fixraum + 2*darstellungsmatrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:18 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
Moin!
Sei f: [mm] \IR^2 \to\IR^2 [/mm] linear. Bezgl. der Standardbasis S sei f durch die MAtrix A dargestellt.
A:= 1/3 [mm] \pmat{ -1 & 4 \\ 2 & 1 }
[/mm]
a) bestimmen sie den Fixraum von f, also M:= {x [mm] \in\IR [/mm] | f(x)=x}
b) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der Basis B:= (1,2),(-1,1) in Urbild- undBildraum.
c) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. S im Urbildraum und B im Bildraum
a) Habe alle Vektoren mit folgender Darstellung als Lösung [mm] \vektor{x_{1} \\ 2*x_{1} }
[/mm]
bin ich über die Gleichung [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} } [/mm] = [mm] A*\vektor{x_{1} \\ x_{2} }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 2/3 & 1 }
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 }
[/mm]
würde gerne ne Rückmeldung haben ob das richtig ist.
so long marsei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Moin!
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> Sei f: [mm]\IR^2 \to\IR^2[/mm] linear. Bezgl. der Standardbasis S
> sei f durch die MAtrix A dargestellt.
> A:= 1/3 [mm]\pmat{ -1 & 4 \\ 2 & 1 }
[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> a) bestimmen sie den Fixraum von f, also M:= {x [mm]\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> f(x)=x}
> b) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. der
> Basis B:= (1,2),(-1,1) in Urbild- undBildraum.
> c) bestimmen sie die Darstellungsmatrix von f bzgl. S im
> Urbildraum und B im Bildraum
>
> a) Habe alle Vektoren mit folgender Darstellung als Lösung
> [mm]\vektor{x_{1} \\ 2*x_{1} }
[/mm]
> bin ich über die Gleichung
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2} }[/mm] = [mm]A*\vektor{x_{1} \\ x_{2} }
[/mm]
Die Gleichung ist schon richtig. Ich habe aber die Lösung [mm] $x_1\cdot\vektor{1 \\ 1}$ [/mm] bekommen.
> b)
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 2/3 & 1 } [/mm]
Die Antwort ist meiner Meinung nach falsch. Die Transformationsmatrix T erhält man, wenn man die Koordinaten der neuen Basis als Kolonnen in die Matrix T schreibt:
[mm] $T=\pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 }$.
[/mm]
Wechselt man in beiden Räumen die Basis, so ist die neue Abbildungsmatrix durch
[mm] $T^{-1}AT=\frac19 \pmat{ 11 & 4 \\ -10 & -11}$ [/mm] gegeben.
> c) [mm]\pmat{ 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & 2/3 }
[/mm]
>
Findet der Koordinatenwechsel nur im Bildraum statt, so ist die Abbildungsmatrix gegeben durch
[mm] $T^{-1}A=\frac19 \pmat{ 1 & 5 \\ 4 & -9 }$
[/mm]
>
> würde gerne ne Rückmeldung haben ob das richtig ist.
leider Alles falsch ![[traurig]](/images/smileys/traurig.gif "[traurig]")
mfG Moudi
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> so long marsei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
also wenn ich bei a) die gleichung auflöse, dann komme ich immer noch auf meinen Vektor, denn:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = A* [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] liefert
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{3}x_{1}+ \bruch{2}{3}x_{2} [/mm] und
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{4}{3}x_{1}+ \bruch{1}{3}x_{2} [/mm] durch addition beider gleichungen oder umformung einer der beiden erhalte ich
[mm] x_{2}=2x_{1} [/mm] und dadurch meine Aussage.
zu b)
Wenn ich das richtig verstehe habe ich ja ein Matrizen Produkt (hatte es vorher anders gelöst und wohl nen Fehler gemacht) aber mein Produkt sieht meiner ursprünglichen lösung ähnlicher als das was du mir geschrieben hast.
habe den Basiswechsel als Produkt von [mm] B^{-1}*A*B [/mm] definiert. B wie dein T und [mm] B^{-1} [/mm] als [mm] \bruch{1}{3}*\pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 1 } [/mm] und erhalten tu ich dann: [mm] \bruch{1}{9}*\pmat{ 9 & 0 \\ 0 & -9 } [/mm] also fast was ich am Anfang hatte und bei c) erhalte ich [mm] \bruch{1}{9}*\pmat{ 3 & 3 \\ 6 & -3 }
[/mm]
was hab ich falsch gemacht ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Di 25.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Marsei
Irgendetwas geht bei dir bei der Matrizenmultiplikation schief.
> also wenn ich bei a) die gleichung auflöse, dann komme ich
> immer noch auf meinen Vektor, denn:
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] = A* [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm]
> liefert
> [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{3}x_{1}+ \bruch{2}{3}x_{2}[/mm] und
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\bruch{4}{3}x_{1}+ \bruch{1}{3}x_{2}[/mm] durch
Ich erhalte das Gleichungssystem
[mm] $x_1=-\frac13 x_1 +\frac43 x_2$
[/mm]
[mm] $x_2=\frac23 x_1+\frac12 x_2$
[/mm]
> addition beider gleichungen oder umformung einer der beiden
> erhalte ich
> [mm]x_{2}=2x_{1}[/mm] und dadurch meine Aussage.
>
> zu b)
> Wenn ich das richtig verstehe habe ich ja ein Matrizen
> Produkt (hatte es vorher anders gelöst und wohl nen Fehler
> gemacht) aber mein Produkt sieht meiner ursprünglichen
> lösung ähnlicher als das was du mir geschrieben hast.
> habe den Basiswechsel als Produkt von [mm]B^{-1}*A*B[/mm]
> definiert. B wie dein T und [mm]B^{-1}[/mm] als [mm]\bruch{1}{3}*\pmat{ 1 & -2 \\ 1 & 1 }[/mm]
[mm] $B^{-1}$ [/mm] ist falsch. Ich erhalte [mm] $B^{-1}=\frac13 \pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 1 }$ [/mm] derade die transponierte Matrix.
mfG Moudi
> und erhalten tu ich dann: [mm]\bruch{1}{9}*\pmat{ 9 & 0 \\ 0 & -9 }[/mm]
> also fast was ich am Anfang hatte und bei c) erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{9}*\pmat{ 3 & 3 \\ 6 & -3 }
[/mm]
>
> was hab ich falsch gemacht ?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marsei |
Also die Inverse hab ich auch raus habe nur beim eintippen hier die zeilen vertauscht, aber nun mal zur Matrizenmultiplikation. Ich kann mir das zwar nur einbilden irgendwie habe ich die anders kennengelernt und zwar nehmen wir mal das beispiel von der [mm] B*B^{1} [/mm] damit wir beim Thema bleiben :D
also [mm] B*B^{1} [/mm] = E :
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 2 & 1 }*\bruch{1}{3}\pmat{ 1 & 1 \\ -2 & 1 }=\bruch{1}{3} \pmat{ 3 & 0 \\ 0 & 3 }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=E
[/mm]
und zwar mach ich das wie folgt. ich nehme die erste spalte von [mm] B^{1} [/mm] und lege sie über die erste zeilen von B, dann multipliziere ich die koeffizienten die übereinanderliegen miteinander und addiere die Ergebnisse und ich erhalt den ersten eintrag in der ersten spalte für mein produkt, also 1*1+2*1=3, danach geh ich eine zeile tiefer und erhalte den nächsten eintrag, bis ich unten angekommen bin. danach mach ich das für die zweite spalte ....
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