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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionenschar f: x [mm] \mapsto [/mm] ax³ + 2 - 8a; [mm] a\ge0
[/mm]
1. untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie
2. Zeigen Sie Ohne Berechnung des Integals: [mm] 4*(1-4a)\le \integral_{0}^{2}{f(x) dx} \le4 [/mm] |
Also, mein hauptproblem ist die zweite Aufgabe. Bei der ersten habe ich die Ableitung gebildet, das müsste dann sein f'(x)=3ax²
3ax²=0
ax²=0
füe a> 0 habe ich dann so eine tabelle gemacht, in der ich ein negatives x und ein positives x eingesetzt habe, denn eigentlich müsste ja bei x=0 ein wendepunkt sein. ich hatte dann allerdings als ergebnis raus, dass die funktion monoton fallend ist... was keinen sinn macht, glaube ich, aber ich weiß nicht, wo der fehler liegt.
bei der zweitnen aufgabe habe ich nur die vage idee, dass ich irgendwie beweisen könnte, dass 2*(1-4a) das Minimum der funktion ist und 2 das maximum. damit wäre dann 2* (2*(1-4a)) ein rechteck komplett unter der kurve und logischerweise kleiner als das integral, 2*2 wäre das rechteck über der kurve und müsste größer sein als das gesamtintegral. allerdings, wie gesagt, bei mir kommen irgendwie gar keien extremwerte raus und ich weiß einfach nicht, was ich falsch mache...
achja, und ich hatte noch einmal den einfall, irgendwie die tatsache zu nutzen, dass diese funktion f eine integralfunktion ist, aber weiter als bis zu dieser idee bin ich nicht gekommen...
es wäre echt super, wenn ihr mir irgendwie auf die sprünge helfen könntet!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mi 09.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktionenschar f: x [mm]\mapsto[/mm] ax³ + 2 - 8a;
> [mm]a\ge0[/mm]
> 1. untersuchen Sie die Funktionen auf Monotonie
> 2. Zeigen Sie Ohne Berechnung des Integals: [mm]4*(1-4a)\le \integral_{0}^{2}{f(x) dx} \le4[/mm]
>
> Also, mein hauptproblem ist die zweite Aufgabe. Bei der
> ersten habe ich die Ableitung gebildet, das müsste dann
> sein f'(x)=3ax²
Bis hierher okay. Was sagt dir das jetzt über die Steigung? Wird die unter der Voraussetzung a>0 jemals negativ? Und was kannst du daraus über die Monotonie sagen?
> 3ax²=0
> ax²=0
>
> füe a> 0 habe ich dann so eine tabelle gemacht, in der ich
> ein negatives x und ein positives x eingesetzt habe, denn
> eigentlich müsste ja bei x=0 ein wendepunkt sein.
Es ist, wie du schnell prüfen kannst. f''(x)=6ax
f'''(x)=6
ich hatte
> dann allerdings als ergebnis raus, dass die funktion
> monoton fallend ist... was keinen sinn macht, glaube ich,
> aber ich weiß nicht, wo der fehler liegt.
In der Aussage über f'(x)=3ax² Kann die Ableitung, also die "Steigungsfunktion" negativ werden?
>
> bei der zweitnen aufgabe habe ich nur die vage idee, dass
> ich irgendwie beweisen könnte, dass 2*(1-4a) das Minimum
> der funktion ist und 2 das maximum. damit wäre dann 2*
> (2*(1-4a)) ein rechteck komplett unter der kurve und
> logischerweise kleiner als das integral, 2*2 wäre das
> rechteck über der kurve und müsste größer sein als das
> gesamtintegral. allerdings, wie gesagt, bei mir kommen
> irgendwie gar keien extremwerte raus und ich weiß einfach
> nicht, was ich falsch mache...
>
Warum fixierst du dich so auf die Extremwerte? Die brauchst du hier nicht.
Berechne doch mal die Obersumme, bei einem Rechteck auf der Strecke [0;2]
Dann solltest du einen Wert von 4 erhalten
Wenn du jetzt noch die Untersumme berechnest, solltest du auf einen Flächeninhalt von 4(1-4a) erhalten.
Und da das Integral zwischen Ober und untersumme liegt, gilt diese Formel.
Marius
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ohhhhh ja, da sstand ich wohl ziemlich auf dem schlauch... vielen vielen dank, das hat wirklich weiter geholfen! :)
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