f/g stetig mit epsilon-delta < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Do 24.01.2013 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | | Die Funktionen f, g: (-1,1) -> [mm] \IR [/mm] seien stetig im Punkt 0 und es gelte [mm] |g(x)|\ge [/mm] C für alle x [mm] \in [/mm] (-1,1). Zeigen Sie mit der epsilon-delta-Charakterisierung der Stetigkeit, dass f/g stetig in 0 ist. |
Ich weiß hier einfach nicht, wie ich ohne eine Funktion gegeben zu haben (bzw. hier sogar zwei) den Term [mm] |\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] - [mm] \bruch{f(0)}{g(0)}| [/mm] so umformen kann damit ich, wie eigentlich immer bei diesem Kriterium nur noch |x-0| stehen hab, damit ich auf was schließen kann.
Nun habe ich mich im Internet erkundigt und einen schönen Beweis für f+g stetig gefunden..hier kann man geschickt mit der dreiecksungleichung umformen und dann passt es auch. Sicher gibt es hier auch so einen schönen Trick den jemand von euch parat hat :) Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!!
Grüße Tmili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 24.01.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin Tmili,
was ist $C$ ?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Do 24.01.2013 | | Autor: | tmili |
Sorry dass steht leider auch nicht in der Aufgabe^^ aber ich nehme an, dass C einfach eine Konstante aus [mm] \IR [/mm] ist. Denke, dass soll einfach bedeuten, dass g(x) nicht Null wird und somit dadurch geteilt werden darf :)
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Do 24.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktionen f, g: (-1,1) -> [mm]\IR[/mm] seien stetig im Punkt 0
> und es gelte [mm]|g(x)|\ge[/mm] C für alle x [mm]\in[/mm] (-1,1).
da soll sicher stehen "mit einem $C > [mm] 0\,,$".
[/mm]
> Zeigen Sie
> mit der epsilon-delta-Charakterisierung der Stetigkeit,
> dass f/g stetig in 0 ist.
> Ich weiß hier einfach nicht, wie ich ohne eine Funktion
> gegeben zu haben (bzw. hier sogar zwei) den Term
> [mm]|\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] - [mm]\bruch{f(0)}{g(0)}|[/mm] so umformen kann
> damit ich, wie eigentlich immer bei diesem Kriterium nur
> noch |x-0| stehen hab, damit ich auf was schließen kann.
> Nun habe ich mich im Internet erkundigt und einen schönen
> Beweis für f+g stetig gefunden..hier kann man geschickt
> mit der dreiecksungleichung umformen und dann passt es
> auch. Sicher gibt es hier auch so einen schönen Trick den
> jemand von euch parat hat :) Ich würde mich sehr über
> eure Hilfe freuen!!
Für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$ gilt
[mm] $$\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{f(x)*g(0)-g(x)*f(0)}{g(0)*g(x)}=\frac{g(0)*(f(x)\red{\;-\;f(0)})\red{\;+\;g(0)*f(0)}-f(0)*(g(x)\blue{\;-\;g(0)})\blue{\;-\;f(0)*g(0)}}{g(0)*g(x)}\,.$$
[/mm]
Dabei siehst Du, dass [mm] $\red{g(0)*f(0)}\blue{\;-\;g(0)*f(0)}=0$ [/mm] gilt, also
haben wir für alle $x [mm] \in [/mm] (-1,1)$:
[mm] $$\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{f(x)*g(0)-g(x)*f(0)}{g(0)*g(x)}=\frac{g(0)*(f(x)-f(0))-f(0)*(g(x)-g(0))}{g(0)*g(x)}\,.$$
[/mm]
Wenn Du den Betrag bildest, kannst Du einfach die Dreiecksungleichung
anwenden, und der Nenner wird dann (betragsmäßig!) sicher [mm] $\ge C^2$
[/mm]
sein.
Probier's mal, wenn's hapert, frage nach!
P.S. Man könnte den Beweis auch führen, wenn man nur [mm] $f,g\,$ [/mm] stetig in
[mm] $0\,$ [/mm] hat und $|g(0)| > [mm] 0\,.$ [/mm] Denn wegen der Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] in der
Stelle [mm] $0\,$ [/mm] gibt es eine Umgebung der Null, in der [mm] $|g|\,$ [/mm] sicher [mm] $\ge [/mm] |g(0)|/2$
bleibt. Aber das kommt sicher später mal dran.
