exponentielle Abnahme < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | An einem kalten Wintertag stellt Steffi einen frisch gekochten Pudding vor das Fenster zum Abkühlen. Sie hat die Temperatur des Puddings mit einem Thermometer zu 82°C bestimmt. Nach 36 Minuten hat sich der Pudding auf 41°C abgekühlt.. ( Gehe von exponentieller Temperaturabnahme aus.)
a) Welche Temperatur hat der Pudding nach einer Stunde vor dem Fenster ?
b) Wie lange muss Steffi warten, bis sich der Pudding auf 14°C abgekühlt hat ?
c) Die Schokoladensoße stellt Steffi 15 Minuten später als den Pudding vors Fenster. Beim Herausstellen hat diese Soße ebenfalls 82°C. Um das Abkühlen der Soße zu beschleunigen rührt Steffi immer wieder um und erreicht, dass die Soße schon nach 30 Minuten auf 41°C abgekühlt ist. Wie lange muss die Soße vor dem Fenster stehen, bis Pudding und Soße dieselbe Temperatur haben ?
|
wie kommt man auf die Wachstumsrate?
also ich hab mal angefangen:
B(t) = B(0) * [mm] a^t
[/mm]
41 = 82 * a^36
0,5 = a^36
log 0,5 / log 36
??
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:07 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Seestern9 |
aber wenn man das dann ausrechnet kommt für B(t) nicht 41 raus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> aber wenn man das dann ausrechnet kommt für B(t) nicht 41
> raus
>
Poste doch bitte mal deine Rechnung, sonst kann ich schlecht sagen wo dein Fehler liegt?
|
|
|
| |
|
0,5 = a^36
[mm] \wurzel[36]{0,5} [/mm] = a
und was muss ich jetzt machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Mi 04.03.2009 | | Autor: | xPae |
Das ist dein a.
[mm] a\approx0,08093 [/mm] , rechne aber in deinem TR mit [mm] \wurzel[36]{0,5}
[/mm]
Wenn du [mm] B(t)=82*0,98093^{36} [/mm] rechnest, erhälst du deine erwünschte 41°C!
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> 0,5 = a^36
> [mm]\wurzel[36]{0,5}[/mm] = a
>
> und was muss ich jetzt machen?
Na jetzt hast du dein Wachstums- bzw. Abnahmegesetz:
[mm] f(t)=82*\left(\wurzel[36]{0,5}\right)^t
[/mm]
Damit kannst du doch jetzt ausrechnen, welche Temperatur beispielsweise nach 60 Minuten vorhanden ist.
Wie gehst du jetzt weiter vor?
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
ich weiß jetzt wo mein fehler war, ich hab die falsche wurzeltaste auf dem taschenrechner genommen.
dann rechne ich
B(t) = 82 * [mm] \wurzel[36]{0.5}^60
[/mm]
= 25,8
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> ich weiß jetzt wo mein fehler war, ich hab die falsche
> wurzeltaste auf dem taschenrechner genommen.
>
> dann rechne ich
> B(t) = 82 * [mm]\wurzel[36]{0.5}^60[/mm]
> = 25,8
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jawoll jetzt hast du es. Wenn noch Probleme beim Rest auftreten dann frag einfach nach!
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 04.03.2009 | | Autor: | xPae |
> ich weiß jetzt wo mein fehler war, ich hab die falsche
> wurzeltaste auf dem taschenrechner genommen.
>
> dann rechne ich
> B(t) = 82 * [mm]\wurzel[36]{0.5}^60[/mm]
> = 25,8
>
Das stimmt.
du musst aber noch berechnen:
[mm] 14=82*(\wurzel[36]{0,5}^{t}
[/mm]
t=...?
Gruß PS: log ... ;)
|
|
|
| |
|
also b) hab ich
aber bei c) komm ich nich weiter
ich hab gerechnet:
41 = 82 * a^30
0,5= a^30
[mm] \wurzel[30]{0,5} [/mm] = a
82 [mm] *\wurzel[36]{0,5} [/mm] ^x = 82 * [mm] \wurzel[30]{0.5} [/mm] ^x
[mm] \wurzel[36]{0,5} [/mm] ^x = [mm] \wurzel[30]{0.5} [/mm] ^x
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
> also b) hab ich
> aber bei c) komm ich nich weiter
> ich hab gerechnet:
> 41 = 82 * a^30
> 0,5= a^30
> [mm]\wurzel[30]{0,5}[/mm] = a
Das ist prima bis hierher!
