f kein Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | f: R^(2x2) -> R^(2x3)
A->f(A)=AX |
Um zu zeigen, dass f kein Isomorphismus ist, habe ic hargumentiert:
Isomorphismus ist bijektive Abb.
D. h. f muss surjektiv sein.
Eine surjektive Abb. ist invertierbar
Matrix ist genau dann invertiertbar, wenn sie quadratisch ist.
R^(2x3) beinhaltet keine quadrat. Matrix => kein Isomorphismus.
Jetzt glaube ich, dass das falsch war (?):
Es geht ja um die Matrix A, die quadratisch sein soll, oder?
Diese ist jedenfalls quadratisch, sodass mein Argument keines ist.
Daher muss ich im konkreten (nicht genannten) Fall ein Gegenbeispiel bringen, um die Surjetivität zu widerlegen.
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Hallo,
es folgt doch schon aus Dimensionsbetrachtung, dass deine Räume nicht isomorph sind und somit $ f $ kein Isomorphismus sein kann.
Ansonsten ist Einiges wirr: Surjektive Abbildungen sind nicht invertierbar. $ f $ ist keine Matrix. Quadratische Matrizen sind i.A. nicht invertierbar. Da du bei alledem das Gegenteilige als wahr anzunehmen scheinst, kann ich dem ganzen Rest nicht folgen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> A->f(A)=AX
was ist dabei [mm] $X\,$? [/mm] Und schreibe doch bitte Funktionen so, bspw.
$g [mm] \colon \IR \to [-1,\infty[$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto [/mm] g(x):=...$
> Um zu zeigen, dass f kein Isomorphismus ist, habe ic
> hargumentiert:
>
> Isomorphismus ist bijektive Abb.
Es geht also um die Frage, ob [mm] $f\,$ [/mm] eine Bijektion ist. Mir ist noch nicht klar,
ob das obige so stimmt, wie es da steht:
Für festes $X [mm] \in \IR^{2 \times 3}$ [/mm] sei
$f [mm] \colon \IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 3}$
[/mm]
definiert durch
$A [mm] \mapsto f(A):=A*X\,.$
[/mm]
D.h. eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix wird zu einer $2 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix umgerechnet vermöge [mm] $f\,$?
[/mm]
> D. h. f muss surjektiv sein.
>
> Eine surjektive Abb. ist invertierbar
Nö, wenn sie nicht auch injektiv ist, ist sie nicht invertierbar. *Normalerweise*
(oder jedenfalls *sehr oft*) sind invertierbare Abbildungen genau die
bijektiven! Es gibt da allerdings eine kleine Uneinigkeit, manche Autoren/Dozenten
nennen eine Abbildung invertierbar, wenn sie nur schon injektiv ist...
Wobei es auch sein kann, dass ich mich da gerade täusche, und diese
Uneinigkeit eigentlich nur beim Begriff der *Umkehrabbildung* vorherrscht.
Das darf jemand Wissenderes gerne berichtigend kommentieren, falls
nötig. 
> Matrix ist genau dann invertiertbar, wenn sie quadratisch
> ist.
Ernsthaft? Invertiere mir dann bitte mal
[mm] $\pmat{1 & 1 \\ 2 & 2}$
[/mm]
oder gar
[mm] $\pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0}$.
[/mm]
Das sind beides quadratische Matrizen.
> R^(2x3) beinhaltet keine quadrat. Matrix => kein
> Isomorphismus.
>
> Jetzt glaube ich, dass das falsch war (?):
> Es geht ja um die Matrix A, die quadratisch sein soll,
> oder?
>
> Diese ist jedenfalls quadratisch, sodass mein Argument
> keines ist.
>
> Daher muss ich im konkreten (nicht genannten) Fall ein
> Gegenbeispiel bringen, um die Surjetivität zu widerlegen.
Wir sollten erstmal klären, wie die eigentliche Aufgabe lautet. Einen
Isomorphismus [mm] $\IR^{m \times n}$ [/mm] nach [mm] $\IR^{p \times q}$ [/mm] gibt es, sofern wir
diese Räume etwa der Einfachheit wegen als die *üblichen* [mm] $\IR$-VRe [/mm] auffassen,
dann und nur dann, wenn [mm] $m*n=p*q\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
Hallo
>
> > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > A->f(A)=AX
>
> D.h. eine [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix wird zu einer [mm]2 \times 3[/mm]-Matrix
> umgerechnet vermöge [mm]f\,[/mm]?
so ists gemeint
> Wir sollten erstmal klären, wie die eigentliche Aufgabe
> lautet.
Brauchts nicht.
Ich habe jetzt einfach eine (2x3)-Matrix erstellt, die nicht durch AX darstellbar ist, wodurch die Surjektivität und somit auch der Isomorphismus widerlegt sein sollte.
> Gruß,
> Marcel
Danke+Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
>
> Hallo
>
> >
> > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > A->f(A)=AX
> >
>
> > D.h. eine [mm]2 \times 2[/mm]-Matrix wird zu einer [mm]2 \times 3[/mm]-Matrix
> > umgerechnet vermöge [mm]f\,[/mm]?
>
> so ists gemeint
>
>
> > Wir sollten erstmal klären, wie die eigentliche Aufgabe
> > lautet.
>
> Brauchts nicht.
> Ich habe jetzt einfach eine (2x3)-Matrix erstellt, die
> nicht durch AX darstellbar ist, wodurch die Surjektivität
> und somit auch der Isomorphismus widerlegt sein sollte.
>
war denn $X [mm] \in \IR^{2 \times 3}$ [/mm] bei Dir konkret gegeben?
Gruß,
Marcel
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ja, es ist gegeben.
sry, ich dachte, man könne das allgemein abhandeln. Da A aus der gegebenen Menge stammt und die Dimension des Zielraumes auch klar ist, ist auch die Dimension von X klar.
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OT:
Zu deiner Signartur:
"Es ist besser, ein kleines Licht anzuzünden, als über die Dunkelheit zu fluchen. [Konfuzius]"
Das ist ja fast wie frei nach Dings:
"Es ist besser, sich mit dem Ferrari schnell in der eigenen Kuchenfabrik eine Kiste voll Kuchen zu holen, als über den Mangel an Brot zu fluchen."
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja, es ist gegeben.
> sry, ich dachte, man könne das allgemein abhandeln. Da A
> aus der gegebenen Menge stammt und die Dimension des
> Zielraumes auch klar ist, ist auch die Dimension von X
> klar.
ja, man kann auch allgemein sagen, dass es kein $X [mm] \in \IR^{2 \times 3}$ [/mm] so gibt,
dass [mm] $f=f_X(A):=AX$ [/mm] als Abbildung [mm] $\IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 3}$ [/mm] bijektiv
ist.