P.P.S. Oben mussst Du, nachdem Du die Dreiecksungleichung angewendet
und [mm] $|\tfrac{f(x)}{g(x)}-\tfrac{f(0)}{g(0)}|$ [/mm] nach oben abgeschätzt hast, natürlich auch noch beachten:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $g\,$ [/mm]
an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] ein [mm] $\delta_1 [/mm] > 0$ bzw. [mm] $\delta_2 [/mm] > 0$ so, dass
a) Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0| < [mm] \delta_1$ [/mm] folgt $|f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
und
b) Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0| < [mm] \delta_2$ [/mm] folgt $|g(x)-g(0)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
gelten.
Insbesondere folgt daraus auch, dass Du zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein "gemeinsames"
[mm] $\delta [/mm] > 0$ findest, so dass für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0| < [mm] \delta$ [/mm] sowohl
[mm] $\alpha$) [/mm] Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0| < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|f(x)-f(0)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
als auch
[mm] $\beta$) [/mm] Für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x-0| < [mm] \delta$ [/mm] folgt $|g(x)-g(0)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
gelten. (Dazu: [mm] $\delta:=\min\{\delta_1,\;\delta_2\} [/mm] > [mm] 0\,;$ [/mm] wenn man "lustig" ist, kann man auch
[mm] $\min\{\delta_1,\;\delta_2\}=\tfrac{\delta_1+\delta_2}{2}-\tfrac{|\delta_2-\delta_1|}{2}$ [/mm] da hinschreiben...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Do 24.01.2013 | | Autor: | tmili |
vielen dank für die schnelle und ausführliche lösung :) ich habe alles auf anhieb nachvollzogen *juhu*
nun stellte sich mir am ende nur die frage wie ich die dreiecksungleichung anwenden soll..erst mal betrag zähler und betrag nenner und dann vllt die umgekehrte dreiecksungleichung im zähler? wir hatten die nie in der vorlesung deshalb bin ich da etwas vorsichtig..habe mal danach gegoogelt und es wäre dann ||x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y|
Wäre das der richtige Ansatz oder verhau ich mich da mit der gleichung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Do 24.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank für die schnelle und ausführliche lösung :)
> ich habe alles auf anhieb nachvollzogen *juhu*
> nun stellte sich mir am ende nur die frage wie ich die
> dreiecksungleichung anwenden soll..erst mal betrag zähler
> und betrag nenner und dann vllt die umgekehrte
> dreiecksungleichung im zähler? wir hatten die nie in der
> vorlesung deshalb bin ich da etwas vorsichtig..habe mal
> danach gegoogelt und es wäre dann ||x|-|y|| [mm]\le[/mm] |x-y|
> Wäre das der richtige Ansatz oder verhau ich mich da mit
> der gleichung?
Du beachtest bitte [mm] $\left|\tfrac{z}{n}\right|=\tfrac{|z|}{|n|}\,,$ [/mm] und dann brauchst Du
nur die normale Dreiecksungleichung, die wendest Du im Zähler an und
beachtest bitte auch [mm] $|r*s|=|r|*|s|\,.$ [/mm]
Danach beachtest Du bitte:
Sind [mm] $z\,$ [/mm] und [mm] $n_1$ [/mm] und [mm] $n_2$ [/mm] alles echt positive Zahlen und gilt [mm] $n_2 \ge n_1\;\;\;(> 0)\,,$
[/mm]
so folgt
[mm] $$\frac{z}{n_2} \le \frac{z}{n_1}\,.$$
[/mm]
Denn Dein Nenner $g(0)*g(x)$ erfüllt $|g(0)*g(x)|=|g(0)|*|g(x)| [mm] \ge C*C={C}^2$ [/mm] nach Voraussetzung.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
ich hab jetzt den mega wirrwarr dastehen, daher denke ich dass ich immer noch irgendein denkfehler hab..
gerade eben überlegte ich mir dann nämlich auf was ich hinaus wollte und bei der rechnung mit f+g im internet hatten die dann am ende stehen: |f(x)-f(0)|+|g(x)-g(0)| und daher war das ganze dann nach der epsilon-halbe-methode kleiner epsilon und alles war gerettet..sowas schönes sollte wahrscheilich bei mir im zähler auch stehen oder?
ich habe da jetzt : |g(0)| |f(x)| + |g(0)| |f(0)| + |f(0)| |g(x)| + |f(0)| |g(0)|
wenn du den fehler siehst wäre ich dir sehr dankbar ihn mir aufzuzeigen...liebe grüße und gute nacht :)
tmili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hab jetzt den mega wirrwarr dastehen, daher denke ich
> dass ich immer noch irgendein denkfehler hab..
