fast sichere Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Fr 25.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei [mm] (X_i)_{i\in{\IN}} [/mm] i.i.d. und [mm] n\in{\IN}. [/mm] Die Verteilungsfunktion von [mm] X_1 [/mm] heiße F.
Die zu [mm] X_1,...,X_n [/mm] gehörende empirische Verteilungsfunktion [mm] F_n:\IR\times{\Omega}\rightarrow{[0,1]} [/mm] wird definiert durch
[mm] F_n(t,\omega):=\bruch{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n} 1_{[-\infty,t]}(X_i(\omega)) \text{ (=relative Häufigkeit von Werten}\le{t}\text{)}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] (F_n(t,\cdot))_{n\in{\IN}} [/mm] für jedes [mm] t\in{\IR} [/mm] für [mm] n\to{\infty} [/mm] fast sicher gegen F(t) konvergiert.
(b) Seien [mm] n\in{\IN} [/mm] und [mm] t\in{\IR} [/mm] gegeben. Welche Verteilung hat dann [mm] F_n(t,\cdot)? [/mm] |
Tag Leute,
mir macht mal wieder eine Aufgabe zu schaffen.
Ich hab mal damit angefangen mir die Funktion für an paar Werte zu zeichnen und mir ist nun auch klar wie das ganze aussieht. Es handelt sich ja um hierbei ja um eine Treppenfunktion mit "Sprunghöhe" [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
Damit ist auch anschaulich klar, dass [mm] (F_n(t,\cdot))_{n\in{\IN}}, [/mm] wenn [mm] n\to{\infty} [/mm] und somit die "Sprunghöhe" der Treppenfunktion immer kleiner wird
gerade gegen F(t) konvergiert.
Aber wie zeig ich nun formal die fast sichere Konvergenz?
Wär echt klasse, wenn mir jemand an Tipp wüsste wie ich anfangen kann bzw. welcher Satz hier greift!
Vielen Dank dafür!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Fr 25.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Als ich Deine Frage gelesen habe ist mir Anhieb der Satz von Glivenko - Cantelli eingefallen.
[mm] (X_i)_{i\in \mathbb N } [/mm] seien i.i.d. mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F. Dann gilt
[mm] \sup_{x \in \mathbb R } \mid \hat{F}_n (x, \omega ) - F(x) \mid \rightarrow 0 \ [/mm] P. f.s,
wobei [mm] \hat{F}_n (x, \omega ) [/mm] wie bei Dir empirische Verteilungsfunktion ist.
Die andere Möglichkeit wäre vielleicht das Starke Gesetz der großen Zahlen, womit man es probieren könnte, da Glivenko - Cantelli eine Anwendung von dem Starken Gesetz der großen Zahlen ist.
Ich hoffe, das hilft Dir ein wenig!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 25.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm](X_i)_{i\in{\IN}}[/mm] i.i.d. und [mm]n\in{\IN}.[/mm] Die
> Verteilungsfunktion von [mm]X_1[/mm] heiße F.
> Die zu [mm]X_1,...,X_n[/mm] gehörende empirische
> Verteilungsfunktion [mm]F_n:\IR\times{\Omega}\rightarrow{[0,1]}[/mm]
> wird definiert durch
>
> [mm]F_n(t,\omega):=\bruch{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n} 1_{[-\infty,t]}(X_i(\omega)) \text{ (=relative Häufigkeit von Werten}\le{t}\text{)}[/mm]
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm](F_n(t,\cdot))_{n\in{\IN}}[/mm] für jedes
> [mm]t\in{\IR}[/mm] für [mm]n\to{\infty}[/mm] fast sicher gegen F(t)
> konvergiert.
> (b) Seien [mm]n\in{\IN}[/mm] und [mm]t\in{\IR}[/mm] gegeben. Welche
> Verteilung hat dann [mm]F_n(t,\cdot)?[/mm]
> Tag Leute,
> mir macht mal wieder eine Aufgabe zu schaffen.
> Ich hab mal damit angefangen mir die Funktion für an paar
> Werte zu zeichnen und mir ist nun auch klar wie das ganze
> aussieht. Es handelt sich ja um hierbei ja um eine
> Treppenfunktion mit "Sprunghöhe" [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
>
> Damit ist auch anschaulich klar, dass
> [mm](F_n(t,\cdot))_{n\in{\IN}},[/mm] wenn [mm]n\to{\infty}[/mm] und somit die
> "Sprunghöhe" der Treppenfunktion immer kleiner wird
> gerade gegen F(t) konvergiert.
> Aber wie zeig ich nun formal die fast sichere Konvergenz?
>
> Wär echt klasse, wenn mir jemand an Tipp wüsste wie ich
> anfangen kann bzw. welcher Satz hier greift!
> Vielen Dank dafür!
Da [mm] nF_n(t,.) [/mm] die Form [mm] S_n:=\sum_{i=1}^{n} B_i [/mm] mit i.i.d. Bernoulli-ZVn [mm] B_i [/mm] hat, folgt das zu Beweisende aus dem starken Gesetz der großen Zahlen. Es gilt [mm] E(nF_n(t,.)=E(S_n)=np [/mm] also [mm] E(F_n(t,.))=p=F(t) [/mm] wegen [mm] p=P(\{B_i=1\})=P(\{1_{[-\infty,t]}(X_i)=1\})=P(\{X_i\le t\})=F(t), [/mm] da [mm] S_n [/mm] binomial verteilt ist. Und wenn [mm] nF_n(t,.)\sim [/mm] B(n,F(t)) (Binomialverteilung), also [mm] P(\{nF_n(t,.)=k\})=b(n,F(t),k) [/mm] dann ist auch [mm] P(\{F_n(t,.)=k/n\})=b(n,F(t),k). [/mm]
[mm] F_n(t,.) [/mm] nimmt also Werte auf [mm] \{0,1/n,...,1\} [/mm] an mit den Wahrscheinlichkeiten [mm] b(n,F(t),k)=\vektor{n \\ k}F(t)^k(1-F(t))^{n-k} [/mm] einer Binomialverteilung.
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 So 27.06.2010 | | Autor: | kegel53 |
Wieder mal herzlichsten Dank für die tolle Antwort!!
Auch an Irmchen einen schönen Dank!
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