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| Aufgabe | Gibt es lineare Abbildungen [mm] \mathbb{R}^{4}\rightarrow\mathbb{R}^{3} [/mm] die die folgenden Vektoren [mm] a_{i}\in\mathbb{R}^{4} [/mm] jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm] b_{i}\in\mathbb{R}^{3} [/mm] abbilden?
(a) [mm] a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(1,1,1,0),\,\,\, a_{4}=(1,1,0,1)
b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0),\,\,\, b_{4}=(0,0,7) [/mm] |
Hallo,
wie muss ich bei dieser Aufgabe genau vorgehen?
Über Tipps wäre ich sehr dankbar.
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> Gibt es lineare Abbildungen
> [mm]\mathbb{R}^{4}\rightarrow\mathbb{R}^{3}[/mm] die die folgenden
> Vektoren [mm]a_{i}\in\mathbb{R}^{4}[/mm] jeweils auf die angegebenen
> Vektoren [mm]b_{i}\in\mathbb{R}^{3}[/mm] abbilden?
>
> (a) [mm]a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(1,1,1,0),\,\,\, a_{4}=(1,1,0,1)[/mm]
[mm]b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0),\,\,\, b_{4}=(0,0,7)[/mm]
> wie muss ich bei dieser Aufgabe genau vorgehen ?
nur eine erste Idee (ohne Gewähr, dass sie
wirklich zum Ziel führt):
Die 4 Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] müssen sicher linear
abhängig sein. Die ersten drei davon sind aber
linear unabhängig. Dann kannst du [mm] b_4 [/mm] auf
eindeutige Weise als LK der ersten 3 darstellen:
[mm] b_4=i*b_1+j*b_2+k*b_3
[/mm]
Dann kannst du dir überlegen, was dies für die
Vektoren [mm] a_i [/mm] bedeutet, wenn die Abbildung linear ist.
LG
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> Die 4 Vektoren im [mm]\IR^3[/mm] müssen sicher linear
> abhängig sein. Die ersten drei davon sind aber
> linear unabhängig. Dann kannst du [mm]b_4[/mm] auf
> eindeutige Weise als LK der ersten 3 darstellen:
>
> [mm]b_4=i*b_1+j*b_2+k*b_3[/mm]
>
> Dann kannst du dir überlegen, was dies für die
> Vektoren [mm]a_i[/mm] bedeutet, wenn die Abbildung linear ist.
>
>
> LG
Kann ich auch umgekehrt vorgehen. Also erst einen der Vektoren [mm] a_i [/mm] als Linearkombination der anderen [mm] a_i [/mm] darstellen und dann später mit f( [mm] a_i [/mm] )=[mm] b_i [/mm] argumentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 23.11.2008 | | Autor: | T_sleeper |
> Kann ich auch umgekehrt vorgehen. Also erst einen der
> Vektoren [mm]a_i[/mm] als Linearkombination der anderen [mm]a_i[/mm]
> darstellen und dann später mit f( [mm]a_i[/mm] )=[mm] b_i[/mm]
> argumentieren?
Hab mir das nochmal angeguckt und bin zu dem Ergebnis gekommen, dass die umgekehrte Argumentation nicht geht, da alle [mm] a_i [/mm] lin. unabhängig sind. Oder ist das falsch?
Aber gilt denn f([mm]a_i[/mm])=[mm]b_i[/mm] ist äquivalent zu f([mm]b_i[/mm])=[mm]a_i[/mm]?
ich kenne mich auf diesem Themengebiet nämlich noch nicht so genau aus (wie man ja auch merkt).
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> Kann ich auch umgekehrt vorgehen. Also erst einen der
> Vektoren [mm]a_i[/mm] als Linearkombination der anderen [mm]a_i[/mm]
> darstellen und dann später mit f( [mm]a_i[/mm] )=[mm] b_i[/mm]
> argumentieren?
Wenn es so ginge, wäre es einfacher.
Aber die [mm] a_i [/mm] sind linear unabhängig, keiner lässt
sich durch die anderen 3 darstellen. Zuerst habe
ich gedacht, dass es wohl keine solche lineare
Abbildung gibt, aber nachdem ich mir eine Analogie
im [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] ausgemalt habe, neige ich zur
entgegengesetzten Ansicht. Darum habe ich meine
frühere "Antwort" zur "Mitteilung" zurückgestuft.
Gruß
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Wenn ich das jetzt aber mal mit deinem ersten Vorschlag durchrechne, komme ich zu dem Ergebnis, dass keine lin. Abbildung existiert. Ist das denn nun korrekt?
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> Wenn ich das jetzt aber mal mit deinem ersten Vorschlag
> durchrechne, komme ich zu dem Ergebnis, dass keine lin.
> Abbildung existiert. Ist das denn nun korrekt?
Ich konstatiere: wir sind beide gerade fleissig
am Überlegen.
Und ich denke, ich hab jetzt auch schon die
Antwort, nämlich:
Es gibt eine und nur eine derartige lineare Abbildung !
Warum ?
Nun, die vier Vektoren [mm] a_1, a_2, a_3, a_4 [/mm] sind
linear unabhängig (das ist leicht zu zeigen) und bilden
deshalb eine Basis des Raumes [mm] \IR^4. [/mm] Um eine
lineare Abbildung [mm] f:\IR^4\to\IR^3 [/mm] eindeutig festzulegen,
genügt es, [mm] f(a_i)\in\IR^3 [/mm] für [mm] i\in\{1,2,3,4\} [/mm] vorzugeben.