> gerade eben überlegte ich mir dann nämlich auf was ich
> hinaus wollte und bei der rechnung mit f+g im internet
> hatten die dann am ende stehen: |f(x)-f(0)|+|g(x)-g(0)| und
> daher war das ganze dann nach der epsilon-halbe-methode
> kleiner epsilon und alles war gerettet..sowas schönes
> sollte wahrscheilich bei mir im zähler auch stehen oder?
> ich habe da jetzt : |g(0)| |f(x)| + |g(0)| |f(0)| + |f(0)|
> |g(x)| + |f(0)| |g(0)|
> wenn du den fehler siehst wäre ich dir sehr dankbar ihn
> mir aufzuzeigen...liebe grüße und gute nacht :)
ich glaube, Du hast den Zähler zu grob abgeschätzt. Ich zeig' Dir mal,
wo Du hin sollst, und versuch' halt mal, die Zwischenschritte einzufügen,
um mir zu bestätigen, dass Du den Weg dorthin gefunden hast:
Für alle $x [mm] \in (-1,1)\,$ [/mm] gilt
[mm] $$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(0)}{g(0)}\right| \le \frac{|g(0)|*|f(x)-f(0)|+|f(0)|*|g(x)-g(0)|}{C^2}\,.$$
[/mm]
Du hattest vermutlich noch sowas wie $|f(x)-f(0)| [mm] \le [/mm] |f(x)|+|-f(0)|=|f(x)|+|f(0)|$
benutzt - das ist ein wenig "zu viel des Guten".
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Fr 25.01.2013 | | Autor: | luis52 |
@ Marcel: ![[klatsch]](/images/smileys/klatsch.gif "[klatsch]")
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
du kannst wohl gedanken lesen :D genau das habe ich noch benutzt und dann im prinzip einfach zwei schritte zu viel "gerechnet"...dann war alles viel zu klein und ich hab einfach nicht mehr zurückgeschaut^^
jetzt hab ich die beiden beträge ja da stehen die ich wollte, jetzt muss ich mir die beiden mit Hilfe des epsilon-delta-kriteriums noch so definieren, damit das ganze kleiner epsilon ist...liege ich da richtig?
ich würde so vorgehen:
[mm] \forall [/mm] |x-0|=|x|< [mm] \delta_{f}: [/mm] |f(x)-f(0)|< [mm] \varepsilon*1/(2|g(0)|)
[/mm]
[mm] \forall [/mm] |x-0|=|x|< [mm] \delta_{g}: [/mm] |g(x)-g(0)|< [mm] \varepsilon*1/(2|f(0)|)
[/mm]
und
[mm] \delta:=min\{\delta_{f}, \delta_{g}\}
[/mm]
dann kommt raus, dass der bruch kleiner als [mm] \varepsilon*1/C^{2} [/mm] und das kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] :)
passt das? ich darf ja schon, dass g(0) und f(0) mit in das kriterium bringen oder? das geht ja nur nicht bei der gleichmäßigen stetigkeit...sehe ich das richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
oh ein kleiner denkfehler ist auf jeden fall [mm] dabei..C^{2} [/mm] muss ja nur größer Null sein und wenn es zwischen Null und Eins liegt dann ist [mm] \varepsilon*1/C^{2} [/mm] ja nicht kleiner [mm] \varepsilon...vllt [/mm] sollte man das C dann auch noch in die Stetigkeitsdefinition von f bzw. g reinnehmen...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> oh ein kleiner denkfehler ist auf jeden fall [mm]dabei..C^{2}[/mm]
> muss ja nur größer Null sein und wenn es zwischen Null
> und Eins liegt dann ist [mm]\varepsilon*1/C^{2}[/mm] ja nicht
> kleiner [mm]\varepsilon...vllt[/mm] sollte man das C dann auch noch
> in die Stetigkeitsdefinition von f bzw. g reinnehmen...?
ja, solltest Du (jedenfalls für den Fall $0 < C < [mm] 1\,.$). [/mm] Ich schreib' Dir mal gleich, was wir
da machen können.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> du kannst wohl gedanken lesen :D genau das habe ich noch
> benutzt und dann im prinzip einfach zwei schritte zu viel
> "gerechnet"...dann war alles viel zu klein und ich hab
> einfach nicht mehr zurückgeschaut^^
> jetzt hab ich die beiden beträge ja da stehen die ich
> wollte, jetzt muss ich mir die beiden mit Hilfe des
> epsilon-delta-kriteriums noch so definieren, damit das
> ganze kleiner epsilon ist...liege ich da richtig?
