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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - f konjugiert komplex reell
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f konjugiert komplex reell: differenzierbar
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:33 Mo 10.10.2011
Autor: kushkush

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Man zeige:

a) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in c $\gdw$ f reell differenzierbar in c und $f_{z}(c)=0$

b) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in $c \Rightarrow \overline{f}'(c) = \overline{f_{\overline{z}}(c))}$

Hallo,

a) $\overline{f}$ komplex differenzierbar in c, damit ist $\overline{f}$ in c auch reell differenzierbar.

Behauptung: eine Funktion f ist genau dann reell differenzierbar, wenn u und v reell differenzierbar sind . (also ist die reelle differenzierbarkeit unabhängig von i)  

Beweis: sei $\overline{f} =: g$ , also ist g reell differenzierbar. Für g=(u+iv) folgt nun, dass auch $u= \frac{1}{2}(g+\overline{g}$ und $v = \frac{1}{2i}(g-\overline{g})$ reell differenzierbar sein müssen, also auch die Summen von $g$ und $\overline{g}$ und damit $\overline{g}$ selber. Damit ist auch $\overline{g}=f$ in c reell differenzierbar.


Die CauRie Bedingungen werden erfüllt für $\overline{f}$. Es gilt : $\overline{f} = \overline{u+iv} = u-iv$ also gilt für die CauRie Bedingungen:  $u_{x} = -v_{y}$ , $u_{y}=v_{x}$
Also folgt: $f_{z} = \frac{1}{2}(u_{x}+iv_{x})-\frac{i}{2}(u_{y}+iv_{y}) = \frac{1}{2}(u_{x}+iu_{y})-\frac{i}{2}(u_{y}-iu_{x}) = 0$


b) mit $f_{\overline{z}}=\frac{1}{2}f_{x} + \frac{i}{2}f_{y}$  und den CauRie Bedingungen: $u_{x}=-v_{y}; u_{y}=v_{x}$
folgt sofort: ${\overline{f}' = u_{x}-iv_{x} = \frac{1}{2}(u_{x}-iu_{y})-\frac{i}{2}(u_{y}+iu_{x})=\frac{1}{2}(u_{x}-iv_{x})-\frac{i}{2}(u_{y}-iv_{y})=\overline{\frac{1}{2}(u_{x}+iv_{x})+\frac{i}{2}(u_{y}+iv_{y})} = \overline{f_{\overline{z}} $



Reicht und stimmt das so?



Bin für jegliche Hilfe sehr dankbar!



Gruss
kushkush

        
Bezug
f konjugiert komplex reell: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Mi 12.10.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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