f stetig im Nullpunkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm]f:\mathbb_{R} \rightarrow \mathbb_{R}[/mm] eine Funktion mit [mm] f(0)=1[/mm] und [mm] f(x+y)\leq f(x)f(y)[/mm] [mm]\forall x \in \mathbb_{R}[/mm].
Zeigen Sie: Ist f stetig im Nullpunkt, so ist f auf ganz [mm]\mathbb_{R}[/mm] stetig. |
Hallo,
also ich hab bei der Aufgabe bisher folgendes gemacht:
[mm] \textbf{Voraussetzung: } [/mm] f ist im Nullpunkt stetig [mm] \Rightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 [/mm] mit [mm] |f(x)-f(0)|<\varepsilon [/mm] mit [mm] |x-0|<\delta [/mm] . [mm]\textbf{Behauptung: } [/mm] f ist in [mm] y\in\mathbb{R} [/mm] stetig [mm] \Rightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0 [/mm] mit [mm] |f(y+x)-f(y)|<\varepsilon [/mm] mit [mm] |x|<\delta [/mm].[mm] \textbf{Beweis:}|f(y+x)-f(y)|=|f(x+y)-f(y)|\underset{Beh.}{\leq|}f(x)f(y)-f(y)|=|f(y)\cdot(f(x)-1)|=|f(y)\cdot(f(x)-f(0))|=|f(y)|\cdot|f(x)-f(0)|\leq f(y)\cdot\varepsilon[/mm]
Trotzdem führt meine Rechnung zu nichts, sofern sie denn überhaupt stimmt. Kann mir jemand helfen?
(Und mir ist natürlich klar, dass der bisher unvollständige Beweis noch falsch herum aufgeschrieben ist.)
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okay vergesst den angefangenen Beweis, der oben steht. Das war nix.
Habs jetzt noch einmal auf eine andere Weise versucht (hab aber noch einige Fragen dazu):
Sei [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
Sei [mm](x_{n})_{n}[/mm] beliebige Folge mit [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_{n}=x.[/mm]
Dann gilt es zu zeigen, dass [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}f(x_{n})=f(x)[/mm] (nach Folgenkriterium).
Nun gilt nach gegebener Voraussetzung (s.o.): [mm]f(x_{n})=f((x_{n}-x)+x)\leq f(x_{n}-x)\cdot f(x)[/mm]
und [mm]f(x)=f(x-x_{n}+x_{n})\leq f(x-x_{n})\cdot f(x_{n})[/mm]
[mm]x_{n}\rightarrow x [/mm]dann [mm]x_{n}-x\rightarrow0\Rightarrow f(x_{n}-x)=f(0)\underset{Voraussetzung}{=}1[/mm]
Jetzt will ich das Sandwich-Theorem (Einschnürungsthoerem) anwenden, also [mm]f(x_{n})[/mm] nach unten und oben abschätzen
und wenn ich dann den Grenzwert der Abschätzungen habe, kenne ich den von [mm]f(x_{n})[/mm].
[mm]?\leq f(x_{n})\leq f(x_{n}-x)f(x)[/mm] [mm]\textbf{Wie schätze ich das nach oben ab???}[/mm]
Und was muss ich dann noch weiterhin machen? Ab hier komme ich nicht weiter. Weil damit habe ich noch nicht wirklich alles gezeigt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay vergesst den angefangenen Beweis, der oben steht. Das
> war nix.
> Habs jetzt noch einmal auf eine andere Weise versucht (hab
> aber noch einige Fragen dazu):
>
> Sei [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
>
> Sei [mm](x_{n})_{n}[/mm] beliebige Folge mit
> [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_{n}=x.[/mm]
>
> Dann gilt es zu zeigen, dass
> [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}f(x_{n})=f(x)[/mm] (nach
> Folgenkriterium).
>
> Nun gilt nach gegebener Voraussetzung (s.o.):
> [mm]f(x_{n})=f((x_{n}-x)+x)\leq f(x_{n}-x)\cdot f(x)[/mm]
>
> und [mm]f(x)=f(x-x_{n}+x_{n})\leq f(x-x_{n})\cdot f(x_{n})[/mm]
>
> [mm]x_{n}\rightarrow x [/mm]dann [mm]x_{n}-x\rightarrow0\Rightarrow f(x_{n}-x)=f(0)\underset{Voraussetzung}{=}1[/mm]
>
> Jetzt will ich das Sandwich-Theorem (Einschnürungsthoerem)
> anwenden, also [mm]f(x_{n})[/mm] nach unten und oben abschätzen
>
> und wenn ich dann den Grenzwert der Abschätzungen habe,
> kenne ich den von [mm]f(x_{n})[/mm].
>
> [mm]?\leq f(x_{n})\leq f(x_{n}-x)f(x)[/mm] [mm]\textbf{Wie schätze ich das nach oben ab???}[/mm]
kombinieren wir das doch alles mal zusammen:
Gelte [mm] $x_n \to [/mm] x$.