Dabei ist man im übrigen absolut frei.
Für einen beliebigen Vektor [mm] v\in\IR^4 [/mm] gibt es dann
eine eindeutig bestimmte Darstellung
$\ [mm] v=\summe_{i=1}^{4}t_i*a_i$ [/mm]
und es ist, mit $\ [mm] f(a_i)=b_i$ [/mm] :
$\ [mm] f(v)=f\left(\summe_{i=1}^{4}t_i*a_i\right)=\summe_{i=1}^{4}t_i*f(a_i)=\summe_{i=1}^{4}t_i*b_i$ [/mm]
Schönen Abend noch !
Al-Chw.
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Dankeschön für die Hilfe.
Okay, jetzt habe ich ein weiteres Problem:
also gleiche Aufgabenstellung nur andere vektoren:
[mm] a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(-1,1,0,0)
b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0) [/mm].
Hier ist es ja nun so, dass [mm] a_3=-1a_1+1a_2 [/mm]. Kann ich hier denn so vorgehen, wie erst gedacht. Also dann später so argumentieren, dass f([mm]a_3=-1a_1+1a_2[/mm])=[mm]-1b_1+1b_2=b_3[/mm]?
Habs jetzt noch nicht ausgerechnet. Wollte eben nur wissen, ob der Lösungsweg stimmt.
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> Dankeschön für die Hilfe.
>
> Okay, jetzt habe ich ein weiteres Problem:
>
> also gleiche Aufgabenstellung nur andere vektoren:
> [mm]a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(-1,1,0,0)
b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0) [/mm].
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> Hier ist es ja nun so, dass [mm]a_3=-1a_1+1a_2 [/mm]. Kann ich hier
> denn so vorgehen, wie erst gedacht. Also dann später so
> argumentieren, dass f([mm]a_3=-1a_1+1a_2[/mm])=[mm]-1b_1+1b_2=b_3[/mm]?
Genau. Dies wäre gewissermassen die richtige
Aufgabe für die erste (dort unnütze) Lösungsidee
gewesen 
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Man könnte nun den Spiess umdrehen und fragen:
| Aufgabe | Gibt es lineare Abbildungen [mm] \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{4} [/mm] die die folgenden Vektoren [mm] b_{i}\in\mathbb{R}^{3} [/mm] jeweils auf die angegebenen Vektoren [mm] a_{i}\in\mathbb{R}^{4} [/mm] abbilden?
[mm]b_{1}=(0,1,2),\ \ \quad b_{2}=(1,0,2),\ \ \quad b_{3}=(1,2,0),\ \ \quad b_{4}=(0,0,7) [/mm]
[mm] a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(1,1,1,0),\,\,\, a_{4}=(1,1,0,1)[/mm] |
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Das könnte man natürlich machen. In diesem Fall würde ich sagen, dass eine solche Abbildung nicht existiert (zumindest wenn och mich nicht verrechnet habe). Würdest du zu dem gleichen Ergebnis kommen?
Übrigens habe ich hierfür dann deinen zuerst vorgeschlagenen Lösungsweg benutzt (der sich ja auf diese Aufgabe bezogen hätte).
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> Das könnte man natürlich machen. In diesem Fall würde ich
> sagen, dass eine solche Abbildung nicht existiert
> (zumindest wenn och mich nicht verrechnet habe). Würdest du
> zu dem gleichen Ergebnis kommen?
Richtig.
Man könnte hier auch so argumentieren:
Das Bild [mm] f(\IR^3) [/mm] jeder linearen Abbildung [mm] f:\IR^3\to\IR^4
[/mm]
kann höchstens ein dreidimensionaler Unterraum
von [mm] \IR^4 [/mm] sein. Da hier aber die 4 Vektoren [mm] a_i
[/mm]
linear unabhängig sind, käme man auf einen
Widerspruch.
Gruß al-Chw.
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Gut. Dann habe ich doch noch etwas Hoffnung was meine mathematischen kenntnisse betrifft.
Nochmal kurz zu meinem anderen Beispiel:
[mm]a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(-1,1,0,0)
b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0)[/mm].
Ich komme da auf das Ergebnis, dass keine lineare Abbildung existiert, da f([mm]a_3) \neq b_3[/mm].
Ist das wohl korrekt?
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> Gut. Dann habe ich doch noch etwas Hoffnung was meine
> mathematischen kenntnisse betrifft.
>
> Nochmal kurz zu meinem anderen Beispiel:
> [mm]a_{1}=(1,0,1,1),\,\,\, a_{2}=(0,1,1,1),\,\,\, a_{3}=(-1,1,0,0)
b_{1}=(0,1,2),\,\,\, b_{2}=(1,0,2),\,\,\, b_{3}=(1,2,0)[/mm].
>
> Ich komme da auf das Ergebnis, dass keine lineare Abbildung
> existiert, da f([mm]a_3) \neq b_3[/mm].
> Ist das wohl korrekt?
Ja.
Wichtig ist aber die korrekte Argumentation:
Da [mm] a_3=a_2-a_1 [/mm] und f linear, müsste eigentlich
$\ [mm] f(a_3)=f(a_2-a_1)=f(a_2)-f(a_1)=b_2-b_1=(1,0,2)-(0,1,2)=(1,\red{-1},0)$
[/mm]
sein. Es ist unmöglich, dass gleichzeitig
$\ [mm] f(a_3)=b_3=(1,\blue{2},0)$
[/mm]
ist. Folgerung: eine solche lineare Abbildung f kann
es nicht geben !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mi 26.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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