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feste und lose Rolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 12.11.2018
Autor: nosche

Aufgabe
Drei Gewichte unterschiedlicher Masse sind über Seile und reibungslose
Rollen miteinander verbunden (siehe Skizze). Die Massen der Seile und
Rollen seien vernachlässigbar. Wie groß ist dann die Beschleunigung a1
der Masse m1 als Funktion der übrigen Größen?
Hinweis: Beachten Sie die Ortsabhängigkeiten der Gewichte aufgrund
der festen Seillängen.



[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Auf die Massen wirkenden Kräfte:
[mm] m_{1}: [/mm]
[mm] -m_{1}*g [/mm] + [mm] FS_{1} [/mm] = [mm] m_{1}*a_{1} [/mm]

Bei [mm] m_{2} [/mm] und [mm] m_{3} [/mm] bin ich unsicher,ob ich die Beschleunigung [mm] a_{1} [/mm] durch  [mm] m_{1} [/mm] richig berücksichtigt habe
[mm] m_{2}: [/mm]
[mm] -m_{2}*g [/mm] + [mm] FS_{2} -m_{2}*a_{1} [/mm] = [mm] m_{2}*a_{2} [/mm]
[mm] m_{3}: [/mm]
[mm] -m_{3}*g [/mm] + [mm] FS_{2} +m_{3}*a_{1} [/mm] = [mm] m_{3}*a_{3} [/mm]

[mm] Seil_{1} [/mm] hält über Rolle2 das [mm] Seil_{2} [/mm]

Kräfte an den Seilen:
[mm] FS_{1}=-2FS_{2} [/mm]

[mm] m_{2} [/mm] und [mm] m_{3} [/mm] sind über [mm] Seil_{2} [/mm] verbunden:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] -a_{3} [/mm]

Gleichungssystem:
FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   -m1    0     0    [mm] m_{1}*g [/mm]
0   1   -m2   -m2    0    [mm] m_{2}*g [/mm]
0   1    m3    0    -m3   [mm] m_{3}*g [/mm]
1   2    0     0     0    0
0   0    0     1     1    0

testweise habe ich m1=2; m2=1 und m3=1 gesetzt. Dann sollte das System in Ruhe sein:

      erhalten   erwartet
FS1:  -19.6200    19.6200    
FS2:    9.8100     9.8100
a1:   -19.6200          0
a2:    19.6200          0
a3:   -19.6200          0

für Tipps bin ich sehr dankbar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
feste und lose Rolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:31 Mo 12.11.2018
Autor: HJKweseleit

Zunächst gelten folgende Gesetze:

Die Seile ziehen alle nach oben und hemmen den jeweils freien Fall.
Auf alle Massen wirken die Erdanziehung und die Seilkräfte.
Innerhalb eines Seils ist die Kraft konstant.
Die Seile bleiben straff.
Beschleunigungen nach unten seien positiv, nach oben negativ. Ausnahme: [mm] a_1 [/mm] für Masse [mm] m_1 [/mm] (s.u.)

Als Hilfe nehmen wir [mm] m_1 [/mm] < [mm] m_2 [/mm] < [mm] m_3 [/mm] an.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Damit bekommt man nun folgende Beziehungen:

Die lose Rolle möge mit [mm] a_1 [/mm] nach unten beschleunigen [mm] (m_1 [/mm] somit mit [mm] a_1 [/mm] nach oben), [mm] m_2 [/mm] mit [mm] a_2 [/mm] und [mm] m_3 [/mm] mit [mm] a_3 [/mm] nach unten aus der Sicht eines ruhenden Beobachters.

Auf [mm] m_2 [/mm] wirkt [mm] m_2 [/mm] g nach unten und [mm] F_2 [/mm] nach oben, somit wird [mm] m_2 [/mm] mit [mm] m_2g-F_2 [/mm] beschleunigt: [mm] m_2a_2=m_2g-F_2 [/mm]   (*1*)

Auf [mm] m_3 [/mm] wirkt [mm] m_3 [/mm] g nach unten und [mm] F_2 [/mm] nach oben, somit wird [mm] m_3 [/mm] mit [mm] m_3g-F_2 [/mm] beschleunigt: [mm] m_3a_3=m_3g-F_2 [/mm]   (*2*)

Wegen [mm] m_3>m_2 [/mm] wird [mm] m_3 [/mm] schneller als [mm] m_2 [/mm] beschleunigt. Da das rechte Seil gespannt bleibt, bewegt sich [mm] m_2 [/mm] relativ zur losen Rolle genau so schnell nach oben wie [mm] m_3 [/mm] nach unten. Daher ist [mm] a_3-a_1 [/mm] = [mm] a_1+a_2. [/mm]  
Daraus folgt: [mm] 2a_1=a_2+a_3. [/mm] (*3*)

