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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Nette20 |
| Aufgabe | Man sagt, dass auf einem Maßraum [mm] (\Omega, \mathcal{F}, \mu) [/mm] eine Eigenschaft [mm] \produkt(x) [/mm] fast überall gilt, falls eine Nullmenge N [mm] \in \mathcal{N}_\mu [/mm] existiert, so dass
{x [mm] \in \Omega [/mm] : [mm] \produkt(x) [/mm] falsch} [mm] \subset [/mm] N,
wobei die Menge {x : [mm] \produkt(x) [/mm] falsch} nicht notwenigerweise messbar sein muss.
Sei nun [mm] (\Omega, \mathcal{F}, \mu) [/mm] = [mm] (\IR, \mathcal{B}_1, \lambda^1)
[/mm]
a) Betrachten Sie die reellen Funktionen (i) [mm] f_1 [/mm] := [mm] 1_\IQ [/mm] und (ii) [mm] f_2 [/mm] := [mm] 1_{[0,\infty)} [/mm] und untersuchen Sie diese auf die Eigenschaften [mm] f_i [/mm] ist fast überall stetig und es existiert eine stetige Funktion g, so dass [mm] f_i(x)=g(x) [/mm] fast überall.
b) Nun sei f eine [mm] \mathcal{F}-messbare [/mm] numerische Funktion, g eine weitere numerische Funktion auf [mm] \Omega [/mm] und es gelte: f(x) = g(x) fast überall. Zeigen Sie, dass g im Allgemeinen nicht [mm] \mathcal{F}-messbar [/mm] sein muss. Geben Sie eine Zusatzbedingung an, so dass g messbar ist. |
Hallo!
Ich hänge bei dieser Aufgabe total.
Kann mir jemand helfen?
Lieben Dank!
Janett
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Man sagt, dass auf einem Maßraum [mm] (\Omega, \mathcal{F}, \mu) [/mm]
> eine Eigenschaft [mm] \produkt(x) [/mm] fast überall gilt, falls eine
> Nullmenge N [mm] \in \mathcal{N}_\mu [/mm] existiert, so dass
> {x [mm] \in \Omega [/mm] : [mm] \produkt(x) [/mm] falsch} [mm] \subset [/mm] N,
> wobei die Menge {x : [mm] \produkt(x) [/mm] falsch} nicht
> notwenigerweise messbar sein muss.
>
> a) Betrachten Sie die reellen Funktionen (i) [mm]f_1[/mm] := [mm]1_\IQ[/mm]
> und (ii) [mm]f_2[/mm] := [mm]1_{[0,\infty)}[/mm] und untersuchen Sie diese
> auf die Eigenschaften [mm]f_i[/mm] ist fast überall stetig und es
> existiert eine stetige Funktion g, so dass [mm]f_i(x)=g(x)[/mm] fast
> überall.
>
> b) Nun sei f eine [mm]\mathcal{F}-messbare[/mm] numerische Funktion,
> g eine weitere numerische Funktion auf [mm]\Omega[/mm] und es gelte:
> f(x) = g(x) fast überall. Zeigen Sie, dass g im Allgemeinen
> nicht [mm]\mathcal{F}-messbar[/mm] sein muss. Geben Sie eine
> Zusatzbedingung an, so dass g messbar ist.
>
> Hallo!
> Ich hänge bei dieser Aufgabe total.
> Kann mir jemand helfen?
> Lieben Dank!
> Janett
Eine Eigenschaft einer Funktion f gilt fast überall, wenn die Menge der Punkte, wo diese Eigenschaft nicht gilt, Teilmenge einer Nullmenge ist.
Zur a): Die Eigenschaft ist "f ist stetig", bzw. "Es existiert eine stetige Funktion g mit f(x)=g(x)". Nun musst du die Menge angeben, auf der diese Eigenschaft verletzt ist, also die Menge der Punkte, wo die Funktion nicht stetig ist, bzw. wo sie nicht mit einer stetigen Funktion g übereinstimmt. Zum Schluss prüfst du nach, ob diese Ausnahmemenge Teilmenge einer Nullmenge ist.
Zur b): Schau dir die Ausnahmemenge an, also die Menge [mm] \{x|f(x)\not= g(x)\}. [/mm] Was kann man noch über sie sagen, ausser dass sie Teilmenge einer Nullmenge ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wieso steht das denn auf unbeantwortet?
Bist du irgendwo nicht weitergekommen?
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