Aus [mm] $f(x)=f(x-x_n+x_n) \le f(x_n)*f(x-x_n)$ [/mm] erkennst Du (unter Benutzung dass [mm] $f(x_n-x) \to [/mm] f(0)$ gilt, weil $f$ stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist und mit $f(0)=1$)
[mm] $$\liminf_{n \to \infty} f(x_n) \ge f(x)\,.$$
[/mm]
Wegen [mm] $f(x_n) \le f(x)*f(x_n-x)$ [/mm] folgt analog
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} f(x_n) \le f(x)\,.$$
[/mm]
Bekanntlich gilt [mm] $\liminf... \le \limsup...$, [/mm] also was folgt?
Gruß,
Marcel
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hm ich kenne nur diesen Satz $ [mm] \liminf x_n+\liminf y_n\le \liminf(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\liminf y_n\le\limsup(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\limsup y_n [/mm] $.
Kann das aber gerade irgendwie nicht so auf die Aufgabe übertragen. Kommt man damit zu einer oberen Abschätzung?
Aber irgendwie muss ich dann noch was zeigen. Meinte mein Tutor zumindest heute: und zwar folgendes: [mm]\exists n_0\in \mathbb{N} \forall n\geq n_o:f(x-x_n)>0
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x-x_n)=1[/mm] ist äquivalent zu:
[mm]\forall \varepsilon >0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0:|f(x-x_n)-1|<\varepsilon[/mm].
Mein Kopf ist im Moment nicht wirklich auf dem höchsten Stand. Also tut mir Leid, dass ich so viele Fragen stellen muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hm ich kenne nur diesen Satz [mm]\liminf x_n+\liminf y_n\le \liminf(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\liminf y_n\le\limsup(x_n+y_n)\le\limsup x_n+\limsup y_n[/mm].
> Kann das aber gerade irgendwie nicht so auf die Aufgabe
> übertragen. Kommt man damit zu einer oberen Abschätzung?
> Aber irgendwie muss ich dann noch was zeigen. Meinte mein
> Tutor zumindest heute: und zwar folgendes: [mm]\exists n_0\in \mathbb{N} \forall n\geq n_o:f(x-x_n)>0
\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x-x_n)=1[/mm]
ich kann das gerade nicht wirklich entziffern, wie das gemeint ist. Also [mm] $0*\,...\,$ [/mm] meinst Du da sicher nicht?!
> ist äquivalent zu:
> [mm]\forall \varepsilon >0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0:|f(x-x_n)-1|<\varepsilon[/mm].
>
> Mein Kopf ist im Moment nicht wirklich auf dem höchsten
> Stand. Also tut mir Leid, dass ich so viele Fragen stellen
> muss.
Das ist kein Problem, Du brauchst Dich nicht zu entschuldigen, wenn Du fragst. Weißt doch: Wer nicht fragt bleibt dumm 
Also erstmal zurück zu meiner Idee (mit Deinen Überlegungen zusammengebastelt; das gehört erwähnt ). Diese liefert
$$f(x) [mm] \le \liminf_{n \to \infty} f(x_n) \le \limsup_{n \to \infty}f(x_n) \le f(x)\,.$$
[/mm]
Erinnerst Du Dich an den Satz:
Genau dann konvergiert eine (beschränkte) Folge [mm] $(a_n)_n \in \IR^{\IN}$, [/mm] wenn [mm] $\limsup_{n \to \infty} a_n=\liminf_{n \to \infty}a_n$ [/mm] gilt? Und in diesem Falle (d.h. genauer: wenn [mm] $(a_n)_n \text{ gegen }\;a\,$ [/mm] konvergiert (oder, weil das gleichwertig ist: wenn [mm] $\limsup_{n \to \infty}a_n=\liminf_{n \to \infty}a_n$ [/mm] gilt)) gilt mit [mm] $a:=\lim_{n \to \infty}a_n$ [/mm] auch [mm] $a=\limsup_{n \to \infty}a_n\;\;(=\liminf_{n \to \infty}a_n)$.
[/mm]
Und was zeigt das obige?
Gruß,
Marcel
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zeigt das dann schon, dass [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}f(x_{n})=f(x)[/mm]. Dann wäre meine Art der Abschätzung ja eigtl überflüssig, also wenn man es auf diese Art machen würde.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zeigt das dann schon, dass
> [mm]\underset{n\rightarrow\infty}{lim}f(x_{n})=f(x)[/mm]. Dann wäre
> meine Art der Abschätzung ja eigtl überflüssig, also wenn
> man es auf diese Art machen würde.
ähm ja, welche Abschätzung meinst Du, die überflüssig ist:
[mm] $$f(x)=f(x-x_n+x_n) \le f(x_n)\cdot{}f(x-x_n) [/mm] $$ brauchst Du ja, um überhaupt
$$ [mm] \liminf_{n \to \infty} f(x_n) \ge [/mm] f(x) $$
folgern zu können, und
$$ [mm] f(x_n) \le f(x)\cdot{}f(x_n-x) [/mm] $$ benutzt Du, um
$$ [mm] \limsup_{n \to \infty} f(x_n) \le [/mm] f(x)$$
zu folgern.
