f(x) Nullstelle < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 26.01.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | gegebene Funktion f(x)= [mm] x^5-5x^4+1 (x\in\IR)
[/mm]
a)Zeigen sie das die Funktion f im intervall i=[0;1] genau eine Nullstelle hat.
b)Wie viele reelle nullstellen hat die gegebene Funktion insgesamt? |
Kann ich Aufgabe a über das Monotonieverhalten zeigen? Wie zeige ich jedoch das dies für das ganze Intervall i[0,1] gilt?Oder wie gehe ich die Aufgabe an?
Gruß Joooo
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Hallo jooo,
> gegebene Funktion f(x)= [mm]x^5-5x^4+1 (x\in\IR)[/mm]
> a)Zeigen sie
> das die Funktion f im intervall i=[0;1] genau eine
> Nullstelle hat.
> b)Wie viele reelle nullstellen hat die gegebene Funktion
> insgesamt?
> Kann ich Aufgabe a über das Monotonieverhalten zeigen?
> Wie zeige ich jedoch das dies für das ganze Intervall
> i[0,1] gilt?Oder wie gehe ich die Aufgabe an?
Zunächst kannst du zeigen, dass es im Intervall [mm]I[/mm] eine Nullstelle gibt:
Es ist [mm]f(0)=1>0[/mm] und [mm]f(1)=-3<0[/mm], außerdem ist [mm]f[/mm] stetig ...
Klingelt's ?
Weiter kannst du [mm]f[/mm] mal auf Extrema untersuchen und was für [mm]x\to\pm\infty[/mm] passiert ...
>
> Gruß Joooo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 26.01.2011 | | Autor: | jooo |
Es klingelt nur "einwenig"
Es ist klar das mindestens eine nullstelle vorhanden ist da f(0)=1>0 und f(1)=-3<0 und da f(x) stetig ist
Es ist auch klar das wenn in i=[0;1] kein extrema vorhanden dass dann nur eine Nullstelle Vorhanden ist!
Wenn ich [mm] x^5-5x^4+1=0 [/mm] setze muß ich doch eine Polynomdivision oder ähnliches durchführen
vielleicht hilft mir [mm] x^4 [/mm] (x-5)+1=0 !?
Leider schon zulange her dass ich das hatte und die Bücher die ich da hab haben keine ähnlichen Beispiele.
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Hallo jooo,
> Es klingelt nur "einwenig"
> Es ist klar das mindestens eine nullstelle vorhanden ist
> da f(0)=1>0 und f(1)=-3<0 und da f(x) stetig ist
Genau. Das gilt aufgrund des ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatzes.
> Es ist auch klar das wenn in i=[0;1] kein extrema vorhanden
> dass dann nur eine Nullstelle Vorhanden ist!
Der Singular heißt "Extremum". In der Sache hast Du aber völlig Recht. Wie ist denn die Bedingung für ein Extremum?
> Wenn ich [mm]x^5-5x^4+1=0[/mm] setze muß ich doch eine
> Polynomdivision oder ähnliches durchführen
> vielleicht hilft mir [mm]x^4[/mm] (x-5)+1=0 !?
Nicht sehr. Du musst die Nullstelle aber auch gar nicht bestimmen, Du sollst nur zeigen, dass es in diesem Intervall eine gibt (das hast Du im Prinzip jetzt, s.o.) und eben nur eine (dazu mein Tipp von vorhin).
> Leider schon zulange her dass ich das hatte und die Bücher
> die ich da hab haben keine ähnlichen Beispiele.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:29 Do 27.01.2011 | | Autor: | jooo |
Ja gut ich könnte f'(x)=0 setzen und somit alle Relativen Extremas berechnen und dann überprüfen wie viele in i=[0;1] liegen.
Zusätzlich müsste ich aber auch noch überprüfen ob f‘‘(x)>0 bzw .f‘‘(x)<0 ist
[mm] 5x^4-20x^3=0 [/mm]
Aber dies ist glaub auch nicht so einfach aufzulösen?
Ich würde nun folgendes sagen: da f‘(x) für alle x aus i=[0;1] [mm] \le [/mm] 0 ist ( monoton wachsend ) und zudem gilt dass die Funktion stetig ist und f(0)=1>0 und f(1)=-3<0 hat die Funktion im gegebenen Intervall eine Nullstelle.
stimmt dies? Wie formuliere ich dies mathematisch korrekt?
Gruß Jooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Do 27.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja gut ich könnte f'(x)=0 setzen und somit alle Relativen
> Extremas
Jetzt wird reverend aber böse sein ! Singular: Extremum; Plural: Extrema !!!
> berechnen und dann überprüfen wie viele in
> i=[0;1] liegen.
> Zusätzlich müsste ich aber auch noch überprüfen ob
> f‘‘(x)>0 bzw .f‘‘(x)<0 ist
>
> [mm]5x^4-20x^3=0[/mm]
>
> Aber dies ist glaub auch nicht so einfach aufzulösen?
Ein schwierigeres Problem hab ich noch nie gesehen !!!
[mm]5x^4-20x^3=0[/mm] [mm] \gdw x^3(5x-20) [/mm] =0 [mm] \gdw [/mm] (x=0 oder x =4)
>
> Ich würde nun folgendes sagen: da f‘(x) für alle x aus
> i=[0;1] [mm]\le[/mm] 0 ist ( monoton wachsend ) und zudem gilt dass
> die Funktion stetig ist und f(0)=1>0 und f(1)=-3<0 hat
> die Funktion im gegebenen Intervall eine Nullstelle.
> stimmt dies?
Ja
> Wie formuliere ich dies mathematisch
> korrekt?
Es ist doch O.K.
FRED
>
> Gruß Jooo
>
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Hallo Fred,
> > Ja gut ich könnte f'(x)=0 setzen und somit alle Relativen
> > Extremas
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> Jetzt wird reverend aber böse sein ! Singular: Extremum;
> Plural: Extrema !!!
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Ich fänd' ja "Extremata" schöner - in Anlehnung an Helge Schneider:
Sing.: Solo (Musik) --> Plur.: Solata
Gruß
schachuzipus
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Hallo joo,
ergänzend zu schachuzipus' Tipp hier noch folgender Hinweis:
Dass es in [0;1] nur eine Nullstelle geben kann, ergibt sich aus dem Verhalten von f'(x) im angegebenen Intervall.
Grüße
reverend
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