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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Mi 18.10.2006 | | Autor: | Kati |
| Aufgabe | Seien [mm] a_{jk} \ge [/mm] 0, j und k in [mm] \IN_{0} [/mm] gegeben. Man zeige: Wenn es entweder ein j [mm] \in \IN_{0} [/mm] gibt mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{jk} [/mm] = [mm] \infty [/mm] , oder für alle j [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{jk} [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] \summe_{j=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{\infty} a_{jk} [/mm] = [mm] \infty [/mm] , so folgt
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} a_{j,k-j} [/mm] = [mm] \infty [/mm] |
Ich habe diese Frage noch in keinem Forum gestellt.
Hallo.
Also rein anschaulich ist mir diese Aufgabe ganz klar, nur ich weiß nicht wie ich da rangehen soll mit dem beweis. kann mir da mal irgendjemand weiterhelfen. hat das vielleicht etwas mit dem umordnungssatz zu tun. aber irgendwie war der ja mit grenzwerten und das jetzt nicht.
danke schonmal
lg katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 20.10.2006 | | Autor: | statler |
> Seien [mm]a_{jk} \ge[/mm] 0, j und k in [mm]\IN_{0}[/mm] gegeben. Man zeige:
> Wenn es entweder ein j [mm]\in \IN_{0}[/mm] gibt mit
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{jk}[/mm] = [mm]\infty[/mm] , oder für alle j [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> gilt [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{jk}[/mm] < [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{j=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{\infty} a_{jk}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> , so folgt
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{j=0}^{k} a_{j,k-j}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Guten Morgen Katrin!
> Also rein anschaulich ist mir diese Aufgabe ganz klar, nur
> ich weiß nicht wie ich da rangehen soll mit dem beweis.
Wirklich? Dann muß man es auch hinschreiben können.
> kann mir da mal irgendjemand weiterhelfen. hat das
> vielleicht etwas mit dem umordnungssatz zu tun. aber
> irgendwie war der ja mit grenzwerten und das jetzt nicht.
Erstmal den ersten Fall:
Sei also [mm] j_{0} \in \IN_{0} [/mm] mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{j_{0}k} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Dann gibt es zu vorgegebenem S > 0 ein N mit [mm] \summe_{k=0}^{N} a_{j_{0}k} [/mm] > S.
Aber dann ist erst recht auch
[mm] \summe_{k=0}^{j_{0}+N} \summe_{j=0}^{k} a_{j,k-j} [/mm] > S,
weil das einfach mehr Summanden sind, die alle [mm] \ge [/mm] 0 sind. Für k = [mm] j_{0}+r [/mm] und j = [mm] j_{0} [/mm] erhält man die Summanden aus der oberen Summe.
Mit dem Umordnungssatz könnte das auch funktionieren, weil hier alle [mm] a_{ij} \ge [/mm] 0 sind und die Reihen absolut konvergieren.
Den 2. Teil liefere ich vor Ablauf der Antwortzeit nach, evtl. heute.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Fr 20.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey noch mal!
Jetzt zum 2. Teil, in dem die einzelnen Summen konvergieren, aber die Summe über die Summen nicht.
Wir suchen uns ein N mit
[mm] \summe_{j=0}^{N} \summe_{k=0}^{\infty} a_{jk} [/mm] > S+1. Da die einzelnen Summen konvergieren, gibt es zu jedem j zwischen 0 und N ein M(j) mit [mm] \summe_{k=M(j)+1}^{\infty} a_{jk} [/mm] < [mm] \bruch{1}{N+1}. [/mm] Sei M das größte dieser M(j). Dann ist natürlich auch [mm] \summe_{k=M+1}^{\infty} a_{jk} [/mm] < [mm] \bruch{1}{N+1}, [/mm] weil ich ja allenfalls positive Summanden weglasse.
Jetzt ist weiter
[mm] \summe_{j=0}^{N} \summe_{k=0}^{M} a_{jk} [/mm] > S+1 - (N+1)* [mm] \bruch{1}{N+1} [/mm] = S+1 - 1 = S
Aber dann ist auch wie schon im 1. Fall
[mm] \summe_{k=0}^{M+N} \summe_{j=0}^{k} a_{j,k-j} [/mm] > S
Noch ein Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Fr 20.10.2006 | | Autor: | Kati |
Hallo!
Danke schonmal für deine Hilfe, da wär ich nie drauf gekommen.
Ich hab nur noch ne Frage zu Deinem letzten Schluss. Du sagst dann die Summe ganz unten ist auch größer S (ich nehme an mit der Begründung, dass da nur noch mehr Summanden als vorher drin sind). Müsste man das noch beweisen oder ist das so logisch dass man das nicht braucht. ich hab da nämlich schon grad ziemlich drüber nachdenken müssen bis ich das hatte...
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Fr 20.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey!
> Ich hab nur noch ne Frage zu Deinem letzten Schluss. Du
> sagst dann die Summe ganz unten ist auch größer S (ich
> nehme an mit der Begründung, dass da nur noch mehr
> Summanden als vorher drin sind). Müsste man das noch
> beweisen oder ist das so logisch dass man das nicht
> braucht. ich hab da nämlich schon grad ziemlich drüber
> nachdenken müssen bis ich das hatte...
Das hängt davon ab, für wen man das aufschreibt. Für mich reicht das, denn wenn ich zu einer Summe ein paar positive Summanden dazufüge, dann wird sie eher größer. Wenn man zeigen soll, daß man mit den Anordnungsaxiomen umgehen kann, dann muß man das vielleicht noch genauer ausführen.
An der Tafel würde ich sowieso mit einem Bild hantieren, das macht es klarer, was da passiert.
Gruß
Dieter
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