)+C\left(y\right)[/mm]
>
> vielen dank auf jeden fall,
>
> katja
Gruss
MathePower
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