finde Beweis nicht < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Uzaku |
| Aufgabe | Sei [mm]p(x) = c_nx^n +\cdots+c_1x+c_0 [/mm] das charakteristische Polynom einer Matrix A und k
ein Eigenwert der Matrix A. Zeigen Sie:
(i) c0 = det(A)
(ii) A ist invertierbar genau dann, wenn k = 0 kein Eigenwert von A ist.
(iii) Ist A invertierbar und k ein Eigenwert von A, dann ist 1
k ein Eigenwert von A−1. |
Weit bin ich leider nicht gekommen damit.
Klar ist mir, dass [mm]p(k)=0; p(0)=c_0; det(A-kE)=0[/mm] außerdem weiß ich, dass die Determinante ein Produkt der Eigenwerte ist.
Aber irgendwie schaffe ich es nicht daraus einen Beweis zu basteln,
fehlt mir vielleicht noch eine essentielle Info?
gruß Uzaku
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
PS: (ii) ist kein Problem, und über (iii) habe ich noch nicht genauer nachgedacht, es geht mir primär um (i)
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Nach Definition ist [mm] p(x)=\det(A-xE).
[/mm]
Jetzt setzt du auf beiden Seiten x=0 ein und ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:50 Fr 24.02.2012 | | Autor: | Uzaku |
*FACEPALM*
Da zerbricht man sich ne halbe Stunde den Kopf und übersieht das offensichtlichste. Vielen Dank ....
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