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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 So 08.05.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, leute!
ich soll hier eine aufgabe lösen, allerdings ist mir nicht ganz klar, was oder wie ich genau ich das machen soll. ich hoffe, ihr könnt mir bitte weiterhelfen.
Also, ich soll nämlich exp(A) berechnen, wobei A eine Jordanmatrix ist, d.h. doch, dass A folgende Gestalt hat: (A [mm] \in \IC^{n,n})
[/mm]
A = [mm] \pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & & & & & & \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & \lambda }
[/mm]
(in der Diagonalen stehen [mm] \lambda, [/mm] und der Nebendiagonale darüber stehen überall 1)
Ich weiß nun, dass exp(A) = [mm] e^{A} [/mm] wie folgt definiert ist:
[mm] e^{A} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} A^{k}.
[/mm]
Aber was muss ich jetzt genau machen? Soll ich jetzt exp(A) für k=2,3 usw. ausprobieren, und schauen, ob ich irgendeine regelmäßigkeit entdecke und dann daraus eine formel herleiten?
ich weiß hier echt nicht, wie ich anfangen soll. bitte gebt mir einen tipp, wie ich dieses problem hier lösen kann.
Liebe Grüße
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 So 08.05.2005 | | Autor: | Crispy |
Hallo VHN,
> Also, ich soll nämlich exp(A) berechnen, wobei A eine
> Jordanmatrix ist, d.h. doch, dass A folgende Gestalt hat:
> (A [mm]\in \IC^{n,n})[/mm]
> A = [mm]\pmat{ \lambda & 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & & & & & & \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & \lambda }[/mm]
>
> (in der Diagonalen stehen [mm]\lambda,[/mm] und der Nebendiagonale
> darüber stehen überall 1)
>
> Ich weiß nun, dass exp(A) = [mm]e^{A}[/mm] wie folgt definiert ist:
> [mm]e^{A}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k!} A^{k}.[/mm]
>
> Aber was muss ich jetzt genau machen? Soll ich jetzt exp(A)
> für k=2,3 usw. ausprobieren, und schauen, ob ich irgendeine
> regelmäßigkeit entdecke und dann daraus eine formel
> herleiten?
Wenn man nicht weiter weiß, ist das ja mal eine Idee. Man stellt dann recht schnell fest, welche Regelmäßigkeit sich da ergibt.
Vielleicht mal mit n=3 anfangen.
Eine sinnvolle Überlegung ist: Was ergibt A*A, was A*A*A.
Es ist dann ganz einfach.
Gruss, Crispy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 08.05.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, crispy!
Danke für deine antwort.
Zunächst möchte ich aber erst zwei Fehler in meiner vorigen Frage beseitigen. es heißt nämlich: [mm] e^{A} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} A^{k}. [/mm] also mit [mm] \infty [/mm] über dem summenzeichen (und nicht n), und k fängt bei 0 an, und nicht bei 1. sorry! 
ich habe es nun mit einer 3,3-jordan-matrix versucht, und [mm] A^{2} [/mm] sowie
[mm] A^{3} [/mm] berechnet und habe folgendes festgestellt:
[mm] e^{A} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} A^{k}
[/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} \pmat{ \lambda^{k} & k\lambda^{k-1} & k\lambda^{k-2} & ... & k\lambda & 1 \\ 0 & lambda^{k} & k\lambda^{k-1} & ... & ... & k\lambda \\ ... \\ 0 & ... & \lambda^{k}}
[/mm]
So, das habe ich als regelmäßigkeit nun festgestellt. Und nun? Wie berechne ich jetzt konkret exp(A)?
Ich hoffe, du verstehst mein Problem. Danke schön!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mo 09.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Deine Lösung stimmt nicht so ganz.
Ist [mm] $J_m(\lambda)$ [/mm] eine Jordan-Matrix mit $m$-mal [mm] $\lambda$ [/mm] auf der Diagonalen und $1$en auf der unteren Nebendiagonalen, so gilt:
[mm] $\exp(J_m(\lambda)) [/mm] = [mm] e^{\lambda} \cdot \pmat{ \frac{1}{0!} & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \frac{1}{1!} & \frac{1}{0!} & \ddots & \ddots & 0 \\ \frac{1}{2!} & \frac{1}{1!} & \ddots & \ddots& \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \frac{1}{(m-1)!} & \ldots & \frac{1}{2!} & \frac{1}{1!} & \frac{1}{0!}}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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