Damit hast Du $f(x) [mm] \le \liminf_{n \to \infty} f(x_n)\le \limsup_{n \to \infty} f(x_n) \le [/mm] f(x)$, was
[mm] $$f(x)=\liminf_{n \to \infty} f(x_n)=\limsup_{n \to \infty} f(x_n)=\lim_{n \to \infty}f(x_n)$$ [/mm]
liefert. Und das zeigt die Stetigkeit von [mm] $\,f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $\,x\,$.
[/mm]
Ist doch sehr elegant, findest Du nicht? 
Gruß,
Marcel
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Joa das kann man schon elegant nennen. Ist damit dann alles gezeigt oder wurde noch irgendetwas vergessen?
Auf jeden Fall schon einmal Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:38 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Joa das kann man schon elegant nennen. Ist damit dann alles
> gezeigt oder wurde noch irgendetwas vergessen?
>
> Auf jeden Fall schon einmal Danke für die Hilfe!
also wenn Du keine Lücken mehr siehst, ich sehe keine mehr. Beachte aber, dass bei den beiden Abschätzungen auch die Voraussetzung
[mm] $$1=f(0)=\lim_{n \to \infty}f(x-x_n)\;\;(\;=\liminf_{n \to \infty}f(x-x_n)=\limsup_{n \to \infty}f(x-x_n)\;)$$ [/mm]
[mm] $$(\text{oder auch } 1=f(0)=\lim_{n \to \infty}f(x_n-x)\;\;(\;=\liminf_{n \to \infty}f(x_n-x)=\limsup_{n \to \infty}f(x_n-x)\;))$$
[/mm]
(Erinnerung: es war [mm] $x_n \to [/mm] x$)
eingegangen ist.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mi 03.12.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm]f:\mathbb_{R} \rightarrow \mathbb_{R}[/mm] eine Funktion
> mit [mm]f(0)=1[/mm] und [mm]f(x+y)\leq f(x)f(y)[/mm] [mm]\forall x \in \mathbb_{R}[/mm].
>
> Zeigen Sie: Ist f stetig im Nullpunkt, so ist f auf ganz
> [mm]\mathbb_{R}[/mm] stetig.
> Hallo,
>
> also ich hab bei der Aufgabe bisher folgendes gemacht:
> [mm]\textbf{Voraussetzung: }[/mm] f ist im Nullpunkt stetig
> [mm]\Rightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0[/mm] mit
> [mm]|f(x)-f(0)|<\varepsilon[/mm] mit [mm]|x-0|<\delta[/mm] .
> [mm]\textbf{Behauptung: }[/mm] f ist in [mm]y\in\mathbb{R}[/mm] stetig
> [mm]\Rightarrow\forall\varepsilon>0\exists\delta>0[/mm] mit
> [mm]|f(y+x)-f(y)|<\varepsilon[/mm] mit [mm]|x|<\delta [/mm].[mm] \textbf{Beweis:}|f(y+x)-f(y)|=|f(x+y)-f(y)|\underset{Beh.}{\leq|}f(x)f(y)-f(y)|=|f(y)\cdot(f(x)-1)|=|f(y)\cdot(f(x)-f(0))|=|f(y)|\cdot|f(x)-f(0)|\leq \red{|}f(y)\red{|}\cdot\varepsilon[/mm]
>
> Trotzdem führt meine Rechnung zu nichts, sofern sie denn
> überhaupt stimmt. Kann mir jemand helfen?
ist doch gut (ich habe nur Betragsstriche ergänzt). $y [mm] \in \IR$ [/mm] ist ja dort ein fester Punkt!
Wenn Du mal hinguckst:
Im Falle $|f(y)|=0$ ist nichts mehr zu beweisen. Im Falle $|f(y)| > 0$:
Wähle eingangs das [mm] $\delta$ [/mm] nicht zu [mm] $\varepsilon$, [/mm] sondern zu [mm] $\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{|f(y)|}$ [/mm] und alles steht da
Edit: Doch nicht gut:
[mm] $$|f(y+x)-f(y)|=|f(x+y)-f(y)|\underset{Beh.}{\leq|}f(x)f(y)-f(y)|$$
[/mm]
Wieso steht da unter dem [mm] $\le$ [/mm] "nach Behauptung"? Du meintest sicher: "nach Voraussetzung"
Aber das ist eine Problemstelle:
$a [mm] \le [/mm] b $ liefert doch i.a. nicht $|a-c| [mm] \le [/mm] |a-b|$.
Gegenbeispiel:
$-3 [mm] \le [/mm] -2$, aber $|-3-5|=8 [mm] \not \le |-2-5|=7\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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