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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Do 24.08.2006 | | Autor: | kelviser |
| Aufgabe | f(x)= 1/x Q(0|0)
Von welchem Punkt P des Graphen hat Q den kleinsten Abstand? |
hallo und guten abend....,
unswar komme ich mit dieser aufgabe gar nicht klar....
habe hier lösungen bzw. lösungsansätze gelesen, habe aber leider tritzdem nicht verstanden
ich weiss zwar, sieht man sehr schnell, dass es der punkt -1, und1 ist, jedoch kann ich dies leider nicht beweisen
würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde.
danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Do 24.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
du bist im [mm] \IR^2 [/mm] somit kannst du die Länge einer Stecke über den Betrag eines Vektors bestimmen.
| [mm] \vektor{a\\b} [/mm] | = [mm] \wurzel{a^2 + b^2 }
[/mm]
[mm] \vektor{a\\b} [/mm] + [mm] \vektor{c\\d} [/mm] = [mm] \vektor{a+c\\b+d}
[/mm]
Jetzt hast du Q = (0,0) und ein Punkt auf dem Graphen von f ist p =(x,f(x)), folglich kannst du den Verbindungsvektor dieser zwei Punkte bilden, dann den Betrag aufstellen. (Achtung: je nach Orientierung entsteht [mm] \pm [/mm] ). Dies ist dann die zu minimieren Zielfunktion für x. Schließlich noch f(x) bestimmen.
Hoffe dir damit ausreichend geholfen zu haben.
Gruß
Ron
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Do 24.08.2006 | | Autor: | kelviser |
hallo,
erstmals danke für deine antwort, aber ehrlich gesagt verstehe ich nur bahnhof.
gebe es hier vielleicht ne rechneng oder so???
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 24.08.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Dein Vekor, dessen Lange ja minimal werden soll, ist ja [mm] \overrightarrow{PQ}.
[/mm]
P hat die Koordinaten (x; f(x)) also (x; [mm] \bruch{1}{x})
[/mm]
Q ist bekannt.
Also [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \vektor{x \\ \bruch{1}{x}}
[/mm]
Die Länge L hiervon berechnest du mit:
L(x) = [mm] \wurzel{x² + (\bruch{1}{x})²}.
[/mm]
Von dieser Funktion suchst du die Minimalstelle.
Also: Einmal mit der Kettenregel ableiten:
L'(x) = [mm] \underbrace{2x - \bruch{2}{x³}}_{innere Abl.} [/mm] * [mm] \underbrace{\bruch{1}{2\wurzel{x²+\bruch{1}{x²}}}}_{aeussere Abl}. [/mm] = [mm] \bruch{x-\bruch{1}{x³}}{\wurzel{x²+\bruch{1}{x²}}}.
[/mm]
Davon musst du jetzt noch die Nullstelle berechnen.
Und denk dran: Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler = 0 ist.
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Fr 25.08.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo. Jetzt mal ganz ohne Vektoren und sowas (verstehe nämlich auch noch nichts davon ;))
Also:
Der Abstand d zwischen O(0|0) und [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] lässt sich ja mit dem Pythagoras berechnen.
[mm] d(x,y)=\wurzel{x²+y²}, [/mm] wobei [mm] y=\bruch{1}{x} [/mm] ist.
[mm] d(x)=\wurzel{x²+(\bruch{1}{x})²}=\wurzel{x²+\bruch{1}{x²}} [/mm] (Zielfunktion)
Der Abstand soll nun extrem (gering) werden.
Dass heißt, dass du die Zielfunktion ableiten musst, danach 0 setzen musst und die x-Werte der Extremstellen errechnen musst (wie bei jeder anderen Extremwertaufgabe).
Wenn dich die Wurzel stört (und das tut sie :P) kannst du die Zielfunktion noch quadrieren und dann erst ableiten und 0 setzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:58 Fr 25.08.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
jetzt ist es deutlich, dass verschiedene Begrifflichkeiten Betrag eines Vektors und Abstand zwischen zwei Punkten identische Rechnenwege nach sich ziehen (vergleiche die Zielfunktionen!).
Sollte noch etwas unklar sein, bitte schreiben.
Ron
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