> ich würde so vorgehen:
> [mm]\forall[/mm] |x-0|=|x|< [mm]\delta_{f}:[/mm] |f(x)-f(0)|<
> [mm]\varepsilon*1/(2|g(0)|)[/mm]
> [mm]\forall[/mm] |x-0|=|x|< [mm]\delta_{g}:[/mm] |g(x)-g(0)|<
> [mm]\varepsilon*1/(2|f(0)|)[/mm]
> und
> [mm]\delta:=min\{\delta_{f}, \delta_{g}\}[/mm]
> dann kommt raus,
> dass der bruch kleiner als [mm]\varepsilon*1/C^{2}[/mm] und das
> kleiner als [mm]\varepsilon[/mm] :)
> passt das? ich darf ja schon, dass g(0) und f(0) mit in
> das kriterium bringen oder? das geht ja nur nicht bei der
> gleichmäßigen stetigkeit...sehe ich das richtig?
ich denke mal, dass Du das mit dem [mm] $f(0)\,$ [/mm] und [mm] $g(0)\,$ [/mm] schon richtig meinst,
es nur etwas 'grob' ausdrückst.
Machen wir es nun so: Du hast ja mittlerweile eingesehen, dass
[mm] $$\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(0)}{g(0)}\right| \le \frac{|g(0)|\cdot{}|f(x)-f(0)|+|f(0)|\cdot{}|g(x)-g(0)|}{C^2}$$
[/mm]
für alle $x [mm] \in (-1,\,1)$ [/mm] gilt.
Nun kann man das natürlich auch schreiben als (für alle $x [mm] \in (-1,\,1)$):
[/mm]
[mm] $$\displaystyle\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(0)}{g(0)}\right| \le \underbrace{\frac{|g(0)|\cdot{}|f(x)-f(0)|}{C^2}}_{\textstyle{=:s_f}}+\underbrace{\frac{|f(0)|\cdot{}|g(x)-g(0)|}{C^2}}_{\textstyle{=:s_g}}\,.$$
[/mm]
(Das wirst Du sicher eh schon gemacht haben, aber ich schreibe es in
ergänzender Weise dazu!)
Eigentlich muss man dann nur noch - für genügend kleine [mm] $|x-0|\,$ [/mm] - hier [mm] $s_f+s_g \le \epsilon$ [/mm]
haben - wobei, je nach Eurer Definition, auch in äquivalenter Weise zu
Eurer Definition dort vielleicht $< [mm] \epsilon\,$ [/mm] stehen sollte.
In den meisten Beweisen würde hier [mm] $s_f=s_g$ [/mm] gefordert werden, aber
prinzipiell muss das gar nicht sein: Ich könnte auch [mm] $s_f=\epsilon/3004$ [/mm] und [mm] $s_g=1/3\epsilon$
[/mm]
mit der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] bzw. von [mm] $g\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] erhalten:
Wichtig ist eher: $0 < [mm] s_f$ [/mm] und $0 < [mm] s_g$ [/mm] und [mm] $s_f+s_g \le \epsilon\,.$
[/mm]
(Nebenbei erwähnt: [mm] $s_f=0\,$ [/mm] oder [mm] $s_g=0$ [/mm] würde man rein aus den
gegebenen Voraussetzungen "nicht erfüllen können"). Aber ich denke,
dass Du das nun hinbekommst. Deine Lösung war ja für den Fall $C [mm] \ge [/mm] 1$ schon
richtig. Für den Fall $0 < C < [mm] 1\,$ [/mm] schreibst Du's halt nochmal hin, und
wirst sehen, dass Du das dann auch eh für alle $C > [mm] 0\,$ [/mm] entsprechend
hinschreiben kannst, so dass diese Fallunterscheidung für [mm] $C\,$ [/mm] unnötig
ist - deshalb wirst Du sie Dir sparen, und einfach das [mm] $C\,$ [/mm] bzw. [mm] $C^2$
[/mm]
"mitverarbeiten".
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Fr 25.01.2013 | | Autor: | tmili |
Vielen Dank für deine Hilfe :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:42 Sa 26.01.2013 | | Autor: | Marcel |
> Vielen Dank für deine Hilfe :)
Gern geschehen! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Fr 25.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> du kannst wohl gedanken lesen :D genau das habe ich noch
> benutzt und dann im prinzip einfach zwei schritte zu viel
> "gerechnet"...
das ist weniger Gedankenlesen als: "Auch ich habe schonmal sowas falsch
gemacht." Das ist die Tücke in der Analysis: Man schätzt ständig ab und muss
oft einfach gucken, ob man nicht irgendwann einfach "zu grob geschätzt" hat.
Gruß,
Marcel
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