Nur das "Angeben" eines Elementes des Zielraums, was nicht erfasst wird,
ist dann *eher theoretischer Natur*. Schau' mal in die eine Mitteilung von
mir, wo auch drinsteht, dass injektive lineare Abbildungen linear unabhg.
Vektoren (bspw. Basisvektoren) auf linear unabhängige Vektoren abbilden.
Anders gesagt: "Die Injektivität *erhält* bei linearen Abbildungen die Eigenschaft
der linearen UNabhängigkeit!"
> ___
>
> OT:
> Zu deiner Signartur:
> "Es ist besser, ein kleines Licht anzuzünden, als über
> die Dunkelheit zu fluchen. [Konfuzius]"
>
> Das ist ja fast wie frei nach Dings:
> "Es ist besser, sich mit dem Ferrari schnell in der
> eigenen Kuchenfabrik eine Kiste voll Kuchen zu holen, als
> über den Mangel an Brot zu fluchen."
Meine Signaturen permutieren (automatisch).
Aber das Zitat frei nach Dings gefällt mir.
Gruß,
Marcel
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Unter vielen falschen Annahmen wollte ich eigentlich nur zeigen, dass f nicht surjektiv ist und damit kein Isomorphismus sein kann.
Der Weg dorthin scheinte meinerseits etwas "irreal" zu sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Unter vielen falschen Annahmen wollte ich eigentlich nur
> zeigen, dass f nicht surjektiv ist und damit kein
> Isomorphismus sein kann.
>
> Der Weg dorthin scheinte meinerseits etwas "irreal" zu
> sein.
ich gehe jetzt mal davon aus, dass wirklich
[mm] $\IR^{2 \times 2} \ni [/mm] A [mm] \mapsto [/mm] f(A):=A*X [mm] \in \IR^{2 \times 3}$
[/mm]
für eine $2 [mm] \times [/mm] 3$-Matrix [mm] $X\,$ [/mm] mit reellen Einträgen gemeint war.
Diese Abbildung ist eine lineare Abbildung (nachrechnen!). "Das Bild von [mm] $f\,$
[/mm]
ist maximal", wenn [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist. Wenn wir zeigen, dass "das maximale
Bild" schon nicht [mm] $\IR^{2 \times 3}$ [/mm] *überdeckt*, dann kann [mm] $f\,$ [/mm] niemals auch
surjektiv sein.
Wenn [mm] $f\,$ [/mm] injektiv ist, werden durch lineare Abbildungen Basisvektoren auf
Basisvektoren abgebildet. (Bekannt? Willst Du das beweisen?)
Edit: Linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige
Vektoren abgebildet, also Basisvektoren auf linear unabhängige Vektoren.
Nimm' eine Basis
[mm] $V_1,...,V_4 \in \IR^{2 \times 2}$
[/mm]
her und zeige dann:
[mm] $\IR^{2 \times 3} \setminus \text{linspan}\{f(V_1),...,f(V_4)\} \not=\varnothing,$
[/mm]
anders gesagt
[mm] $\IR^{2 \times 3} \setminus \text{linspan}\{V_1X,...,V_4X\} \not=\varnothing,.$
[/mm]
Das bedeutet dann: Selbst, wenn [mm] $f\,$ [/mm] injektiv wäre (was man eh auch annehmen
kann, da man ja eigentlich am liebsten hätte, dass [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv ist), ist [mm] $f\,$ [/mm] auf
keinen Fall surjektiv!
Anmerkung: Auf den Kommentar von UniversellesObjekt hin möchte ich dann
vielleicht doch mal ergänzen, dass oben die Annahme, dass $f [mm] \colon \IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 3}$
[/mm]
injektiv sei, natürlich der Bedingung unterliegt, dass es überhaupt eine
solche Injektion gibt.
Nebenbei: Das trifft man aber in vielen Beweisen so an. Wenn irgendwo
steht "Sei $... [mm] \in [/mm] M$", dann sollte [mm] $M\,$ [/mm] nicht leer sein.
Manchmal steht das auch versteckt irgendwo, was weiß ich:
Um die Isomorphie von [mm] $\IR^{m \times n}$ [/mm] mit [mm] $\IR^{p \times q}$ [/mm] im Falle [mm] $m*n=p*q\,$
[/mm]
einzusehen, nehmen wir eine Basis des [mm] $\IR^{m \times n}$ [/mm] (und ...) her...
Wenn es keine gäbe, könnte ich keine hernehmen.
Gruß,
Marcel
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Bist du dir sicher, dass hier kein Trugschluss vorliegt? Man könnte dann doch auch so argumentieren: Behauptung: Es gibt keinen surjektiven Homomorphismus [mm] $\IR\longrightarrow [/mm] 0$. Beweis: Das Bild ist maximal, wenn so ein Homomorphismus injektiv ist. Sei also $ [mm] \IR\xrightarrow [/mm] {\ \ f\ \ } 0$ injektiv. Da aus Falschem beliebiges folgt, ist $ f $ nicht surjektiv. Q.e.d.
Kann aber auch sein, dass ich hier Quatsch von mir gebe, habe hohes Fieber und bin gerade nur kurz aufgewacht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bist du dir sicher, dass hier kein Trugschluss vorliegt?
> Man könnte dann doch auch so argumentieren: Behauptung: Es
> gibt keinen surjektiven Homomorphismus [mm]\IR\longrightarrow 0[/mm].
> Beweis: Das Bild ist maximal, wenn so ein Homomorphismus
> injektiv ist. Sei also [mm]\IR\xrightarrow {\ \ f\ \ } 0[/mm]
> injektiv. Da aus Falschem beliebiges folgt, ist [mm]f[/mm] nicht
> surjektiv. Q.e.d.
dann nenne mir mal einen injektiven Homomorphismus [mm] $\IR \to \{0\}\,.$ [/mm] Um
aus einer Aussage [mm] $A\,$ [/mm] die Wahrheit einer Aussage [mm] $B\,$ [/mm] herzuleiten, bedarf
es ja neben des Beweises der Gültigkeit von
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
auch, dass die Aussage [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist.
Ich glaube, ich sollte
diesen Artikel
mal druckreif aufbearbeiten.
(Du brauchst ihn aber nur in Fieberzuständen, und das Fieber ist wohl
wirklich sehr hoch ^^. )
> Kann aber auch sein, dass ich hier Quatsch von mir gebe,
> habe hohes Fieber und bin gerade nur kurz aufgewacht.
Mit solch' einer Argumentation könntest Du alles beweisen. Das Schönste
wäre, dass ich nie wieder Geldprobleme hätte.
Denn: Du gibst mir [mm] $100\,000$ [/mm] Eurönschen. Ich gebe Dir wegen [mm] $1=100\,000$ [/mm] dann
einen zurück. Du wirst sagen: "Hey, Du schuldest mir noch..."
Ich sage: "Nichts!"
