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| Aufgabe | Berechnen Sie (ohne Taschenrechner):
exp( [mm] \summe_{j=1}^{n-1} [/mm] ln(1+ [mm] \bruch{1}{j}) [/mm] ) |
Guten Morgen zusammen :)
die letzte Aufgabe aus dieser Kategorie.....
Ich versuche mir einen Ansatz zu basteln komme aber nicht weiter...
Zunächst verwirrt mich die Summe (mir ist klar was sie macht) und dann noch das n-1 welches
sonst nirgends auftaucht...
Währe keine Summe da, so würde das Ergebnis lauten
e^(1+ ln [mm] (\bruch{1}{j}))
[/mm]
= 1+ ln [mm] (\bruch{1}{j})
[/mm]
Dann noch ein Gedankengang.. Wächst das j an, so wird das
ln irgendwann nahezu ln(1+0)
und ln(1) = 0.
Gruß,
steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:26 So 03.02.2008 | | Autor: | guenther |
Hallo,
exp und ln heben sich auf,
im Exponenten steht eine Summe,
also gilt für die Basis
= (1+1/1) * (1+1/2) * .... * (1+1/(n-1))
lg, guenther
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0. Keineswegs ist exp(1 + ln(1/j)) = 1 + ln(1/j).
1. Beachte die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion: exp(x+y)=exp(x)*exp(y) .
2. Beachte, dass man Produkte ggf. kürzen kann. Schreibe dazu 1 + 1/j als Bruch mit dem Nenner j.
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Hallo und danke zunächst für Eure Hilfe.
Mathemator:
zu "0. Keineswegs ist exp(1 + ln(1/j)) = 1 + ln(1/j)."
Die Aufgabe ist aber exp(ln(1+1/j)) = 1+1/j 
zu Deinem letzten Tip:
Ich habe es mir mal als [mm] \bruch{j+1}{j} [/mm] aufgeschrieben.
Da das e sich mit dem ln aufhebt bleibt dort stehen
[mm] \summe_{j=1}^{n-1} \bruch{j+1}{j}
[/mm]
komme aber hier nicht weiter.
Krieg ich die Summe irgendwie aufgelöst?
Die ersten Glieder habe ich mir mal aufgeschrieben und auch die Partialsummen ausgerechnet..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 So 03.02.2008 | | Autor: | pelzig |
> [...]
> Da das e sich mit dem ln aufhebt bleibt dort stehen
> [mm]\summe_{j=1}^{n-1} \bruch{j+1}{j}[/mm]
> [...]
Da steht keine Summe, da steht ein Produkt.
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Wieso denn ein Produkt und keine Summe?
Zu Begin hatten wir doch auch eine Summe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 So 03.02.2008 | | Autor: | pelzig |
> Wieso denn ein Produkt und keine Summe?
Es ist [mm] $\exp(\sum_{j=1}^{n-1}\ln(1+\frac{1}{j}))=\prod_{j=1}^{n-1}\exp(\ln(1+\frac{1}{j}))$, [/mm] da [mm] $\exp(x+y)=\exp(x)\cdot\exp(y)$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:51 So 03.02.2008 | | Autor: | Susi19 |
Hey!
Kommt man den so zu einem Ergebnis? Wäre es dann 0, da ein Glied der Kette ln(1)=0 ist...??? Was wäre wenn, man die zuerst umformt in (j+1)/j und dann umrechnet zum e^ln(j+1)-e^ln(j), und in den Grenzen wäre es dann e^ln(n)-e^ln(n-1)???
Lg
Susi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 03.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo Susi,
> Kommt man den so zu einem Ergebnis?
Ja.
> Wäre es dann 0, da ein Glied der Kette ln(1)=0 ist...???
Nein, da kein Glied der Kette 0 wird.
> Was wäre wenn, man die zuerst umformt in (j+1)/j und dann umrechnet zum
> e^ln(j+1)-e^ln(j), und in den Grenzen wäre es dann e^ln(n)-e^ln(n-1)???
Es spielt keine Rolle, an welcher Stelle du [mm] $1+\frac{1}{j}$ [/mm] zu [mm] $\frac{j+1}{j}$ [/mm] umformst.
Am Ende kommt was schönes (natürliches) raus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 So 03.02.2008 | | Autor: | Susi19 |
Danke! es ist fast schon überNatürlich=)
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