extremstelle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme alle lokalen Extremwerte der Funktion [mm] f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2 [/mm] unter der Nebenbedingung x+y+z=0 |
Hallo, bei dieser Aufgabe bekomme ich zwei verschiedene Ergebnisse, je nachdem welchen Rechenweg ich benutze. Vielleicht findet ihr ja meinen Fehler.
1. Ansatz: Lösen mit Lagrange:
[mm] g(x,y,z,\lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x+y+z)
[/mm]
Jakobimatrix: [mm] (2x+\lambda,2y+\lambda,2z+\lambda,x+y+z)
[/mm]
kritische Stellen: (0,0,0)
Hesse Matrix: [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Eigenwerte:3,2,-1 ... indefinit
2.Ansatz NB nach x auflösen -> x=-y-z einsetzen in f(x,y,z)
[mm] f(y,z)=2z^{2}+2y^{2}+2yz
[/mm]
Jakobi: (4y+2z , 4z+2y)
kritische Stellen: (0,0)
[mm] Hesse:\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 4 }
[/mm]
Eigenwerte von Hesse: 2,6 .. positiv definit
Mein Problem ist also, dass ich für den gleichen kritischen Punkt einmal erhalte, dass er ein Sattelpunkt ist und einmal ein Minimum.
Wisst ihr was ich falsch mache?
Danke und Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Chrizzel17,
> Bestimme alle lokalen Extremwerte der Funktion
> [mm]f(x,y,z):=x^2+y^2+z^2[/mm] unter der Nebenbedingung x+y+z=0
>
> Hallo, bei dieser Aufgabe bekomme ich zwei verschiedene
> Ergebnisse, je nachdem welchen Rechenweg ich benutze.
> Vielleicht findet ihr ja meinen Fehler.
>
> 1. Ansatz: Lösen mit Lagrange:
> [mm]g(x,y,z,\lambda)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda(x+y+z)[/mm]
> Jakobimatrix: [mm](2x+\lambda,2y+\lambda,2z+\lambda,x+y+z)[/mm]
> kritische Stellen: (0,0,0)
> Hesse Matrix: [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Eigenwerte:3,2,-1 ... indefinit
f ist hier nach wie vor eine Funktion von 3 Variablen.
Diese ist auch unter Berücksichtigung
der obigen Nebenbedingung zu untersuchen.
Das heißt ja nicht, daß die Hessematrix der Funktion g zu untersuchen ist.
Würde das so sein, so könnte man nicht entscheiden, um welche Art von Extrema sich handelt, und zwar unabhängig von der Funktion f.
>
> 2.Ansatz NB nach x auflösen -> x=-y-z einsetzen in
> f(x,y,z)
> [mm]f(y,z)=2z^{2}+2y^{2}+2yz[/mm]
> Jakobi: (4y+2z , 4z+2y)
> kritische Stellen: (0,0)
> [mm]Hesse:\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 4 }[/mm]
> Eigenwerte von Hesse: 2,6 ..
> positiv definit
>
> Mein Problem ist also, dass ich für den gleichen
> kritischen Punkt einmal erhalte, dass er ein Sattelpunkt
> ist und einmal ein Minimum.
> Wisst ihr was ich falsch mache?
>
> Danke und Liebe Grüße
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke für deine schnelle Antwort :)
> f ist hier nach wie vor eine Funktion von 3 Variablen.
>
> Diese ist auch unter Berücksichtigung
> der obigen Nebenbedingung zu untersuchen.
>
> Das heißt ja nicht, daß die Hessematrix der Funktion g zu
> untersuchen ist.
>
> Würde das so sein, so könnte man nicht entscheiden, um
> welche Art von Extrema sich handelt, und zwar unabhängig
> von der Funktion f.
Bedeutet das, dass ich zwar die Jakobimatrix von g bilde, die gleich null setze um die kritischen Punkte zu errechen.
Diese kritischen Punkte dann aber in die Hessematrix von f einsetze und diese auf definitheit überprüfen?
|
|
|
| |
|
Hallo Chrizzel17,
> Danke für deine schnelle Antwort :)
>
> > f ist hier nach wie vor eine Funktion von 3 Variablen.
> >
> > Diese ist auch unter Berücksichtigung
> > der obigen Nebenbedingung zu untersuchen.
> >
> > Das heißt ja nicht, daß die Hessematrix der Funktion g zu
> > untersuchen ist.
> >
> > Würde das so sein, so könnte man nicht entscheiden, um
> > welche Art von Extrema sich handelt, und zwar unabhängig
> > von der Funktion f.
>
> Bedeutet das, dass ich zwar die Jakobimatrix von g bilde,
> die gleich null setze um die kritischen Punkte zu errechen.
> Diese kritischen Punkte dann aber in die Hessematrix von f
> einsetze und diese auf definitheit überprüfen?
Es ist richtig, daß Du die Jakobimatrix von g bilden mußt.
Diese kritischen Punkt können nicht einfach in die Hessematrix von f eingesetzt werden.
Vielmehr ist hier eine Bedingung zu finden,
welcher Art das Extrema ist, wenn f unter
der in der Aufgabe gestellten Nebenbedingung betrachtet wird.
In einem Buch habe ich eine Bedingung gefunden, die für eine Funktion
von zwei Variablen unter einer Nebenbedingung gilt.
Wie man auf diese Bedingung kommt, habe ich leider noch nicht verifizieren können.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
..und war das eine aufgabenspezifische oder eine allgemeingültige Bedingung, welche du mir dann schreiben könntest?
Noch eine andere Frage,
wenn ich eine Funktion mit Nebenbedingung habe, ist es immer erlaubt die NB in die Funktion einzusetzen?
Oder geht das nur unter best. Kriterien die zb. f erfüllen muss?
In so einem Fall von zwei unterschiedlichen Ergebnissen sollte ich dann eher dem Ergebnis, erhalten durch einsetzen trauen?!
|
|
|
| |
|
Hallo Chrizzel17,
> ..und war das eine aufgabenspezifische oder eine
> allgemeingültige Bedingung, welche du mir dann schreiben
> könntest?
Die Bedingung lautet für eine Funktion f von zwei Variablen
unter der Nebenbedingung [mm]\varphi\left(x,y\right)=0[/mm]:
[mm]\Delta = \bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x^{2}}*\left( \ \bruch{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}-2*\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial x \partial y}}*\bruch{\partial \varphi}{\partial x}\bruch{\partial \varphi}{\partial y}+\bruch{\partial^{2}\left(f+\lambda*\varphi\right)}{\partial y^{2}}*\left( \ \bruch{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}[/mm]
Wenn [mm]\Delta > 0[/mm], dann handelt es sich um ein Mininum.
Wenn [mm]\Delta < 0[/mm], dann handelt es sich um ein Maxinum.
>
> Noch eine andere Frage,
> wenn ich eine Funktion mit Nebenbedingung habe, ist es
> immer erlaubt die NB in die Funktion einzusetzen?
Das kannst Du immer machen.
> Oder geht das nur unter best. Kriterien die zb. f erfüllen
> muss?
>
> In so einem Fall von zwei unterschiedlichen Ergebnissen
> sollte ich dann eher dem Ergebnis, erhalten durch einsetzen
> trauen?!
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