Nun multiplizieren wir (*1*) mit [mm] m_3 [/mm] und (*2*) mit [mm] m_2 [/mm] und addieren beide Gleichungen:

[mm] m_3m_2a_2=m_3m_2g-m_3F_2 [/mm]
[mm] m_3m_2a_3=m_3m_2g-m_2F_2 [/mm]
------------------------
[mm] m_3m_2(a_2+a_3)=2m_2m_3g-(m_2+m_3)F_2 [/mm]

Unter Berücksichtigung von (*3*) ergibt die erste Klammer [mm] 2a_1 [/mm] und damit

[mm] 2m_3m_2a_1=2m_2m_3g-(m_2+m_3)F_2. [/mm] Daraus folgt

[mm] F_2=2m_2m_3\bruch{g-a_1}{m_2+m_3} [/mm]  

Diese Spannung im rechten Seil zieht links und recht die lose Rolle nach unten und addiert sich damit zur Spannung im linken Seil:

[mm] F_1=2F_2=4m_2m_3\bruch{g-a_1}{m_2+m_3} [/mm]

Diese Kraft zieht an [mm] m_1 [/mm] nach oben, so dass für die Aufwärtsbewegung (!) von [mm] m_1 [/mm] gilt:

[mm] m_1a_1=F_1-m_1g [/mm] = [mm] 4m_2m_3\bruch{g-a_1}{m_2+m_3}-gm_1 [/mm]

Multiplikation mit [mm] m_2+m_3 [/mm] liefert

[mm] m_1m_2a_1+m_1m_3a_1=4m_2m_3g-4m_2m_3a_1-m_1m_2g-m_1m_3g [/mm]

[mm] (m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3)a_1=4m_2m_3g-m_1m_2g-m_1m_3g [/mm]


[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{4m_2m_3-m_1m_2-m_1m_3}{m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3} [/mm] g nach oben (!)

oder (Vorzeichenwechsel)

[mm] a_1^{\*} [/mm] = [mm] \bruch{m_1m_2+m_1m_3-4m_2m_3}{m_1m_2+m_1m_3+4m_2m_3} [/mm] g nach unten



Beispiel 1: [mm] m_1=1,6 [/mm] kg, [mm] m_2=2 [/mm] kg, [mm] m_3=3 [/mm] kg. g = 10 [mm] m/s^2 [/mm]

Dann ist [mm] a_1=\bruch{4*2*3-1,6*2-1,6*3}{4*2*3+1,6*2+1,6*3}*g=\bruch{24-8}{24+8}*g= [/mm] 5 [mm] m/s^2 [/mm] aufwärts.

Die Beschleunigung von [mm] m_1 [/mm] erfolgt mit [mm] m_1*a_1=1,6 [/mm] kg*5 [mm] m/s^2=8N [/mm] nach oben, die Erde zieht mit 16 N nach unten, folglich muss [mm] F_1= [/mm] 24 N betragen.

Diese Kraft wird nun durch die beiden Seilenden von [mm] F_2 [/mm] erzeugt, auf jeder Seite also 12 N, somit ist [mm] F_2 [/mm] = 12 N.

An [mm] m_2 [/mm] ziehen [mm] 2kg*10m/s^2=20 [/mm] N nach unten und 12 N nach oben, also 8 nach unten, die die 2 kg mit 4 [mm] m/s^2 [/mm] beschleunigen.

An [mm] m_3 [/mm] ziehen [mm] 3kg*10m/s^2=30 [/mm] N nach unten und 12 N nach oben, also 18 nach unten, die die 3 kg mit 6 [mm] m/s^2 [/mm] beschleunigen.

Dann bewegt sich die Rolle mit dem Mittelwert aus 4 [mm] m/s^2 [/mm] und 6 [mm] m/s^2, [/mm] also 5 [mm] m/s^2 [/mm] und damit passend genau mit [mm] a_1. [/mm]




Beispiel 2: [mm] m_1=14,4 [/mm] kg, [mm] m_2=2 [/mm] kg, [mm] m_3=3 [/mm] kg. g = 10 [mm] m/s^2 [/mm]

Dann ist [mm] a_1=\bruch{4*2*3-14,4*2-14,4*3}{4*2*3+14,4*2+14,4*3}*g=\bruch{24-72}{24+72}*g= [/mm] - 5 [mm] m/s^2 [/mm] abwärts.

Die Beschleunigung von [mm] m_1 [/mm] erfolgt mit [mm] m_1*a_1=14,4 [/mm] kg*5 [mm] m/s^2=72 [/mm] N nach unten, die Erde zieht mit 144 N nach unten, folglich muss [mm] F_1= [/mm] 72 N betragen.

Diese Kraft wird nun durch die beiden Seilenden von [mm] F_2 [/mm] erzeugt, auf jeder Seite also 36 N, somit ist [mm] F_2 [/mm] = 36 N.