Beweis: Da die Folgerung
[mm] $1=7\,$ $\Rightarrow$ $1=100\,000$
[/mm]
wahr ist, habe ich Dir [mm] $1\,,$ [/mm] also [mm] $100\,000$ [/mm] Eurönschen zurückgegeben.
Gute Besserung auf jeden Fall!!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 So 21.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
zu dem Hinweis von UniversellesObjekt:
Gib' uns bitte mal eine Basis von
[mm] $\IR^{m \times n}$
[/mm]
an ($m,n [mm] \in \IN$).
[/mm]
Tipp: Die Idee ist eigentlich die gleiche, wie die Idee der Angabe einer Basis
des [mm] $\IR^{n}=\IR^{n \times 1}\,:$
[/mm]
Man nehme "den Nullvektor" (das ist oben "die Nullmatrix") und die 1 durchlaufe
dann einmal alle "Stellen".
Gruß,
Marcel
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Sei [mm] X\in \IR^{2x3} [/mm] fest vorgegeben
und
> f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> A->f(A)=AX
> zu zeigen, dass f kein Isomorphismus ist
Hallo,
ich möchte, obgleich hier schon viel gesagt wurde, auf eine Sache eingehen, die Dir nicht richtig klar zu sein scheint.
>
> R^(2x3) beinhaltet keine quadrat. Matrix => kein
> Isomorphismus.
Achtung! Die Matrix X ist nicht die Darstellungsmatrix der Abbildung f.
Die Darstellungsmatrix der Abbildung f ist eine [mm] (6\times [/mm] 4)-Matrix!
Es stimmt, daß f invertierbar ist, gdw die Darstellungsmatrix invertierbar ist, und daß das nicht der Fall ist, sieht man hier schon an ihrem Format.
Aber das Format der Darstellungsmatrix ist nicht [mm] 2\times [/mm] 3.
LG Angela
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> Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> und
> > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > A->f(A)=AX
>
> Achtung! Die Matrix X ist nicht die Darstellungsmatrix der
> Abbildung f.
> Die Darstellungsmatrix der Abbildung f ist eine [mm](6\times[/mm]
> 4)-Matrix!
>
Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
Mal konkret mit X= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
für die genannte Abb.
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
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Und mal ganz off-topic:
Muss man bei der Formeleingabe eigentlich noch die Formeln mit "mm" und "/mm" in eckigen Klammern einfassen oder nicht?
manchmal geht es ohne, manchmal mit $ am Anfang und Ende und manchmal ohne alles.
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> > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > und
> > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > A->f(A)=AX
> >
> > Achtung! Die Matrix X ist nicht die Darstellungsmatrix der
> > Abbildung f.
> > Die Darstellungsmatrix der Abbildung f ist eine
> [mm](6\times[/mm]
> > 4)-Matrix!
> >
>
> Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> für die
> genannte Abb.
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] =
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
[mm] =\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}
[/mm]
Hallo,
bevor man über Darstellungsmatrix redet,
muß man erstmal wissen, bzgl welcher Basen die Darstellungsmatrix aufgestellt werden soll.
Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und Zielraum,
hier also bzgl. der Basen
[mm] B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1}) [/mm] des [mm] \IR^{2\times 2}
[/mm]
und
[mm] C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1}) [/mm] des [mm] \IR^{2\times 3}.
[/mm]
Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl C stehen.
Mit diesem Wissen solltest Du die Darstellungsmatrix hinschreiben können.
LG Angela
>
> ___
> Und mal ganz off-topic:
> Muss man bei der Formeleingabe eigentlich noch die Formeln
> mit "mm" und "/mm" in eckigen Klammern einfassen oder
> nicht?
Mit eckigen Klammern funktioniert's jedenfalls.
> manchmal geht es ohne, manchmal mit $ am Anfang und Ende
> und manchmal ohne alles.
Wenn Du Formeln am Anfang und Ende mit dem Dollarzeichen einfaßt, geht es auch.
Ich geb's normalerweise ohne alles ein, und es wird dann automatisch umgewandelt.
Die genauen Regeln kennen andere, ich nicht.
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> > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > und
> > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > A->f(A)=AX
> > >
> > > Achtung! Die Matrix X ist nicht die Darstellungsmatrix
> der
> > > Abbildung f.
> > > Die Darstellungsmatrix der Abbildung f ist eine
> > [mm](6\times[/mm]
> > > 4)-Matrix!
Ich komme leider auf eine 4x6-Matrix.
> > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> für die
> > genannte Abb.
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] =
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bevor man über Darstellungsmatrix redet,
> muß man erstmal wissen, bzgl welcher Basen die
> Darstellungsmatrix aufgestellt werden soll.
> Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> Zielraum,
> hier also bzgl. der Basen
>
> [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
> des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> und
>
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
>
> Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von B in
> Koordinaten bzgl C stehen.
>
> Mit diesem Wissen solltest Du die Darstellungsmatrix
> hinschreiben können.
>
Das wäre dann
f [mm] \pmat{1&0\\0&0} [/mm] = [mm] \pmat{1&2&3\\0&0&0}:=A
[/mm]
f [mm] \pmat{0&1\\0&0}:=B
[/mm]
f [mm] \pmat{0&0\\1&0}:=C
[/mm]
f [mm] \pmat{0&0\\0&1}:=D
[/mm]
Ist die Abb.matrix dann [mm] \pmat{A&B\\C&D}, [/mm]
also
[mm] \pmat{1&2&3&1&0&1\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\1&2&3&1&0&1}
[/mm]
Stimmt das?
Da diese vom Format 4x6 wäre, frage ich mich, was ich mit dieser dann anstellen kann. Womit kann ich die denn jetzt multiplizieren / welchen Nutzen hat diese Matrix?
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> > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > und
> > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > A->f(A)=AX
> > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> >
> > für die
> > > genannte Abb.
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
> =
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
> >
> > Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> > Zielraum,
> > hier also bzgl. der Basen
> >
> > [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
> > des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> > und
> >
> >
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> > des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
> >
> > Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> > Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von B in
> > Koordinaten bzgl C stehen.
>
> f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] = [mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}:=A[/mm]
> f [mm]\pmat{0&1\\0&0}:=B[/mm]
> f [mm]\pmat{0&0\\1&0}:=C[/mm]
> f [mm]\pmat{0&0\\0&1}:=D[/mm]
>
> Ist die Abb.matrix dann [mm]\pmat{A&B\\C&D},[/mm]
Hallo,
nein.
Du hast offenbar das Thema "Abbildungsmatrizen" gar nicht verstanden - vielleicht war es aber auch noch gar nicht dran?
