extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Di 09.06.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle extremalpunkte und deren typen für a aus [mm] \IR [/mm] für die funktion [mm] f_{a}:\IR^{2} \to \IR [/mm] mit
[mm] f_{a}(x)=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-3ax_{1}x_{2} [/mm] |
hallo,
ich habe schon etwas dran gearbeitet und bin zu folgendem ergebnis gekommen:
der gradient sieht so aus: [mm] \pmat{ 3x_{1}^{2}-3ax_{2} \\ -3 x_{2}^{2}-3ax_{1} }
[/mm]
wenn ich diesen null setze bekomme ich als mögliche extremstellen alle punkte der form [mm] \vektor{-a \\ a} [/mm] heraus.
von diesen punkten kann ich jetzt die hessematrix betrachten und beurteilen ob sie positiv oder negativ definit ist.die hessematrix davon sieht so aus:
[mm] \pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }. [/mm] für die definitheit bestimme ich die eigenwerte über das charakteristische polynom [mm] b^{2}+27a^{2}+12ab
[/mm]
durch nullsetzen erhalte ich die eigenwerte -9a und-3a. daraus folgt dann: für a<0 sind alle eigenwerte positiv,also die matrix positiv definit und es liegt ein minimum vor,für a>0 genau umgekehrt.
(ist das bis hierhin überhaupt richtig?)
mein problem liegt aber bei a=0. kann ich dann keine aussage treffen? wie gehe ich denn nun vor?
danke für hilfe :)
briddi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Di 09.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Bestimmen Sie alle extremalpunkte und deren typen für a aus
> [mm]\IR[/mm] für die funktion [mm]f_{a}:\IR^{2} \to \IR[/mm] mit
>
> [mm]f_{a}(x)=x_{1}^{3}-x_{2}^{3}-3ax_{1}x_{2}[/mm]
> hallo,
> ich habe schon etwas dran gearbeitet und bin zu folgendem
> ergebnis gekommen:
> der gradient sieht so aus: [mm]\pmat{ 3x_{1}^{2}-3ax_{2} \\ -3 x_{2}^{2}-3ax_{1} }[/mm]
>
Richtig.
> wenn ich diesen null setze bekomme ich als mögliche
> extremstellen alle punkte der form [mm]\vektor{-a \\ a}[/mm]
> heraus.
Genauer erhälst Du [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{-a \\ a}[/mm]
> von diesen punkten kann ich jetzt die hessematrix
> betrachten und beurteilen ob sie positiv oder negativ
> definit ist.die hessematrix davon sieht so aus:
> [mm]\pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }.[/mm]
Allgemein erhalten wir
[mm] $H_{f_a}(x_1,x_2)=\pmat{ 6x_1 & -3a \\ -3a & -6x_2 }$
[/mm]
und damit erhalten wir
[mm] $H_{f_a}(0,0)=\pmat{ 0 & -3a \\ -3a & 0 }$
[/mm]
[mm] $H_{f_a}(-a,a)=\pmat{ -6a & -3a \\ -3a & -6a }$
[/mm]
Also Deine Hesse-Matrix stimmt!
> für die definitheit
> bestimme ich die eigenwerte über das charakteristische
> polynom [mm]b^{2}+27a^{2}+12ab[/mm]
Richtig! Also konkret erhalten wir
[mm] $\mathrm{det}\left(H_{f_a}(0,0)-\lambda I\right)=(\lambda-3a)\cdot(\lambda+3a)$
[/mm]
[mm] $\mathrm{det}\left(H_{f_a}(-a,a)-\lambda I\right)=\lambda^2+12a\lambda+27a^2=(\lambda+3a)\cdot(\lambda+9a)$
[/mm]
Damit besitzt die Hessematrix [mm] $H_{f_a}(0,0)$ [/mm] die Eigenwerte [mm] $\lambda=3a$ [/mm] und [mm] $\lambda=-3a$. [/mm] Damit haben wir einen positiven und einen negativen Eigenwert (für [mm] $a\neq [/mm] 0$), d.h. die Hessematrix ist in diesem Fall indefinit. Folglich liegt im Punkt $(0,0)$ ein Sattelpunkt vor, falls [mm] $a\neq [/mm] 0$.
Die Hessematrix [mm] $H_{f_a}(-a,a)$ [/mm] die Eigenwerte [mm] $\lambda=-3a$ [/mm] und [mm] $\lambda=-9a$.
[/mm]
1. Fall: (a<0)
Hier sind die Eigenwerte positiv, also die Hesse-Matrix positiv definit. Daher liegt in $(-a,a)$ ein Minimum vor.
2. Fall: (a>0)
Hier sind die Eigenwerte negativ, also die Hesse-Matrix negativ definit. Daher liegt in $(-a,a)$ ein Maximum vor.
3. Fall: (a=0)
Hier sind die Eigenwerte null. (???)
> durch nullsetzen erhalte ich die eigenwerte -9a und-3a.
> daraus folgt dann: für a<0 sind alle eigenwerte
> positiv,also die matrix positiv definit und es liegt ein
> minimum vor,für a>0 genau umgekehrt.
> (ist das bis hierhin überhaupt richtig?)
Jupp!
> mein problem liegt aber bei a=0. kann ich dann keine
> aussage treffen? wie gehe ich denn nun vor?
Gute Frage. Das kann ich Dir jetzt leider nicht beantworten.
> danke für hilfe :)
>
> briddi
Gruß Denny
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