f'(x)>0 impliziert steigend? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi Leute.
Diesmal soll ich beweise, dass bei einer auf (a,b) differenzierbaren Fkt.
f'(x)>0 f. alle [mm] x\in [/mm] (a,b) impliziert, dass f(x) streng monoton wachsend ist auf (a,b).
Ist es erlaubt so vorzugehen? :
0<f'(x)= [mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}
[/mm]
also
f(x+h)>f(x) für h gegen 0.
Kann ich dann so quasi "aus dem Limes heraus" schlussfolgern, oder ist das nicht erlaubt?
Thx steele
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steelscout,
ich glaube, das geht nicht; mir fehlt aber die Zeit, dass genauer zu durchdenken und zu begründen. Aber als Tipp:
Denke mal an den ![[]](/images/popup.gif) Mittelwertsatz der Differentialrechnung (den mußt du in geeigneter Weise anwenden, also so, dass auch die Voraussetzungen erfüllt sind; siehe unten) und nimm an, es gäbe [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] (a,b)$, [mm] $x_1
Zur Anwendung (Begründung, dass MWS anwendbar):
Betrachte dabei $f$ auf dem Intervall [mm] $[x_1,x_2] \subset [/mm] (a,b)$. Auf diesem Intervall ist $f$ stetig (warum?) und auf [mm] $(x_1,x_2)$ [/mm] ist $f$ diff'bar.
Viele Grüße,
Marcel
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Ich werde das mit dem MWS mal probieren, habe aber mittlerweile andernorts einen Beweis zu dieser Frage gefunden.
Das Problem ist, dass dort scheinbar auch die Schlussfolgerung "aus dem limes heraus" getroffen wurde.
Schaut es euch bitte mal an:
"Es ist 0<f'(x)= [mm] \limes_{t\rightarrow\ t_{0}}\bruch{f(t)-f(t_{0})}{t- t_{0}} [/mm] und somit [mm] \bruch{f(t)-f(t_{0})}{t- t_{0}}>0 [/mm] für alle t [mm] \in U\setminus(t_{0}) [/mm] für eine geeignete Umgebung U von [mm] t_{0} [/mm] mit [mm] U\subset [/mm] (a,b).
...Hieraus folgt die Behauptung."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 So 09.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steelscout,
aha, das klingt schon irgendwie einleuchtend. Wenn man bei [m]t \to t_0[/m] mal guckt, wie das für $t < [mm] t_0$ [/mm] aussieht und wie das für [m]t > t_0[/m] aussieht, dann hat man die Behauptung für eine (gewisse) Umgebung von [mm] $t_0$ [/mm] gezeigt (sofern ich das richtig sehe).
(edit: Hm, ich habe mir das jetzt nochmal angeguckt, und sehe nicht, wieso dann für beliebige [mm] $t_1,t_2 \in U,\;\;t_1 [/mm] < [mm] t_2$ [/mm] auch [mm] $f(t_1))
Bei deinen "..." in dem Beweis kommt dann wohl auch noch etwas mit Vereinigung von Umgebungen, so dass man das ganze dann auf das ganze Intervall $(a,b)$ "ausbreiten" kann, nehme ich mal an. Wenn man das aber dann so macht, denke ich, dann muß man mit seiner Argumentation doch sehr vorsichtig sein, dass alle Schlüsse, die man macht, auch stimmen.
Aber ergänze die "..." mal oder setze mir einen Link zu dem Beweis, dann gucke ich mir das nochmal genauer an (oder sonst jemand).
Aber trotzdem:
Ich finde, es ist hier sehr viel einfacher, direkt den MWS anzuwenden und damit einen Widerspruch zu erzeugen (das ist jetzt, nachdem ich dir gesagt habe, wie du ihn anwenden sollst und warum du ihn anwenden darfst, nur noch ein Einzeiler, wenn überhaupt  ).
Achja: Vielleicht sollte ich in meinem letzten Post (oben) auch noch erwähnen, dass [m][x_1,x_2]\not=\emptyset\not=(x_1,x_2)[/m] gilt. Das habe ich dann hiermit getan. 
Viele Grüße,
Marcel
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> Bei deinen "..." in dem Beweis kommt dann wohl auch noch
> etwas mit Vereinigung von Umgebungen, so dass man das ganze
> dann auf das ganze Intervall [mm](a,b)[/mm] "ausbreiten" kann, nehme
> ich mal an.
http://www.uni-duisburg.de/FB11/STAFF/ROGGE/Analysis_pdf/Ana18.pdf
Punkt 18.13
Das, was fehlt ist ein Hinweis auf Anwendung der Tatsache, dass, wenn eine stetige Fkt. f(x)>0 in x ist, dann auch in einer kleinen Umgebung von x.
> Aber trotzdem:
> Ich finde, es ist hier sehr viel einfacher, direkt den MWS
> anzuwenden und damit einen Widerspruch zu erzeugen (das ist
> jetzt, nachdem ich dir gesagt habe, wie du ihn anwenden
> sollst und warum du ihn anwenden darfst, nur noch ein
> Einzeiler, wenn überhaupt ).
Meinst du das so: (?)
Ich spar mir jetz mal die Vorraussetzungen
[mm] \bruch{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}=f'(\xi)
[/mm]
Und [mm] f'(\xi) [/mm] dann nach Vorraussetzung > 0 für alle [mm] \xi \in [/mm] (x1,x2)
und somit f(x2) > f(x1), wenn x2 > x1 ?
Sry, wenn ich hier völlig begriffstutzig erscheine ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Steelscout,
> > Bei deinen "..." in dem Beweis kommt dann wohl auch noch
>
> > etwas mit Vereinigung von Umgebungen, so dass man das
> ganze
> > dann auf das ganze Intervall [mm](a,b)[/mm] "ausbreiten" kann,
> nehme
> > ich mal an.