Es ist
f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] = [mm][mm] \pmat{1&2&3\\0&0&0}=1*\pmat{1&0&0\\0&0&0}+2*\pmat{0&1&0\\0&0&0}+3*\pmat{0&0&1\\0&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\1&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&1&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&0&1}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0}_{(C)},
[/mm]
und dieser Vektor ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
Du bekommst eine [mm] 6\times [/mm] 4- Matrix, und wenn Du diese mit Koordinatenvektoren bzgl B multiplizierst, bekommst Du das Bild unter f in Koordinaten bzgl C.
LG Angela
>
> also
>
> [mm]\pmat{1&2&3&1&0&1\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\1&2&3&1&0&1}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> Da diese vom Format 4x6 wäre, frage ich mich, was ich mit
> dieser dann anstellen kann. Womit kann ich die denn jetzt
> multiplizieren / welchen Nutzen hat diese Matrix?
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Danke für die Antwort!
> > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > und
> > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > A->f(A)=AX
>
> > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> >
> > >
> > > für die
> > > > genannte Abb.
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> > =
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
> > >
>
> > > Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> > > Zielraum,
> > > hier also bzgl. der Basen
> > >
> > > [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
>
> > > des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> > > und
> > >
> > >
> >
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> > > des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
> > >
> > > Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> > > Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von B
> in
> > > Koordinaten bzgl C stehen.
>
> >
> > f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] = [mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}:=A[/mm]
> > f [mm]\pmat{0&1\\0&0}:=B[/mm]
> > f [mm]\pmat{0&0\\1&0}:=C[/mm]
> > f [mm]\pmat{0&0\\0&1}:=D[/mm]
> >
> > Ist die Abb.matrix dann [mm]\pmat{A&B\\C&D},[/mm]
>
> Hallo,
>
> nein.
> Du hast offenbar das Thema "Abbildungsmatrizen" gar nicht
> verstanden - vielleicht war es aber auch noch gar nicht
> dran?
Das Thema kam tatsächlich noch nicht so dran. Aber da ich schon mal dabei bin...
> Es ist
>
> f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] =
> [mm][mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}=1*\pmat{1&0&0\\0&0&0}+2*\pmat{0&1&0\\0&0&0}+3*\pmat{0&0&1\\0&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\1&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&1&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&0&1}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0}_{(C)},[/mm]
>und dieser Vektor ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
>
>Du bekommst eine [mm]6\times[/mm] 4- Matrix, und wenn Du diese mit Koordinatenvektoren bzgl B multiplizierst, bekommst Du >das Bild unter f in Koordinaten bzgl C.
Ich habe das jezt mal mit einem Bsp. bzgl. einer Abb. f: [mm] R^2 [/mm] -> [mm] R^3 [/mm] gemacht.
Was dabei einfcher ist:
Hat man die Abb.matrix M und möchte diese Anwenden, so lässt man sie auf ein Element aus [mm] R^2 [/mm] los und erhält den Fktns.wert bzgl. der gewünschten Basis (also der in der Abb-matrix berücksichtigten Basen!) als Elemnt von [mm] R^3.
[/mm]
Geht es jedoch um eine Abb. wie hier, wo eine Matrix einer anderen Matrix zugeordnet wird,
R^(2x2) -> R^(2x3)
kann ich nicht mehr sagen:
Hier habe ich jetzt meine Funktionalmatrix (das ist doch dasselbe wie die Abb.matrix?! Letztere meine ich...) und was kann ich damit anstellen?
EBEN NICHT wie oben im Fall Vektor [mm] \to [/mm] Vektor: Dort nehme ich einfach ein Element aus dem Urbildraum, welches mit der Abb-matrix multipliziert wird.
Hier kann ich nicht sagen: Ich nehme M und multipliziere sie mit einem Element aus dem Urbildraum R^(2x2). Die Formate passen ja gar nicht.
Das Element des Urbildraumes muss ich dann interpretieren als Ergebnis der Linearkombination für das Element des Urbildraumes und die Koeffizienten dieser Lin-komb. bilden das Element, welches mit M multipliziert wird.
Ich weiß nicht, ob klar wird, was mich daran verwirrt...?! Das mit dem Koordinatenvektor...
Edit:
vlt wäre es hilfreich, diese Aufgabe einmal bzgl. zweier Nicht-Standardbasen zu behandeln.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
keine Ahnung, was gerade bei der Zitierfunktion schiefgeht, aber ich habe
einfach mal alles, was Du schreibst, blaumarkiert, was nicht korrekt zitiert
wird:
> Danke für die Antwort!
>
> > > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > > und
> > > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > > A->f(A)=AX
> >
> > > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > für die
> > > > > genannte Abb.
> > > > >
> > > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> >
> > > =
> > > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
> > > >
> >
> > > > Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> > > > Zielraum,
> > > > hier also bzgl. der Basen
> > > >
> > > >
> [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
>
> >
> > > > des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> > > > und
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> > > > des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
> > > >
> > > > Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> > > > Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von
> B
> > in
> > > > Koordinaten bzgl C stehen.
> >
> > >
> > > f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] = [mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}:=A[/mm]
> > > f [mm]\pmat{0&1\\0&0}:=B[/mm]
> > > f [mm]\pmat{0&0\\1&0}:=C[/mm]
> > > f [mm]\pmat{0&0\\0&1}:=D[/mm]
> > >
> > > Ist die Abb.matrix dann [mm]\pmat{A&B\\C&D},[/mm]
> >
> > Hallo,
> >
> > nein.
> > Du hast offenbar das Thema "Abbildungsmatrizen" gar
> nicht
> > verstanden - vielleicht war es aber auch noch gar nicht
> > dran?
>
> Das Thema kam tatsächlich noch nicht so dran. Aber da ich
> schon mal dabei bin...
>
> > Es ist
> >
> > f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] =
> >
> [mm][mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}=1*\pmat{1&0&0\\0&0&0}+2*\pmat{0&1&0\\0&0&0}+3*\pmat{0&0&1\\0&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\1&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&1&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&0&1}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0}_{(C)},[/mm]
>und dieser Vektor ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
>
>Du bekommst eine [mm]6\times[/mm] 4- Matrix, und wenn Du diese mit Koordinatenvektoren bzgl B multiplizierst, bekommst Du >das Bild unter f in Koordinaten bzgl C.
Ich habe das jezt mal mit einem Bsp. bzgl. einer Abb. f: [mm]R^2[/mm] -> [mm]R^3[/mm] gemacht.
Was dabei einfcher ist:
Hat man die Abb.matrix M und möchte diese Anwenden, so lässt man sie auf ein Element aus [mm]R^2[/mm] los und erhält den Fktns.wert bzgl. der gewünschten Basis (also der in der Abb-matrix berücksichtigten Basen!) als Elemnt von [mm]R^3.[/mm]
Geht es jedoch um eine Abb. wie hier, wo eine Matrix einer anderen Matrix zugeordnet wird,
R^(2x2) -> R^(2x3)
kann ich nicht mehr sagen:
Hier habe ich jetzt meine Funktionalmatrix (das ist doch dasselbe wie die Abb.matrix?! Letztere meine ich...) und was kann ich damit anstellen?
