fibonacci zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:00 Fr 10.11.2006 | | Autor: | maybe. |
| Aufgabe | zeige
[mm] f_{m+n} [/mm] = [mm] f_{n+1} f_{m} [/mm] + [mm] f_{n} f_{m-1} [/mm] |
naja habe da an vollständige induktion gedacht, komm aber nicht wirklich weiter.
habe im internet einen beweis mit matrizen gefunden. dieser hilft mir aber sicher nicht da ich matrizen usw. nicht verwenden darf.
will ich den induktionsschritt beweise komme ich immer wieder darauf zurück dass
[mm] f_{m+n+1} [/mm] = [mm] f_{m+n-1} [/mm] + [mm] f_{m+n} [/mm]
ich darf meine annahme aber doch nur für [mm] f_{m+n} [/mm] machen und komme an diesem punkt daher nicht weiter. irgendwie muss ich doch eine beziehung zwischen [mm] f_{m+n+1} [/mm] und [mm] f_{m+n} [/mm] finden... das beweisprinzip ist mir völlig klar
also falls jemand helfen würde wäre ich sehr dankbar ich habe diese aufgabe schon mehrmals versucht zu lösen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Sa 11.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo maybe
Induktion nach n ist schon recht.
n=1 ist ok, weil [mm] $f_1=f_2=1$
[/mm]
Für den Induktionsschritt würde ich die Rekursion der Fibonaccizahlen verwenden:
[mm] $f_{m+(n+1)}=f_{m+n}+f [/mm] _{m+(n-1)}$ und hier würde ich die Induktionsvoraussetzung für n und n-1 (!) verwenden. Dann teilweise [mm] $f_m$ [/mm] und [mm] $f_{m-1}$ [/mm] ausklammern und wieder die Rekursionsformeln [mm] $f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$ [/mm] rsp. [mm] $f_{n+1}=f_n+f_{n-1}$ [/mm] anwenden.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Sa 11.11.2006 | | Autor: | maybe. |
hallo,
vielen dank für die hilfe. aber ich habe nicht ganz verstanden wie du das mit den beiden induktionsvorraussetzungen meinst. darf ich denn 2 annahmen treffen. ich verstehe das so, dass ich 2 mal die formel für je die hälfte aller n beweise, richtig ??
also einmal A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+2)
und einmal A(n-1) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
hast du das so gemeint ?
habe noch nie einen induktionsbeweis mit 2 induktionsvorrausstezungen gemacht und bin daher etwas irritiert. ich habe aber vorher schon gemerkt das sch die identität zeigen liesse, wenn ich zwei annahmen treffe.
danke schonmal!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 11.11.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo maybe
Wenn man den Induktionsschritt beweisen will, also die Aussage für n+1 oder eine Gleichung für n+1, dann darf man annehmen dass die Formel für alle kleineren Zahlen gilt also für n, n-1, n-2, etc. Man muss nicht alles auf die Aussage für n zurückführen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Sa 11.11.2006 | | Autor: | maybe. |
ok das wollte ich hören :) macht ja irgendwie sinn, wenn man sich die induktion so mit dem domino-effekt vorstellt. wenn man das weiss is das ganze ja easy :)
vielen dank!!!
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