>
> 82 [mm]*\wurzel[36]{0,5}[/mm] ^x = 82 * [mm]\wurzel[30]{0.5}[/mm] ^x
> [mm]\wurzel[36]{0,5}[/mm] ^x = [mm]\wurzel[30]{0.5}[/mm] ^x
>
Hier solltest du aufpassen dass die Zeit nicht gleich ist...eine Zeit ist um 15 Minuten kürzer:
[mm] \wurzel[36]{0,5}^x [/mm] = [mm] \wurzel[30]{0.5}^{x-15}
[/mm]
Versuch hier mal ob die Umformung
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}x}=0,5^{\bruch{1}{30}x-0,5}
[/mm]
etwas bringt.
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
ich komm dabei auf kein ergebnis, kannst mal vorrechnen was du gemeint hast
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
[mm] \bruch{0,5^{\bruch{1}{36}x}}{0,5^{\bruch{1}{30}x-0,5}}=1
[/mm]
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}x-\bruch{1}{30}x+0,5}=1
[/mm]
Zusammenfassen im Exponenten...
Wenn 1 rauskommen soll muss der Exponent 0 sein....
Klappts so?
Glie
|
|
|
| |
|
nein das versteh ich nicht
wie muss ich denn da weiter rechnen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:20 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
[mm] 0,5^{-\bruch{1}{180}x+0,5}=1
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{180}x+0,5=0
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{180}x=-0,5
[/mm]
x=90
|
|
|
| |
|
danke aber wie kommst du auf die 1/180?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:30 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
rechne doch mal [mm] \bruch{1}{36}-\bruch{1}{30}
[/mm]
|
|
|
| |
|
und die andre hochzahl also -0,5?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
bitte poste nochmal wie weit du in deiner Rechnung kommst und wo genau du nicht weiterkommst....verlier sonst den Überblick
thx
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 04.03.2009 | | Autor: | Seestern9 |
der pudding hat ja wenn die soße rauskommt nur noch 61, 4°C und die Soße noch 82°C
aber wieso muss ich das dann von [mm] \wurzel[36]{0,5} [/mm] auf [mm] 0,5^1/36x [/mm] umwandeln?
und wie kommt man auf [mm] 0,5^1/30x-0,5??
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
also nochmal langsam:
Du wolltest doch die Gleichung:
[mm] 82*\wurzel[36]{0,5}^x=82*\wurzel[30]{0,5}^{x-15}
[/mm]
So jetzt teilen wir durch 82 und dann formen wir die n-ten Wurzeln um
Dir ist hoffentlich bewusst, dass
[mm] \wurzel[n]{a}=a^{\bruch{1}{n}} [/mm] ist
Also bekommen wir:
[mm] \left(0,5^{\bruch{1}{36}}\right)^x=\left(0,5^{\bruch{1}{30}}\right)^{x-15}
[/mm]
Soooo jetzt ein Ausflug in die Potenzregeln: [mm] (a^n)^m=a^{n*m}
[/mm]
Also:
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}*x}=0,5^{\bruch{1}{30}*(x-15)}
[/mm]
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}*x}=0,5^{\bruch{1}{30}*x-0,5}
[/mm]
So jetzt durch die rechte Seite teilen um die Potenzen zusammenfassen zu können:
[mm] \bruch{0,5^{\bruch{1}{36}*x}}{0,5^{\bruch{1}{30}*x-0,5}}=1
[/mm]
So jetzt wieder ein Potenzgesetz: [mm] \bruch{a^n}{a^m}=a^{n-m}
[/mm]
Also:
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}*x-(\bruch{1}{30}x-0,5)}=1
[/mm]
Minus vor der Klammer:
[mm] 0,5^{\bruch{1}{36}*x-\bruch{1}{30}x+0,5}=1
[/mm]
Zusammenfassen:
[mm] 0,5^{-\bruch{1}{180}x+0,5}=1
[/mm]
Logarithmieren:
[mm] \log_{0,5}(0,5^{-\bruch{1}{180}x+0,5})=\log_{0,5}1
[/mm]
Logarithmus von 1 zu beliebiger Basis ist Null!
Also:
[mm] -\bruch{1}{180}x+0,5=0
[/mm]
Rest packst du jetzt ists nur noch nach x auflösen...
Hoffe dir ist das jetzt klar, viel ausführlicher kann ichs nicht 
Gruß Glie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 04.03.2009 | | Autor: | glie |
siehe unten
|
|
|
|
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