EBEN NICHT wie oben im Fall Vektor [mm]\to[/mm] Vektor: Dort nehme ich einfach ein Element aus dem Urbildraum, welches mit der Abb-matrix multipliziert wird.
Hier kann ich nicht sagen: Ich nehme M und multipliziere sie mit einem Element aus dem Urbildraum R^(2x2). Die Formate passen ja gar nicht.
Das Element des Urbildraumes muss ich dann interpretieren als Ergebnis der Linearkombination für das Element des Urbildraumes und die Koeffizienten dieser Lin-komb. bilden das Element, welches mit M multipliziert wird.
Ich weiß nicht, ob klar wird, was mich daran verwirrt...?! Das mit dem Koordinatenvektor...
-------------------------------------------
-------------------------------------------
Ich verstehe Dein Problem nicht. Du hast eine lineare Abbildung
$f [mm] \colon \IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 3}$
[/mm]
Ich schreibe jetzt mal [mm] $d\,$ [/mm] für $d [mm] \in \IR^{2 \times 2}$ [/mm] und Dein [mm] $X\,$ [/mm] nennen
wir [mm] $T\,.$
[/mm]
Du hattest mit diesen Bezeichnungen dann
$f(d):=d [mm] \cdot T\,.$
[/mm]
Angela hat dir geschrieben, wie das zu [mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$ [/mm] zugehörige Bild
aussieht:
[mm] $(1,2,3,0,0,0)^T\,.$
[/mm]
Jetzt berechne genauso das Bild für die anderen drei Basisvektoren des [mm] $\IR^2$
[/mm]
der von Angela genannten Basis.
Damit bastelst Du eine Matrix
[mm] $A=A_f \in \IR^{6 \times 4}\,.$
[/mm]
Das, was Du jetzt machen solltest, kann man vielleicht *salopp* so sagen
(eigentlich hat es was mit Koordinaten zu tun - bist Du Dir übrigens im
Klaren darüber, dass die Elemente des Definitionsbereichs von [mm] $f\,,$ [/mm] der
ja ein Vektorraum ist, dass diese Vektoren hier MATRIZEN sind?):
Identifiziere
[mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit [mm] $\IR^4$
[/mm]
vermöge einer geeigneten Abbildung. (Ich würde die naheliegendste nehmen!)
Ebenso mache das für
[mm] $\IR^{2 \times 3}$ [/mm] mit [mm] $\IR^6\,.$
[/mm]
(Frage an Dich: Was sollte man da mathematisch genauer hinschreiben? Es
geht um Koordinaten(vektoren)...)
Ich mache mal ein Beispiel für das, was uns das bringt:
Anstatt
[mm] $f(\pmat{2&3\\4&5})$
[/mm]
zu berechnen, berechne ich dann
[mm] $A_f*\vektor{2\\3\\4\\5}\,.$
[/mm]
Das Ergebis ist dann ein [mm] $\IR^6$-Element. [/mm] Was enthält es? Angela wird es Dir
sagen: "Die Koordinaten von ... bzgl ..."
Ich spiele jetzt mal *Praxismensch* und sage Dir nur, was ich dann mache:
Wenn ich
[mm] $A_f*\vektor{2\\3\\4\\5}=(a_1,...,a_6)^T$
[/mm]
sehe, dann berechne ich wieder
[mm] $a_1*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}+a_2*\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}+...+a_6*\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\,,$
[/mm]
wobei ich das kurz mache und dann direkt
[mm] $\pmat{a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6}$
[/mm]
schreibe.
Nebenbei: Ich denke, die einzige Schwierigkeit hier besteht darin, dass es
ungewohnt ist, Matrizen als Vektoren anzusehen (weil wir Vektoren irgendwie
"anders" gewöhnt sind - die meisten Leute haben ja auch schon Probleme
damit, dass Funktionen, Polynomfunktionen ... als Vektoren verstanden
werden können).
Man kann sich davon vielleicht etwas freimachen, wenn man abstrakter
rechnet:
[mm] $b_1=\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}$
[/mm]
[mm] $b_2=\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}$
[/mm]
[mm] $b_3=\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}$
[/mm]
[mm] $b_4=\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}$
[/mm]
Analoges machst Du mit der genannten Basis des [mm] $\IR^{2 \times 3}$ [/mm] (nenne die dortigen
Basisvektoren meinetwegen [mm] $v_1,...,v_6$), [/mm] und dann schaust Du einfach mal nach,
wie das Ganze vor sich geht/ auf Dich wirkt, wenn Du nicht ständig überlegen
willst, ob die Matrix nun die ist, die mit der Koordinatentransformation etwas
zu tun hat, oder ob eine Matrix "ein Vektor" (in obigem Sinne) ist etc. pp.
Z.B. würde ich oben
[mm] $f(\pmat{2 & 3 \\ 4 & 5})=d*T$
[/mm]
berechnen. Rechts sieht das irgendwie komisch aus, da steht ja schon
ein Matrixprodukt. Natürlich kannst Du jetzt hingehen und
[mm] $f(2*\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}+3*\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}+4*\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}+5*\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1})=...$
[/mm]
schreiben. Aber "von der Theorie her" finde ich mit obigen Bezeichnungen
[mm] $f(2*b_1+3*b_2+4*b_3+5*b_4)=...$
[/mm]
wesentlich überschaubarer. Zumal man hier nicht das Problem hat, dass
man komplett verwirrt wird, welche Matrix wozu gehört, welcher Vektor
ein Koordinatenvektor ist etc. pp.
Daher in der Tat: Abstrahieren kann manchmal helfen, einen viel besseren
Überblick zu bekommen.
Gruß,
Marcel
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Zitierter Text normal, mein Kommentar dazu fett
-------------------------------------------
Danke erstmal
Ich verstehe Dein Problem nicht. Du hast eine lineare Abbildung
[mm]f \colon \IR^{2 \times 2} \to \IR^{2 \times 3}[/mm]
Ich schreibe jetzt mal [mm]d\,[/mm] für [mm]d \in \IR^{2 \times 2}[/mm] und Dein [mm]X\,[/mm] nennen
wir [mm]T\,.[/mm]
Du hattest mit diesen Bezeichnungen dann
[mm]f(d):=d \cdot T\,.[/mm]
Angela hat dir geschrieben, wie das zu [mm]\pmat{1 & 0 \\ 0 & 0}[/mm] zugehörige Bild
aussieht:
[mm](1,2,3,0,0,0)^T\,.[/mm]
Jetzt berechne genauso das Bild für die anderen drei Basisvektoren des [mm]\IR^2[/mm]
der von Angela genannten Basis.