An [mm] m_2 [/mm] ziehen [mm] 2kg*10m/s^2=20 [/mm] N nach unten und 36 N nach oben, also 16 nach oben, die die 2 kg mit 8 [mm] m/s^2 [/mm] nach oben beschleunigen.

An [mm] m_3 [/mm] ziehen [mm] 3kg*10m/s^2=30 [/mm] N nach unten und 36 N nach oben, also 6 nach oben, die die 3 kg mit 2 [mm] m/s^2 [/mm] beschleunigen.

Dann bewegt sich die Rolle mit dem Mittelwert aus 8 [mm] m/s^2 [/mm] und 2 [mm] m/s^2, [/mm] also 5 [mm] m/s^2 [/mm] nach oben und damit passend genau mit [mm] a_1. [/mm]



Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
feste und lose Rolle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Di 13.11.2018
Autor: nosche

vielen, vielen Dank für die sehr ausführliche Antwort. Problematisch war für mich die Auswirkung von [mm] a_{1} [/mm] auf die Massen [mm] m_{2} [/mm] und [mm] m_{3}. [/mm] Mal sehen, ob ich jetzt das Gleichungssystem in Ordnung bringen kann.

Bezug
                        
Bezug
feste und lose Rolle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:18 Fr 16.11.2018
Autor: HJKweseleit

Statt

FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   -m1    0     0    $ [mm] m_{1}\cdot{}g [/mm] $
0   1   -m2   -m2    0    $ [mm] m_{2}\cdot{}g [/mm] $
0   1    m3    0    -m3   $ [mm] m_{3}\cdot{}g [/mm] $
1   2    0     0     0    0
0   0    0     1     1    0

habe ich

FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   -m1    0     0    $ [mm] m_{1}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0     m2    0    $ [mm] m_{2}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0     0     m3   $ [mm] m_{3}\cdot{}g [/mm] $  
1  -2    0     0     0    0
0   0   -2     1     1    0

Dabei sind [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] Beschleunigungen nach unten und [mm] a_1 [/mm] Beschleunigung nach oben. Bei negativem Vorzeichen dann entsprechend umgekehrt.



Bezug
                                
Bezug
feste und lose Rolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:34 Mo 19.11.2018
Autor: nosche

herzlichen Dank für die weitere Mitteilung.
Bezüglich des Gleichungssystems hab ich immer noch ein Brett vorm Kopf.
Im Gegensatz zu deinem Ansatz hab ich Beschleunigungen nach oben positiv gewertet. Damit komme ich auf folgendes (immer noch falsches) System:

FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   m1     0     0    $ [mm] m_{1}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0    -m2    0    $ [mm] m_{2}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0     0    -m3   $ [mm] m_{3}\cdot{}g [/mm] $  
1  -2    0     0     0    0
0   0   -2     1     1    0

und finde und finde und finde den Fehler nicht, was seit Tagen zu schlechter Laune führt

Bezug
                                        
Bezug
feste und lose Rolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Mo 19.11.2018
Autor: HJKweseleit

Damit komme ich auf folgendes (immer noch falsches) System:


FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   [mm] m_1 [/mm]     0     0    $ [mm] m_{1}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0    [mm] -m_2 [/mm]    0    $ [mm] m_{2}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0     0   [mm] -m_3 [/mm]   $ [mm] m_{3}\cdot{}g [/mm] $  
1  -2    0     0     0    0
0   0   -2     1     1    0


Fangen wir mal mit der 2. Zeile an.

[mm] m_2 [/mm] wird nach oben mit [mm] F_2-m_2g [/mm] beschleunigt, also [mm] m_2a_2 [/mm] = [mm] F_2-m_2g [/mm] . Das entspricht genau der 2. Zeile.

Übertragen auf die 3. Zeile gilt

[mm] m_3 [/mm] wird nach oben mit [mm] F_2-m_3g [/mm] beschleunigt, also [mm] m_3a_3 [/mm] = [mm] F_3-m_3g [/mm] . Das entspricht genau der 3. Zeile.

[mm] m_1 [/mm] bildet hier keine Ausnahme, dafür gilt dann:

[mm] m_1 [/mm] wird nach oben mit [mm] F_1-m_1g [/mm] beschleunigt, also [mm] m_1a_1 [/mm] = [mm] F_1-m_1g [/mm] . Das entspricht nicht  der 1. Zeile. Sie muss abgewandelt werden in  1   0   – m1     0     0      .

[mm] F_1 [/mm] und [mm] F_2 [/mm] sollen beide nach oben wirken, und deshalb ist [mm] F_1=2F__2. [/mm]  Das entspricht genau der 4. Zeile.

