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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 So 02.05.2004 | | Autor: | sunny |
also, der erste stress beginnt mit dieser aufgabe:
1) für welche zahl ist das produkt aus dieser zahl und der um 8 größeren zahl am kleinsten? gib die zahl und das (minimale) produkt an.
2) der zähler und der nenner eines bruchs betragen zusammen 50.
vermindert man den zähler um 2 und erhöht den nenner um 24, so
ist der bruch nur noch halb so gross.
wie heisst der bruch?
wäre echt super wenn ihr mir weiterhelfen könnt, ich bin schon kurz favor alles zu schmeissen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 02.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo sunny,
willkommen im MatheRaum! 
> also, der erste stress beginnt mit dieser aufgabe:
>
> 1) für welche zahl ist das produkt aus dieser zahl und der
> um 8 größeren zahl am kleinsten? gib die zahl und das
> (minimale) produkt an.
Hier ist das eigentliche Problem ja "nur", die (Funktions-) Gleichung zu finden.
Am besten geht man hier schrittweise, fast Wort für Wort:
"für welche zahl": Gesucht ist also eine Zahl $x$
"ist das produkt aus dieser zahl": also [mm] $x*\ldots$
[/mm]
"und der um 8 größeren Zahl": also $x+8$
Der Term lautet also $x*(x+8)$.
Die ist ein quadratischer Term, denn ausmulitpliziert lautet er: [mm] $x^2+8x$
[/mm]
Daraus läßt sich einfach eine quadratische Funktion machen, sie würde lauten:
[mm] $f(x)=x^2+8x$
[/mm]
Von quadratischen Funktionen (="Parabeln") kann man sehr einfach den höchsten bzw. kleinsten Funktionswert ermitteln, denn dieser ist der Scheitelpunkt der Parabel.
Berechnet wird der Scheitelpunkt mit Hilfe der  quadratischen Ergänzung:
[mm] $f(x)=x^2+8x=x^2+8x+\underbrace{4^2-4^2}_{=0}=(x+4)^2-16$
[/mm]
Diese Form der Funktionsgleichung [mm] ($f(x)=a(x-d)^2+e$) [/mm] nennt man Scheitelpunktsform, denn der Scheitelpunkt $S(d|e)$ kann direkt abgelesen werden; er lautet hier also:
S(-4|-16)
Dies ist also der tiefste Punkt der Parabel (da die Parabel ja nach oben geöffnet ist)
Die gesuchte Zahl $x$ lautet also $x=-4$, das gesuchte Produkt ist $-16$.
Übrigens hätte ein "Parabel-Profi" sofort die Lage des Scheitelpunktes gewußt:
Eine Funktion mit der Gleichung $f(x)=x*(x+8)$ hat an den Stellen $x=0$ und $x=-8$ ihre Nullstellen. Der Scheitpunkt liegt aufgrund der Symmetrieeigenschaften immer genau zwischen den Nullstellen (natürlich nur, sofern es welche gibt), in diesem Fall muß der Scheitelpunkt also an der Stelle $x=-4$ liegen.
> 2) der zähler und der nenner eines bruchs betragen zusammen
> 50.
> vermindert man den zähler um 2 und erhöht den nenner um
> 24, so
> ist der bruch nur noch halb so gross.
> wie heisst der bruch?
Diese Aufgabe ist etwas komplizierter, aber auch nicht sooo schwer.
Ich gehe wieder schrittweise vor:
"der zähler und der nenner eines bruchs": Gesucht sind zwei Zahlen, ich nenne sie $z$ und $n$. Der Bruch lautet [mm] \bruch{z}{n}.
[/mm]
"betragen zusammen 50": z+n=50
"vermindert man den Zähler um 2": also z-2
"und erhöht den Nenner um 24": also n+24, der neue Bruch lautet also [mm] \bruch{z-2}{n+24}
[/mm]
"so ist der (neue) Bruch nur noch halb so gross (wie der alte)": Also "neuer Bruch" = 1/2 * "alter Bruch"
Die letzte Information kann nun noch konkreter hingeschrieben werden, da wir ja eine konkrete Darstellung für den neuen und alten Bruch haben (s.o.); die Gleichung lautet also:
[mm] \bruch{z-2}{n+24}=\bruch{1}{2}*\bruch{z}{n}
[/mm]
Das sieht auf den ersten Blick erschreckend aus, wird aber sehr viel einfacher, wenn man diese Bruchgleichung mit allen Nennern mulipliziert:
Gleichung I: (z-2)*2n = z*(n+24)
Betrachtet man nun noch die obige
Gleichung II: z+n=50
und, diese nach z auf (z=50-n) und setzt dieses z in Gleichung I ein, so erhält man eine eine Gleichung mit nur noch einer einzigen Variable:
(50-n-2)*2n = (50-n)*(n+24)
Diese Gleichung kann nun gemütlich nach n aufgelöst werden, und da z=50-n ist, erhält man so auch gleich z.
Versuch' es doch mal selbst zur Übung, bei Problemen helfen wir dir ja weiter. Oder beantworten weitere Fragen hierzu
Viel Erfolg,
Marc
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