Damit bastelst Du eine Matrix
[mm]A=A_f \in \IR^{6 \times 4}\,.[/mm]
Das, was Du jetzt machen solltest, kann man vielleicht *salopp* so sagen
(eigentlich hat es was mit Koordinaten zu tun - bist Du Dir übrigens im
Klaren darüber, dass die Elemente des Definitionsbereichs von [mm]f\,,[/mm] der
ja ein Vektorraum ist, dass diese Vektoren hier MATRIZEN sind?):
Gerade weil mir das klar war, hatte ich Probleme.
Identifiziere
[mm]\IR^{2 \times 2}[/mm] mit [mm]\IR^4[/mm]
Das war mir so nicht klar. Schön, dass das geht. "Irgendwie" plausibel: Ein Element aus [mm] \IR^{2 \times 2} [/mm] wird ja normal aus 4 basismatrizen zusammengebaut, d h die Dimension ist 4. Das kann man dann auch uebersetzen zu [mm] \IR^{2 \times 2}=IR^4 [/mm]
vermöge einer geeigneten Abbildung. (Ich würde die naheliegendste nehmen!)
Ebenso mache das für
[mm]\IR^{2 \times 3}[/mm] mit [mm]\IR^6\,.[/mm]
(Frage an Dich: Was sollte man da mathematisch genauer hinschreiben? Es
geht um Koordinaten(vektoren)...)
Ja wahrscheinlich sollte man die betreffende Basis dazuschreiben.
Mein Problem ist hier, eine Matrix als Vektor aufzufassen. Es kommt mir "hingebogen" vor, weil es sich halt anders nicht mit der Abb-matrix multiplizieren lässt.
Ich mache mal ein Beispiel für das, was uns das bringt:
Anstatt
[mm]f(\pmat{2&3\\4&5})[/mm]
zu berechnen, berechne ich dann
[mm]A_f*\vektor{2\\3\\4\\5}\,.[/mm]
Das Ergebis ist dann ein [mm]\IR^6[/mm]-Element. Was enthält es? Angela wird es Dir
sagen: "Die Koordinaten von ... bzgl ..."
Ich spiele jetzt mal *Praxismensch* und sage Dir nur, was ich dann mache:
Wenn ich
[mm]A_f*\vektor{2\\3\\4\\5}=(a_1,...,a_6)^T[/mm]
sehe, dann berechne ich wieder
[mm]a_1*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}+a_2*\pmat{0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0}+...+a_6*\pmat{0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1}\,,[/mm]
wobei ich das kurz mache und dann direkt
[mm]\pmat{a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6}[/mm]
schreibe.
Nebenbei: Ich denke, die einzige Schwierigkeit hier besteht darin, dass es
ungewohnt ist, Matrizen als Vektoren anzusehen (weil wir Vektoren irgendwie
"anders" gewöhnt sind - die meisten Leute haben ja auch schon Probleme
damit, dass Funktionen, Polynomfunktionen ... als Vektoren verstanden
werden können).
Genau das ist das Problem!
Aber da ich jetzt weiß, wie ich das in einem solchen Fall anzuwenden habe, werde ich wohl damit klar kommen. Es ist nur immer schön, wenn man nicht nur anwenden kann, sonder mit dem Angewandten auch einverstanden ist. Dazu muss man es ja irgendwie herleiten können. Aber
Edit: Nö, nix "Aber", passt schon.
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...hab ich zwischenzeitl schon gemerkt...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ...hab ich zwischenzeitl schon gemerkt...
na, das Problem wird doch gewesen sein (jedenfalls war das auch damals
bei ähnlichen Aufgaben meine Schwierigkeit), dass Du wohl dachtest, dass
mit der $6 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix [mm] $A_f$ [/mm] dann
$d [mm] \mapsto A_f*d$
[/mm]
zu rechnen wäre, was aber für eine $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix [mm] $d\,$ [/mm] sinnlos ist.
Du musst den zu [mm] $d\,$ [/mm] passenden [mm] $\IR^4$-Koordinatenvektor [/mm] nehmen. Dann
macht auch sowas wie "$6 [mm] \times [/mm] 4$-Matrix mal $4 [mm] \times [/mm] 1$-Koordinatenvektor"
wieder Sinn, es kommt ein $6 [mm] \times [/mm] 1$-Koordinatenvektor raus.
Gruß,
Marcel
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Schon klar.
Es kommt mir jedoch so vor, als würde man ein Fremdwort, dessen Bedeutung man BEREITS KENNT, wunderbar aus allen erdenklichen Sprachen und Wortstämmen herleiten. Man weiß ja, wo man hinwill, daher kann man alles schön darauf hininterpretieren.
Die andere Richtung ist nicht so einfach.
Dieser Eindruck auf Mathe bezogen entsteht mir auchn oft, wenn es darum geht, wann Zeilenvektoren und wann Spaltenvektoren genommen werden. Klar kann man sagen, wenn ich dieses mit jenem verwursten will, muss dieses Soundso beschaffen sein, sonst geht die Verwurstung nicht.
Dabe sollte "Dieses", z B ein Zeilenvektor, aus sich heraus schon klar sagen können: Ich bin so und nur so beschaffen, weil blablabla. Und nicht erst impliziert durch Verwurstungsabsichten.
Was ist es ?
WURSCHT!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Schon klar.
>
> Es kommt mir jedoch so vor, als würde man ein Fremdwort,
> dessen Bedeutung man BEREITS KENNT, wunderbar aus allen
> erdenklichen Sprachen und Wortstämmen herleiten. Man weiß
> ja, wo man hinwill, daher kann man alles schön darauf
> hininterpretieren.
>
> Die andere Richtung ist nicht so einfach.
>
> Dieser Eindruck auf Mathe bezogen entsteht mir auchn oft,
> wenn es darum geht, wann Zeilenvektoren und wann
> Spaltenvektoren genommen werden. Klar kann man sagen, wenn
> ich dieses mit jenem verwursten will, muss dieses Soundso
> beschaffen sein, sonst geht die Verwurstung nicht.
> Dabe sollte "Dieses", z B ein Zeilenvektor, aus sich
> heraus schon klar sagen können: Ich bin so und nur so
> beschaffen, weil blablabla. Und nicht erst impliziert durch
> Verwurstungsabsichten.
>
> Was ist es ?
>
> WURSCHT!
ne, aber ich sehe das so, wie mal ein Dozent von mir sagte: Eigentlich
kann man es sich ersparen, die Räume
[mm] $\IR^4=\IR^{4 \times 1}$ [/mm] (Spaltenvektoren) und [mm] $\IR^{1 \times 4}$ [/mm] (Zeilenvektoren)
zu unterscheiden. (Strenggenommen ist auch der [mm] $\IR^4$ [/mm] das kartesische Produkt
[mm] $\IR^4:=\IR^{\{1,2,3,4\}}=\{f: f\text{ ist Abbildung: } f \colon \{1,2,3,4\} \to \IR\}$.)