>
> http://www.uni-duisburg.de/FB11/STAFF/ROGGE/Analysis_pdf/Ana18.pdf
> Punkt 18.13
> Das, was fehlt ist ein Hinweis auf Anwendung der Tatsache,
> dass, wenn eine stetige Fkt. f(x)>0 in x ist, dann auch in
> einer kleinen Umgebung von x.
In diesem Beweis steht aber nur etwas von der strengen Monotonie in [mm] $t_0$, [/mm] und nicht von der strengen Monotonie auf einem Intervall. Diese strenge Monotonie in [mm] $t_0$ [/mm] wird in 18.12 definiert.
Das ist also kein Beweis deiner Aussage.
(D.h. nicht, dass der Beweis dort falsch ist. Im Gegenteil, der Beweis ist richtig. Aber es geht um was anderes als bei deiner Aufgabe (beachte Definition 18.12!):
Beispielsweise wäre die Funktion $g:[-10;10] [mm] \to \IR$, $g(x)=-\sin(x)$ [/mm] streng wachsend in [mm] $t_0=\pi$ [/mm] (nach Definition 18.12; betrachte dazu z.B. die Umgebung [m]U:=(0,2\pi)[/m] von [mm] $t_0=\pi$), [/mm] während $g$ schon auf [mm] $U=(0,2\pi)$ [/mm] weder monoton wachsend noch monoton fallend ist. Das strenge monotone Wachsen einer Funktion in einem Punkt ist also deutlich zu unterscheiden von dem strengen monotonen Wachsen einer Funktion (auf einem Intervall). Ob es da einen Satz gibt, der eine (charakteristische) Verbindung--zwischen dem strengen monotonen Wachsen einer Funktion (auf einem Intervall) und dem strengen monotonen Wachsen in einem Punkt--angibt, gibt, weiß ich jetzt nicht; falls man eine Vermutung hat, sollte man aber natürlich versuchen, diese zu beweisen. Klar ist jedoch:
$f$ streng monoton wachsend auf $(a,b)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f$ streng monoton wachsend in jedem Punkt aus $(a,b)$....)
> > Aber trotzdem:
> > Ich finde, es ist hier sehr viel einfacher, direkt den
> MWS
> > anzuwenden und damit einen Widerspruch zu erzeugen (das
> ist
> > jetzt, nachdem ich dir gesagt habe, wie du ihn anwenden
>
> > sollst und warum du ihn anwenden darfst, nur noch ein
> > Einzeiler, wenn überhaupt ).
>
> Meinst du das so: (?)
> Ich spar mir jetz mal die Vorraussetzungen
> [mm]\bruch{f(x2)-f(x1)}{x2-x1}=f'(\xi)
[/mm]
> Und [mm]f'(\xi)[/mm] dann nach Vorraussetzung > 0 für alle [mm]\xi \in[/mm]
> (x1,x2)
> und somit f(x2) > f(x1), wenn x2 > x1 ?
>
> Sry, wenn ich hier völlig begriffstutzig erscheine ;)
Hm, das sieht aber eher so aus, als wolltest du einen direkten Beweis mit dem MWS machen. Ich schreibe dir aber nachher auch noch den direkten Beweis formal ganz sauber hin!
Jetzt erst mal zu meiner Beweisidee:
Beweis durch Widerspruch:
Nun gut, wie der MWS angewendet werden soll, habe ich bereits erwähnt und wir haben angenommen, es gäbe [m]x_1,x_2 \in (a,b)[/m], [mm] $x_1f(x_2)[/m]. Dann gilt [mm] $x_2-x_1>0$, $f(x_2)-f(x_1)<0$ [/mm] und damit:
[m]\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0[/m]. Nach dem MWS gibt es also ein [m]\xi \in (x_1,x_2)\subset (a,b)[/m] mit
[m]f'(\xi)=\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}<0[/m].
Das ist aber ein Widerspruch, denn:
Nach Voraussetzung sollte für alle $t [mm] \in [/mm] (a,b)$ $f'(t)>0$ gelten; was dann insbesondere für [mm] $t=\xi$ [/mm] gelten müßte!
Ende des Beweises durch Widerspruch
Nun kann man das ganze auch mit dem MWS direkt beweisen, daher biete ich dir als Alternative die Beweisführung durch einen direkten Beweis an:
Direkter Beweis:
Seien dazu [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] (a,b)$ mit [mm] $x_1
[m]\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)[/m], und wegen [m]\xi \in (x_1,x_2) \subset (a,b)[/m] muß dann auch (da nach Voraussetzung für alle [m]t \in (a,b)[/m] $f'(t)>0$ gilt)
[mm] $f'(\xi)>0$
[/mm]
gelten, d.h.:
[mm]\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(\xi)>0[/mm].
Wegen [mm] $x_2-x_1>0$ [/mm] folgt daraus
[mm] $f(x_2)-f(x_1)>0$, [/mm] also:
[mm] $f(x_1)
Da [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] (a,b)$ (mit [mm] $x_1
Ende des direkten Beweises
PS: Egal, für welchen Beweis du dich jetzt entscheidest (also egal, ob du nun den direkten Beweis wählst oder den Beweis durch Widerspruch):
Bei beiden Beweisen wird der Mittelwertsatz auf die Funktion [m]f_{|[x_1,x_2]}[/m] (d.h. die Einschränkung von $f$ auf [mm] $[x_1,x_2]$) [/mm] angewandt. Nur nochmal zur Erinnerung!
Viele Grüße,
Marcel
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