[mm] a_1 [/mm] ist der Durchschnittswert von [mm] a_2 [/mm] und [mm] a_3 [/mm] , geht aber in die entgegengesetzte Richtung: Be-schleunigt die lose Rolle nach unten, geht [mm] a_1 [/mm] nach oben. Daher ist [mm] 2a_1= –(a_2+a_3) [/mm] , und die letz-te Zeile lautet somit 0  0  2  1  1  0.

Somit:

FS1 FS2  a1    a2    a3  |  rS
----------------------------------
1   0   -m1    0     0    $ [mm] m_{1}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0    -m2    0    $ [mm] m_{2}\cdot{}g [/mm] $  
0   1    0     0    -m3   $ [mm] m_{3}\cdot{}g [/mm] $  
1  -2    0     0     0    0
0   0    2     1     1    0




Bezug
                                                
Bezug
feste und lose Rolle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:14 Mi 21.11.2018
Autor: nosche

danke für deine Geduld.  
was ich nachvollziehen kann:
$ [mm] m_2 [/mm] $ wird nach oben mit $ [mm] F_2-m_2g [/mm] $ beschleunigt
$ [mm] m_3 [/mm] $ wird nach oben mit $ [mm] F_2-m_3g [/mm] $ beschleunigt

was ich nicht mehr nachvollziehen kann:
$ [mm] m_1 [/mm] $ wird nach oben mit $ [mm] F_1-m_1g [/mm] $ beschleunigt

in meiner Vorstellung muss [mm] m_{1} [/mm] nach unten beschleunigt werden, wenn sowohl [mm] m_{2} [/mm] als auch [mm] m_{3} [/mm] sich nach oben bewegen.
[mm] m_{2} [/mm] und [mm] m_{3} [/mm] bewegen sich nur dann gleichzeitig nach oben, wenn sich die lose Rolle nach oben bewegt. Das kann sie nur wenn [mm] m_{1} [/mm] nach unten beschleunigt wird.
Denke ich hier schon falsch?

Bezug
                                                        
Bezug
feste und lose Rolle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Do 22.11.2018
Autor: HJKweseleit


> danke für deine Geduld.  
> was ich nachvollziehen kann:
>  [mm]m_2[/mm] wird nach oben mit [mm]F_2-m_2g[/mm] beschleunigt
>  [mm]m_3[/mm] wird nach oben mit [mm]F_2-m_3g[/mm] beschleunigt
>  
> was ich nicht mehr nachvollziehen kann:
>  [mm]m_1[/mm] wird nach oben mit [mm]F_1-m_1g[/mm] beschleunigt
>  
> in meiner Vorstellung muss [mm]m_{1}[/mm] nach unten beschleunigt
> werden, wenn sowohl [mm]m_{2}[/mm] als auch [mm]m_{3}[/mm] sich nach oben
> bewegen.
>  [mm]m_{2}[/mm] und [mm]m_{3}[/mm] bewegen sich nur dann gleichzeitig nach
> oben, wenn sich die lose Rolle nach oben bewegt. Das kann
> sie nur wenn [mm]m_{1}[/mm] nach unten beschleunigt wird.
> Denke ich hier schon falsch?

Nein, das ist richtig. Bei der Berechnung von [mm] a_1 [/mm] kommt dann allerdings ein negativer Wert heraus (ich gehe jetzt von meiner letzten Darstellung aus, bei der alle Bewegungen und Kräfte nach oben positiv sind).

Beispiele:

[mm] m_1 [/mm] = 1,6 kg, [mm] m_2 [/mm] = 2 kg, [mm] m_3 [/mm] = 3 kg. Daraus resultieren [mm] F_1 [/mm] = 24 N, [mm] F_2 [/mm] = 12 N, [mm] a_1 [/mm] = 5 [mm] m/s^2 [/mm] (rauf), [mm] a_2 [/mm] = -4 [mm] m/s^2 [/mm] (runter), [mm] a_3 [/mm] = -6 [mm] m/s^2 [/mm] (runter). Das war ein bereits von mir genanntes Beispiel.

[mm] m_1 [/mm] = 16 kg, [mm] m_2 [/mm] = 20 kg, [mm] m_3 [/mm] = 5 kg. Daraus resultieren [mm] F_1 [/mm] = 160 N, [mm] F_2 [/mm] = 80 N, [mm] a_1 [/mm] = 0 [mm] m/s^2 [/mm] (bleibt stehen, obwohl [mm] m_1
[mm] m_1 [/mm] = 24 kg, [mm] m_2 [/mm] = 30 kg, [mm] m_3 [/mm] = 5 kg. Daraus resultieren [mm] F_1 [/mm] = 200 N, [mm] F_2 [/mm] = 100 N, [mm] a_1 [/mm] = - 1/6 g  (runter, obwohl [mm] m_1

Bezug
                                                                
Bezug
feste und lose Rolle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:21 Mo 03.12.2018
Autor: nosche

Abermals: danke für die Klarstellung



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