[/mm]
Ich habe dazu auch mal kurz
hier
etwas gesagt.
Gruß,
Marcel
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> Danke für die Antwort!
>
> > > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > > und
> > > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > > A->f(A)=AX
> >
> > > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
Hat die Matrix X denn hier einen besonderen Namen?
Das X ist ja hier das, was bei
f(x)=3x die "3" ist, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:21 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Danke für die Antwort!
> >
> > > > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > > > und
> > > > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > > > A->f(A)=AX
> > >
> > > > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
>
> Hat die Matrix X denn hier einen besonderen Namen?
Ne. Sie wurde hier nur konkretisiert, damit Du auch eine konkrete Abbildung
[mm] $f\,$ [/mm] hast.
> Das X ist ja hier das, was bei
>
> f(x)=3x die "3" ist, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du hattest ja
$f [mm] \colon \IR^{2 \times 2}\to\IR^{2 \times 3}$
[/mm]
mit
[mm] $\red{\,A\,} \mapsto f(\red{\,A\,}):=\red{\,A\,}*X\,.$
[/mm]
Das [mm] $X\,$ [/mm] bleibt dabei doch fest(e Matrix), die Variable ist (die $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix) [mm] $\red{\,A\,}\,.$
[/mm]
Du würdest oben am Besten
[mm] $f=f_X$ [/mm] mit [mm] $f_X \colon \IR^{2 \times 2} \ni [/mm] A [mm] \mapsto f_X(A):=A*X \in \IR^{2 \times 3}$
[/mm]
schreiben.
Gruß,
Marcel
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> > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > und
> > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > A->f(A)=AX
>
> > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
> >
> >
> > >
> > > für die
> > > > genannte Abb.
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> > =
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
> > >
>
> > > Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> > > Zielraum,
> > > hier also bzgl. der Basen
> > >
> > > [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
>
> > > des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> > > und
> > >
> > >
> >
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> > > des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
> > >
> > > Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> > > Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von B
> in
> > > Koordinaten bzgl C stehen.
>
> Es ist
>
> f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] =
> [mm][mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}=1*\pmat{1&0&0\\0&0&0}+2*\pmat{0&1&0\\0&0&0}+3*\pmat{0&0&1\\0&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\1&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&1&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&0&1}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0}_{(C)},[/mm]
>und dieser Vektor ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
>
>
Du bekommst eine [mm]6\times[/mm] 4- Matrix, und wenn Du diese mit Koordinatenvektoren bzgl B multiplizierst, bekommst Du das Bild unter f in Koordinaten bzgl C.
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Für diese Abb.matrix habe ich jetzt
[mm] M=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1}
[/mm]
Zur Probe wollte ich die Matrix jetzt einmal anwenden.
Zunächst für eine Matrix [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 } [/mm] rechne ich den Fktnswert aus:
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 } \to f\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 2 & 6 \\ 6 & 4 & 10 }
[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste jezt
M * [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] genau den o. g. Fktnswert ergeben. Das ist nicht der Fall.
denn M muss ich offenbar mit [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4} [/mm] multiplizieren. Dann ergibt sich in der Tat die Matrix des Funktionswerts als Vektor dargestellt.
Man muss sich den Koordinatenvektor also ZEILENweise aus der Matrix zusammenbauen?
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }=1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] + [mm] 3\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+2\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+4\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow \vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
Allerdings wäre auch
[mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }=1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+2\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] + [mm] 3\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+4\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } NICHT\Rightarrow \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}
[/mm]
Wie ist es zu erklären, dass hier für den Koord.vektor die Einträge der Matrix in der Reihenfolge von ZEILENvektoren aufzufassen sind?
(Ich kann es mit natürlich einfach merken und anwenden, aber "wissen warum" wäre sicher besser.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 25.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
das alte Problem beim Zitieren. Ich habe Deinen Teil am Ende nochmal
rotmarkiert!
> > > > > > Sei [mm]X\in \IR^{2x3}[/mm] fest vorgegeben
> > > > > > und
> > > > > > > f: R^(2x2) -> R^(2x3)
> > > > > > > A->f(A)=AX
> >
> > > > > Was ist denn hier die Darstellungsmatrix?
> > > > > Mal konkret mit X= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > für die
> > > > > genannte Abb.
> > > > >
> > > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \to f\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> >
> > > =
> > > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]=\pmat{a+b&2a&3a+b\\c+d&2c&3c+d}[/mm]
> > > >
> >
> > > > Wir machen das mal bzgl der Standardbasen in Start- und
> > > > Zielraum,
> > > > hier also bzgl. der Basen
> > > >
> > > >
> [mm]B:=(\pmat{1&0\\0&0},\pmat{0&1\\0&0},\pmat{0&0\\1&0}, \pmat{0&0\\0&1})[/mm]
>
> >
> > > > des [mm]\IR^{2\times 2}[/mm]
> > > > und
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]C:=(\pmat{1&0&0\\0&0&0},\pmat{0&1&0\\0&0&0},\pmat{0&0&1\\0&0&0},\pmat{0&0&0\\1&0&0},\pmat{0&0&0\\0&1&0},\pmat{0&0&0\\0&0&1})[/mm]
> > > > des [mm]\IR^{2\times 3}.[/mm]
> > > >
> > > > Nun erinnere Dich daran, daß in den Spalten der
> > > > Darstellungsmatrix die Bilder der Basisvektoren von
> B
> > in
> > > > Koordinaten bzgl C stehen.
> >
> > Es ist
> >
> > f [mm]\pmat{1&0\\0&0}[/mm] =
> >
> [mm][mm]\pmat{1&2&3\\0&0&0}=1*\pmat{1&0&0\\0&0&0}+2*\pmat{0&1&0\\0&0&0}+3*\pmat{0&0&1\\0&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\1&0&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&1&0}+0*\pmat{0&0&0\\0&0&1}=\vektor{1\\2\\3\\0\\0\\0}_{(C)},[/mm]
>und dieser Vektor ist die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
>
>
Du bekommst eine [mm]6\times[/mm] 4- Matrix, und wenn Du diese mit Koordinatenvektoren bzgl B multiplizierst, bekommst Du das Bild unter f in Koordinaten bzgl C.
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[red]
Für diese Abb.matrix habe ich jetzt
[mm]M=\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1}[/mm]
Zur Probe wollte ich die Matrix jetzt einmal anwenden.
Zunächst für eine Matrix [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }[/mm] rechne ich den Fktnswert aus:
[mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 } \to f\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 2 & 6 \\ 6 & 4 & 10 }[/mm]
Wenn ich das richtig verstanden habe, müsste jezt
M * [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm] genau den o. g. Fktnswert ergeben.
[mm] $\textbf{\black{Nein!!!}}$
[/mm]
> Das ist nicht der Fall.
denn M muss ich offenbar mit [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4}[/mm] multiplizieren. Dann ergibt sich in der Tat die Matrix des Funktionswerts als Vektor dargestellt.
Man muss sich den Koordinatenvektor also ZEILENweise aus der Matrix zusammenbauen?
[mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }=1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm] + [mm]3\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+2\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }+4\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow \vektor{1 \\ 3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
Allerdings wäre auch
[mm]\pmat{ 1 & 3 \\ 2 & 4 }=1\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+2\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm] + [mm]3\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }+4\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } NICHT\Rightarrow \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}[/mm]
Wie ist es zu erklären, dass hier für den Koord.vektor die Einträge der Matrix in der Reihenfolge von ZEILENvektoren aufzufassen sind?
(Ich kann es mit natürlich einfach merken und anwenden, aber "wissen warum" wäre sicher besser.)
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Achte bitte darauf, welcher Koordinateneintrag die Koordinate von welchem
Basisvektor repräsentiert. Dann wird sich Dein Problem vielleicht von selbst
klären.
Tipp:
Wenn Deine Basisübergangsmatrix [mm] $M\,$ [/mm] richtig ist, dann hast Du zu berechnen:
[mm] $M*\vektor{1\\3\\2\\4}$
[/mm]
(das hast Du, wie ich gerade sehe, selbst bemerkt).
Und nicht die Theorie ist schludrig, Du arbeitest schludrig mit der Theorie.
Ein Koordinatenvektor bzgl. einer Basis macht nur dann Sinn, wenn man
weiß, welche Koordinate zu welchem Basisvektor gehört. In diesem Sinne
sollte man hier Basen als geordnete Basen verstehen.
Du kannst ja auf viele Weisen
[mm] $\IR^{2 \times 2}$ [/mm] mit [mm] $\IR^4$
[/mm]
identifizieren, auch vermöge den Basisvektoren
[mm] $\pmat{1 & 0 \\ 0 & 1}=:b_1\,,$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}=:b_2\,,$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 0 \\ 1 & 0}=:b_3\,,$
[/mm]
[mm] $\pmat{0 & 0 \\ 0 & 1}=:b_4\,.$
[/mm]
Naheliegend, und so war das oben gedacht:
Jede $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix [mm] $B\,$ [/mm] mit reellen Einträgen hat genau eine Darstellung
[mm] ($\*$) $B=\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3+\lambda_4b_4\,.$
[/mm]
Der zugehörige Koordinatenvektor ist
[mm] $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)^T\,.$ [/mm]
(Ich habe keine Lust, die Platz-raubenden Spaltenvektoren hinzuschreiben,
daher schreibe ich sie als "Zeilenvektor transponiert").
Wenn Du jetzt [mm] $b_2 \leftrightarrow b_3$ vertauschst, also die neue Basis
$\mathcal{B}'=(b_1,b_3,b_2,b_4)=(b_1',b_2',b_3',b_4')$ (das ist eine Familie!)
betrachtest, dann gilt
$B=\lambda_1b_1'+\lambda_3b_2'+\lambda_2b_3'+\lambda_4b_4'$
und Du benutzt bzgl. der Basis $\mathcal{B}'$ dann den Koordinatenvektor (mit obigen $\lambda$'s aus ($\*$))
$(\lambda_1,\lambda_3,\lambda_2,\lambda_4)^T\,.$
([i]Ich fand es immer gut, wenn man sich die Basen an den Koordinatenvektor
dranschreibt, hier bspw.:
Sei
$\mathcal{B}:=(b_1,b_2,b_3,b_4)$ und $\mathcal{B}':=(b_1',b_2',b_3',b_4'):\equiv(b_1,b_3,b_2,b_4)$
Dann gilt
$\vektor{\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4}_{\!\!\!\mathcal{B}}=\vektor{\lambda_1\\\lambda_3\\\lambda_2\\\lambda_4}_{\!\!\!\mathcal{B}'}$
für alle $\lambda_1,...,\lambda_4 \in \IR\,.$)[/i]
Man muss sich halt einmal festlegen, welcher Koordinateneintrag sich auf
welchen Basisvektor bezieht, und das haben wir oben so gemacht. Als Du
$M*(1,3,2,4)^T$
berechnet hast, bekamst Du die Koordinatendarstellung bzgl. des $\IR^{2 \times 3}$-Raums
mit der entsprechenden Basis, wobei auch die die Stelle eines Koordinateneintrags
mit einem Basisvektor korrespondiert.
Aber ich kann Dir sagen, was Du im Ursprungsraum zum Vergleich rechnen
musst:
$(1,3,2,4)^T$
steht für
$1*b_1+3*b_2+2*b_3+4*b_4=\pmat{1 & 3 \\ 2 & 4}$
Du hättest jetzt
$M*(1,3,2,4)^T$
ausrechnen müssen.
Wenn Du
$M*(1,2,3,4)^T$
ausrechnest, dann ist
$A=\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}$
Also schau' mal, wie $M*(1,2,3,4)^T$ (dafür hast Du ja den $6 \times 1$-Koordinatenvektor
sicher irgendwo noch stehen)
zusammenpasst mit dem Ergebnis von
$\pmat{1 & 2 \\ 3 & 4} \mapsto \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4}*\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 0 & 1 }$
(Links steht übrigens die transponierte Deiner Matrix $A\,$!)
P.S. Die Verwirrungen, die ich bei Dir sehe, sind übrigens keineswegs welche,
die nur Dir passieren. Die habe ich schon so oft gesehen, dass ich mir
manchmal gar nicht zu erklären weiß, wie das Zustande kommt (allerdings
ist es mir zu Studienzeiten auch nicht viel besser ergangen als Dir ;-) ).
Man kann sich aber selbst entwirren, wenn man alles *komplett nach
Anleitung* macht und auch immer wieder prüft, ob das, was man macht,
auch zur Anleitung passt.
Wenn Du das oft genug nach Anleitung gemacht hast und Dir relativ sicher
bist, dass es ohne geht und Du es verstanden hast, dann darfst Du auch
*schneller* damit rechnen.
Ähnlich, wie ich es
[/mm] hier
heute gesagt habe. Nur mit dem Unterschied, dass die Materie da ja nicht
so wirklich komplex war (Koordinatentransformation ist eigentlich auch gar
nicht so komplex, aber durchaus sehr gewöhnungsbedürftig).
Und zum anderen: In der Schule rechnen die Lehrer selten so ausführlich,
wie ich es da hingeschrieben habe. (Ob das nun gut oder schlecht ist, sei
mal dahingestellt. Ein Mathematiker der ersten Semester findet das
nachträglich sicher nicht gut, Physiker und Ingenieure haben da wieder
ganz andere Ansichten...).
Gruß,
Marcel
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